内蒙古鄂尔多斯第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学文试题

内蒙古鄂尔多斯市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(文)试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题*.复数二v(i是虚数单位)的虚部是()+2i1211A'5lB-5C'—5D'5.设a为平面，。,b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A-若a//a,b//a，则a//bC-若ala,a±b，则b//a.若ala,a//b，则blaD-若a//a,alb，则bla3-执行如图所示的程序框图，输出s的值为(A'2B'A'2B'C'D',_14-曲线C经过伸缩变换1X4+4-曲线C经过伸缩变换1X4+y‘2=1,则曲线C的2后，对应曲线的方程为:、了=3y方程为()x2y2C-—+—=14x2y2C-—+—=149A--+9y2=1B-4x2+—=1495-已知函数f(X)=X3-3X2+X的极大值点为根，极小值点为n，则m+n=()A-0B-2C--4D--26-设S是等差数列｛a｝的前n项和，已知a=3,a=11,则S等于()-nn267A-13B-35C-49D-637-若函数fG)=sin2x向右平移£个单位后，得到y=g(x),则关于y=g(x)的说6A.图象关于点一k兀小0中心对称6)兀B.图象关于A.图象关于点一k兀小0中心对称6)兀B.图象关于X=--轴对称6C.在区间12单调递增D.在兀5兀12,12单调递增法正确的是()9．A,B分别是q，C9．A,B分别是q，C2在第二四象限的公共点，若四边形叫BF2为矩形，则C2的离心率是()A.22B.<33C，2D.<6~28.若Z是z的共轭复数，且满足Z•(1-i)2=4+2i,则z=()A,-1+2iB.-1-2iC.1+2id.1-2ix2如图,f勺是椭圆Jw+y2=1与双曲线C2的公共焦点积为()积为().棱长为2的正方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则该截面的面DD．C3”.已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=2^2,BC=1,AC=3,3三棱锥OlABC的体积为14,，则球O的表面积为()

A.36兀B.16兀C.12兀D.亍.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数fO，满足f(x)<广(x)，且f(0)=2，则不等式f(x)>2ex的解集为()A.(—8,。)B,(—8,2)C,(0,+^)D,(2,+8)二、填空题.、同+<7与2<2+<5的大小关系为..点M的直角坐标是Q'3,-1)，在P0,06<2兀的条件下，它的极坐标是.2W.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22x32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2x3+2x32)+(22+2x3+2x32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法，可得100的所有正约数之和为..已知点A(0,3)，若圆C：(x—a)2+(y—2a+4)2=1上存在点M,使|MA|=2|MO\,则圆心。的横坐标a的取值范围为.三、解答题.已知曲线C1的极坐标方程P=6cos6，曲线C2的极坐标方程为0=：(peR)，曲线C,C相交于AB两点.12(1)把曲线"J的极坐标方程化为直角方程；12(2)求弦AB的长度.18.为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：月收入[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[65,75)[65,75)频数510151055赞成人数488521将月收入不低于55百元的人群称为“高收入族”，月收入低于55百元的人群称为“非

高收入族”.附：P(K2>k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828叱n(ad一bc)2K2二(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)非高收入族高收入族总计赞成不赞成总计(1)根据已知条件完成下面的2x2列联表，并判断有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？(2)现从月收入在［55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少有一人赞成楼市限购令的概率..如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB//EF；(2)若PA=AD，且平面PAD1平面ABCD，试证明AF1平面PCD；(3)在(2)的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM1平面PCD?(直接给出结论，不需要说明理由).某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费，(单位：千元)

对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费%和i年销售量y.（i=1，2，，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.i<帆如季叶w£(<帆如季叶w£(%-%)2i=1i£(w-w)2i=1i£(%ii=1-%)(yi-y££(wii=1-w)(y.-y：)%y46.566.289.81.61469108.8638表中w=i附：对于一组数据（u，v），（u，V），……，（u，v），其回归线v=dc+8u的斜率和截距1122nn£(u-£(u-u)(v-v)八的最小二乘估计分别为：p=ii=1—£(u-u)2

