山西省忻州市走马岭中学高三数学理上学期期末试题含解析

山西省忻州市走马岭中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2 C．5 D．4参考答案：A【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式．【分析】根据基本不等求出a，b的值，再利用换元法，求出f（t）的最小值即可．【解答】解：a2+=a2+b2﹣ab+b（a﹣b）+≥2ab﹣ab+2=ab+4，∴f（x）=+bsin2x≥2，∵b（a﹣b）≤=，当且仅当a=2b时取等号，∴a2+≥a2+≥2=8，当且仅当a2=4时，即a=2时取等号，此时b=1，∴f（x）=+bsin2x=+sin2x，设sin2x=t，则t∈（0，1]，∴y=+t，∴y=+t在（0，1]上单调递减，∴ymin=+1=3，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用和函数的单调性和最值的关系，属于中档题．2.已知，则实数分别为A.x=-1，y=1

B.x=-1，y=2

C.x=1，y=1

D.x=1，y=2参考答案：D3.椭圆的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：D因为。4.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1+z2|=(

) A．2 B．3 C．2 D．3参考答案：A考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的几何意义和复数的模的计算公式即可得出．解答： 解：由图可知：=（﹣2，﹣1），=（0，1）．∴z1=﹣2﹣i，z2=i．∴z1+z2=﹣2﹣i+i=﹣2．∴|z1+z2|=2．故选：A点评：本题考查了复数的几何意义和复数的模的计算公式，属于基础题．5.已知集合，下列结论成立的是(

) A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体的体积为A.2

B.

C.

D.参考答案：D多面体为四棱锥，利用割补法可得其体积，选D.7.设定义域为的函数满足以下条件；①对任意；②对任意.则以下不等式一定成立的是

①

②

③

④

A.①③

B.②④

C.

①④

D.②③参考答案：B由①知，所以函数为奇函数。由②知函数在上单调递增。因为，所以，即②成立。排除AC.因为，所以，又，所以，因为函数在在上单调递增，所以在上也单调递增，所以有成立，即④也成立，所以选B.8.《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细．在这个问题中的中间两节容量和是（

）A.升

B.升

C.升

D.升参考答案：C设竹九节由上往下的容量分别为，由题意可知：，所以问题中的中间两节容量和为．故答案选C．9.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为63，36，则输出的a=（

）A．3

B．6

C．9

D．18参考答案：C10.若复数z(i是虚数单位)，则|z|=（

）A. B. C.1 D.参考答案：B【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.【详解】z.所以|z|.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求使≥2的的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ） --------------1分 --------------------------------------3分-----------------------------------------------------5分,，函数的递增区间是--------------------7分

（Ⅱ）由 得， ----------------------------9分 ，

的x的取值范围是略12.已知集合A={x||x|＜2}，B={x|＞0}，则A∩B=．参考答案：{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}=（﹣2，2）B={x|＞0}=（﹣1，+∞）∴A∩B=（﹣1，2）={x|﹣1＜x＜2}故答案为：{x|﹣1＜x＜2}【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键．13.如果一个平面与一个圆柱的轴成（）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆.当时，椭圆的离心率是

.

参考答案：14.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

．参考答案：，圆的标准方程为，圆心为，半径为2，所以所求直线方程为，即垂直于极轴的直线的极坐标方程为。15.已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是

．参考答案：略16.我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为____________________.参考答案：；17.如图，是⊙的直径，切⊙于点，切

⊙于点，交的延长线于点.若，，则的长为_______.参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）（1）求曲线的普通方程；（2）在以为极点，正半轴为极轴的极坐标系中，直线方程为，已知直线与曲线相交于两点，求．参考答案：（1）；（2）

试题解析：（1）由已知，结合，消去得：普通方程为，化简得（2）由知，化为普通方程为圆心到直线的距离，由垂径定理考点：参数方程；极坐标方程；直线与圆的位置关系.19.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线，使得被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．参考答案：解假设存在，设其方程为y＝x＋m，代入x2＋y2－2x＋4y－4＝0，得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是x1＋x2＝－(m＋1)，.以AB为直径的圆经过原点，即直线OA与OB互相垂直，也就是kOA·kOB＝－1，所以即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，将x1＋x2＝－(m＋1)，，代入整理得m2＋3m－4＝0，解得m＝－4，或m＝1.故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为x－y＋1＝0，x－y－4＝0.略20.（本题满分12分）某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：中学人数

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列．参考答案：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为．

……………4分（2）设“从名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，…5分来自同一所中学的取法共有．

……………6分∴．答：从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．

…7分（3）由（1）知，名学生中，来自两所中学的学生人数分别为．依题意得，的可能取值为，

…………8分，，．……11分∴的分布列为：

…

12分21.（本题14分）长方体中，，，是侧棱的中点.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的平面角的大小.

参考答案：解：（1）依题意：，，则平面.

┈┈┈┈┈┈4分（2）--8分(3)(理)取的中点，连，则、，所以平面.过在平面中作，交于，连，则,所以为二面角的平面角.在中，┈14分（用向量做同样给分）

22.已知函数，．（I）讨论的单调性； （II）当时，证明对任意成立．参考答案：（I），…………1分若，，在上单调递减；……2分若,令，，，，…………3分在上单调递减，在上