山东省临沂市河阳乡中心中学2022年高三数学文联考试题含解析

山东省临沂市河阳乡中心中学2022年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若,则下列不等式成立的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D2.榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构建上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则一个该“榫头”的体积为（

）A．10

B．12

C.14

D．16参考答案：C，故选C.

3.已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为(

)A．-3

B．

C．-5

D．4参考答案：D4.海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）nmile．（nmile表示海里，1nmile=1582m）A．10 B． C．5 D．5参考答案：D【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10nmile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10nmile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5nmile．故选：D．5.若集合U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则?U（M∪N）是（）A．{1，2，3} B．{4} C．{1，3，4} D．{2}参考答案：B【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由并集、补集的运算分别求出M∪N、?U（M∪N）．【解答】解：因为M={1，2}，N={2，3}，所以M∪N={1，2，3}，又集合U={1，2，3，4}，则?U（M∪N）={4}，故选：B．6.如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．参考答案：D考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是边长为2的等边三角形，∴r=1，h=∴v==π故选D．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．7.已知全集U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=3x2+1}，则M∩（?UN）=（）A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|1≤x≤3} D．{x|1＜x≤3}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解一元二次不等式求得M，求函数的值域得到N，根据补集的定义求得?UN，再根据两个集合的交集的定义求得M∩（?UN）．【解答】解：∵集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=3x2+1}={y|y≥1}，∴?UN={y|y＜1}，∴M∩（?UN）={x|﹣1≤x＜1}，故选：A．8.若三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为()A．80

B．40

C.

D.参考答案：D略9.在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，，，若=x+y，则x+y的值为（）A．2 B．4 C．5 D．7参考答案：D【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知利用勾股定理可得|AD|，从而可得=3，==4，由向量的加法可得=+=3+4，利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x，y的值，进而得解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|=3，|AC|=5，∴利用勾股定理可得：|AD|=4，∵=，=，∴=3，==4，∴=+=3+4，∴x=3，y=4，可得：x+y=7．故选：D．10.已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形,俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的表面积为（

）A.B.C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等腰直角△ABC中，设腰长为a，则斜边上的高为，类比上述结论，那么在三棱锥A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直且相等，设长度均为a，则斜面BCD上的高AE的长度为

．参考答案：12.已知动点（x，y）符合条件，则范围为．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：设z=，则z的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由解得A（1，1）由图象可知≥KOA=1，或．的取值范围：（﹣∞，﹣2）∪[，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）．13.已知在区间(a，b)上，f(x)＞0，f′(x)＞0，对x轴上的任意两点(x1,0)，(x2,0)，(a＜x1＜x2＜b)都有f()＞.若S1＝f(x)dx，S2＝(b－a)，S3＝f(a)(b－a)，则S1、S2、S3的大小关系为

.参考答案：S1＞S2＞S3易知：函数f(x)在区间(a，b)上单调递减且为上凸函数。根据定积分的几何意义知：S1为f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形的面积，而S2为梯形的面积，S3为矩形的面积，所以结合题意并画出图形可得S1＞S2＞S3。14.已知函数若，则实数＝

.参考答案：2

略15.已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为

参考答案：16.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是

．参考答案：3x﹣2y﹣3=0【考点】直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．【分析】联立直线与圆的解析式得到交点A和B的坐标，然后利用中点坐标公式求出中点坐标，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1，由直线AB的斜率得到中垂线的斜率，即可得到中垂线的解析式．【解答】解：联立得：解得：13x2﹣14x﹣26=0，同理解得13y2+18y﹣7=0因为点A和点B的中点M的坐标为（x=，y=），利用根与系数的关系可得：M（，﹣）；又因为直线AB：2x+3y+1=0的斜率为﹣，根据两直线垂直斜率乘积等于﹣1可知垂直平分线的斜率为；所以弦AB的垂直平分线方程为y+=（x﹣），化简得3x﹣2y﹣3=0故答案为3x﹣2y﹣3=0．【点评】考查学生掌握两直线垂直时的斜率乘积为﹣1，会求线段中点的坐标，根据条件能写出直线的一般方程，以及掌握直线与圆的方程的综合应用．17.设数列满足对任意的，满足，且，则数列的前n项和为__________.参考答案：试题分析：由得以及，故，，则，故其前项和，故答案为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为M，E是CD延长线上的一点，且AB=10，CD=8，3DE=4OM，过F点作⊙O的切线EF，BF交CD于G（Ⅰ）求EG的长；（Ⅱ）连接FD，判断FD与AB是否平行，为什么？参考答案：【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：推理和证明．【分析】：（Ⅰ）连接AF，OF，推出A，F，G，M共圆，证明EF=EG，通过切割线定理求出EG．（Ⅱ）连接AD，通过求解推出∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD，说明FD与AB不平行．（本小题满分10分）选修4﹣1：几何问题选讲解：（Ⅰ）连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，因为EF⊥OF，∵∠FGE=∠BAF又∠EFG=∠BAF，∴∠EFG=∠FGE，有EF=EG…．（3分）由AB=10，CD=8知OM=3∴ED=OM=4EF2=ED?EC=48∴EF=EG=…．（5分）（Ⅱ）连接AD，∠BAD=∠BFD及（Ⅰ）知GM=EM﹣EG=∴tan∠MBG=，tan∠BAD=tan∠MBG∴∠BAD≠∠MBG，∠MBF≠∠BFD∴FD与AB不平行