ii=1（1）根据散点图判断，＞=。+b%与y=c+d%x，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费，的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）;（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立》关于，的回归方程;（3）已知这种产品的年利润z与％，）的关系为工=0.2J-%，根据（2）的结果回答:当年宣传费%=49时，年销售量及年利润的预报值是多少?r^椭圆C上..已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为勺（-1，0）^椭圆C上.（1）求椭圆C的方程;（2）设过点勺（1,0）的斜率为k（k丰0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，点P在y轴上，且।pm曰pn।，求点p纵坐标的取值范围.1.已知函数f(x)=lnx—a-ax+a—2,aeR.(1)求函数f(x)的单调区间;2(2)设g(x)=xf(x)+2，求证：当a<ln-时，g(x)>2a.e参考答案1．D【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi(a,b£R)的形式，可得虚部.【详解】「二ii(1-2i)2+i21.因为===——I——i1+2i(1+2i)(1-2i)555•所以复数的虚部为：5.故选：D.【点睛】本题是基础题，考查复数的代数形式的基本运算和复数的基本概念，考查计算能力，注意虚部是实数．2．B【分析】利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】若a//a,b//a，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若ala，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知b±a，故B正确；若ala，aib，则b//a或bua，故C错误；若a//a，aib，则b//a，或bua，或b与a相交，故D错误.故选：B.--【点睛】--本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．D【分析】根据题意，本程序框图为求S的值，利用循环体，代入计算可得结论.【详解】根据题意，本程序框图为求S的值2第一次进入循环体后，i=1,S=3；

1第二次进入循环体后，Z=2,S=--；第三次进入循环体后，Z=3,S=32第四次进入循环体后，z=4,S=3；退出循环.故选：D.【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．4．A【分析】从变换规则入手，代入新方程化简可得.【详解】fi1X=—X1y2把12代入％2+y'2=1,得(-X)2+(3y)2=1,化简可得一+9y2=1,故选A.「24〔y=3y【点睛】本题主要考查坐标变换,明确变换前和变换后的坐标之间的关系是求解关键.5．B【分析】利用导数去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【详解】由题意可得：f'(x)=3x2-6x+1,令f'(X)=0，即3x2-6x+1=0,解得：13•二f解得：13•二f(X)在(-8,三316)递增，在(，6,3^3-6)递减，在(言2，+8)递增，X=3^6-是极大值点，X=±6是极小值点，13233-<63+<6c/.m+n=x+x=1=2,1233故选：B.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和极值点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．C【解析】a=a+d=3试题分析：依题意有｛21，解得a1，d2，所以S=7a+21d=49.a=a+5d=1117161二二考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a和d等基本量，通过建立方程(组)获得解.即等差数列的通项公式a=a+(n-1)d及n1厂n(a+a)n(n-1)前n项和公式S=二J=na+\Jd，共涉及五个量a,d,n,a,S，知其中三n2121nn个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．7．D【分析】利用左加右减的平移原则，求得g(x)的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可.【详解】TOC\o"1-5"\h\z函数f(x)=sin2x向右平移5个单位，得g(x)=sin2(x-3)=sin(2x-：).663rC兀7,k兀兀，~一一1f(兀八\一一/\,上一rr由2x--=k兀，得x=—+-(keZ)，所以一2,0不是g(x)的对称中心，故A错;326I6Jn兀k九5兀/、兀由2x--=kn+-,得x=^-+—(keZ)，所以g(x)的图象不关于x=--轴对称，322126故B错;兀5兀八,得k兀一一<%<k兀+——(kgZ),1212兀兀5兀所以在区间-6上g(%"单调递增,在-5正上单调递增所以在区间故C错，D对;故选：D.【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为y=Asin(3%+6+B或y=Acos(3%+6+B，从^2兀而可利用正(余)弦型周期计算公式丁二两周期,对正弦型函数,其函数图象的对称中心,且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值.B【分析】根据复数运算，先求得了，再求其共轭复数，则问题得解.【详解】__4+2i由题知Z—(1-i)2——I+21，贝°z=-1-2i.故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及共轭复数的求解，属综合基础题.D【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，IAF2I+IAFJ=4,IAFJ—IAF1l=2a(其中2a为双曲线的长轴长)".IAF2I=a+2,IAF1I=2—a,又四边形AF1BF2是矩形，.,.IAF1I2+IAF2I2=IF1F2I2=(2<3)2,.\a=弋2,Ae=考点：椭圆的几何性质.A【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱台，其截面是一个梯形，分别求出上下底边的长和高，代入梯形面积公式可得答案．【详解】由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体切去一个三棱台ABC-DEF,所得的组合体，其截面是一个梯形BCFE,上底长为《1+12=.、回，下底边长为J22+22=2J2，高为：222+舟2=312，—33,29故截面的面积S=-«2+2<2)x3—=-，22故选：A.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．B【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC是直角三角形，根据棱锥的体积求出O到平面ABC的距离，利用勾股定理计算球的半径OA，得出球的面积.【详解】TOC\o"1-5"\h\z由余弦定理得cosA=A2+心—BC=A2+9T="，解得AB=2<2,2ABAC6AB3AB2+BC2=AC2，即AB1BC.，AC为平面ABC所在球截面的直径.作OD1平面ABC,则D为AC的中点，111,一<14V=—SOD=—x—x2v2x1xOD=——，O-ABC3^ABC326OD=豆.・2OA=、JOD2+AD2=2....S=4兀・OA2=16兀.球O故选：B.ADC【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断AABC的形状是关键.C【分析】构造函数gG)二/^,利用导数可判断出函数y=g(Q为R上的增函数，并将所求不等ex式化为gG)>g(0)，利用单调性可解出该不等式.【详解】f(x)广(x)-f(x)构造函数g(Q=-—,gf(x)=->0,exex所以，函数y=g(x)为r上的增函数，ex由f(0)=2，则g(0)=f(-l=2,f(x)>2ex，可得f(xl>2，即g(x)>g(0),