…（10分）【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，考查推理以及计算能力．19.已知函数f（x）=alnx+x2﹣2ax+1(a∈R)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点x1，x2，且＜m恒成立时，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣2ax+a=0的△=4a2﹣4a，分0≤a≤1时，a＜0，a＞1三种情况讨论；（2）由（1）得a＞1时，f（x）有两个极值点x1，x2．可得x1+x2=2a，x1x2=af（x1）+f（x2）=a（lnx1+lnx2）+﹣2a（x1+x2）+2=alna+2a2﹣a﹣4a2+2=alna﹣2a2﹣a+2∴==利用导数求出G（x）=lna﹣2a﹣1+，（a＞1）的最大值即可【解答】解：（1）函数函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣2ax+a=0的△=4a2﹣4a①当0≤a≤1时，△≤0恒成立，f′（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＜0时，方程x2﹣2ax+a=0的根x1=a+＞0，x2=a﹣＜0f（x）在（0，a+）单调递减，在（a+，+∞）单调递增；③当a＞1时，方程x2﹣2ax+a=0的根x1=a+＞0，x2=a﹣＞0f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）单调递增，在（a﹣，a+）单调递减；（2）由（1）得a＞1时，f（x）有两个极值点x1，x2．x1+x2=2a，x1x2=af（x1）+f（x2）=a（lnx1+lnx2）+﹣2a（x1+x2）+2=alna+2a2﹣a﹣4a2+2=alna﹣2a2﹣a+2∴==令G（x）=lna﹣2a﹣1+，（a＞1）G′（x）=﹣0恒成立．∴G（x）在（1，+∞）递减，∴∴20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，，点Q为线段PA（不含端点）上一点.（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；（2）已知二面角Q-BD-P的正弦值为，求的值.参考答案：解：（1）以为原点，，，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设，则，，，，，；所以，，，设平面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，，则与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）知平面的一个法向量为，设，则，，，设平面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，由题意得，所以，即，因为，所以，则.

21.

（本小题满分12分）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.参考答案：解：（1）因为

所以

令

（1）当

所以，当，函数单调递减；

当时，，此时单调递

（2）当

即，解得

①当时，恒成立，

此时，函数在（0，+∞）上单调递减；

②当

时，单调递减；

时，单调递增；

，此时，函数单调递减；

③当时，由于

时，，此时，函数单调递减；

时，，此时，函数单调递增。

综上所述：

当时，函数在（０，１）上单调递减；

函数在（１，＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0，+∞）上单调递减；

当时，函数在（0，1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减，

（2）因为，由（Ⅰ）知，

，当，

函数单调递减；当时，

函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为

由于“对任意，存在，使”等价于

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值”（*）

又，所以

①当时，因为，此时与（*）矛盾；

②当时，因为，同样与（*）矛盾；

③当时，因为

解不等式，可得

综上，的取值范围是

略22.已知命题p：a∈{y|y=，x∈R}，命题q：关于x的方程x2+x﹣a=0的一根大于1，另一根小于1．如果命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】2E：复合命题的真假．【分析】求出函数y|y=，x∈R的值域得到命题p为真命题或假命题的a的范围，再由方程x2+x﹣a=0的一根大于1，另