ex二.x>0因此，不等式f（x）>2ex的解集为二.x>0故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.〉【分析】平方作差即可得出.【详解】解：・・・（\行+<7）2-（272+<5）2=13+2<42-（13+4<10）=2（/42-\；40）>0,・•・<6+、亓>2<2+<5,故答案为：>.【点睛】本题考查了平方作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14.14.(2,V【分析】根据P2=X2+y2,tan0=-可得.x【详解】x=<3，-=-1，/.P2=x2+-2=3+1=4,/.P=2,..tan0=-=-亘，且M在第四象限，，。二四，•x36一，11兀故答案为：（2,11r）.6【点睛】本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题.15．217【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)，计算可得答案．【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22X52,所以100的所有正约数之和为(1+2+22)(1+5+52)=217．可求得100的所有正约数之和为217；故答案为：217.【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．[0,152]【分析】由圆的方程求出圆心坐标，设出M坐标，由|MA|二21MO|求得M的轨迹，再由两圆相交得到圆心距与半径的关系，求解不等式组得答案．【详解】由C:(x-a)2+(y-2a+4)2=1,得圆心。(a,2a-4),设M(x,y),IMA1=21MOI,A,xx2+(y-3)2=2\：，x2+y2，得x2+y2+2y-3=0，即x2+(y+1)2=4.・••点M在以D(0,-1)为圆心，以2为半径的圆上，则圆C与圆D有公共点，满足2-1CD2+1,即1aa2+(2a-3)23,忘wTOC\o"1-5"\h\z5a2—12a+8012，解得0a—.5a2-12a0512故答案为：［0,二］.(W【点睛】本题考查圆的标准方程，考查了两圆间位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，考查不等式组的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．(1)G-3>+y2=9,y=%；(2)302【分析】(1)曲线J的极坐标方程转化为P2=6pcos0，由此能求出曲线q直角坐标方程，由曲线C2的极坐标方程，能求出曲线C2的直角坐标方程.(2)曲线q：%2+y2—6%=0是以q(3,0)为圆心，r=3为半径的圆，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式，由此能求出结果.【详解】(1)由P=6cos0，得p2=6pcos0，所以%2+y2=6%,即曲线q的在极坐标方程为(％-31+y2=9.由0=q(pGR)，可知曲线C2的在极坐标方程为y=%.(2)因为圆心(3,。)到直线y=%的距离d=32,r=3,2所以弦长AB=2、>2-d2=3江，所以AB的长度为3<2.【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.7(1)列联表见解析，90%；(2)—.【分析】(1)根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论；（2）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【详解】（1）根据题意填写列联表如下；非高收入族高收入族总计赞成25328不赞成15722总计401050计算k2=X3.43>2.706,50x(25x计算k2=X3.43>2.706,40x10x22x28所以有90%的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；（2）设月收入在［55,65）的5人的编号为a,b,c,d,e，其中a,b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为所抽取的两人中至少有一人赞成的方法数，7因此所求概率为p=10.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．19．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）首先证明AB//面PC。，再利用线面平行的性质即可得证；（2）根据题目条件证明CD±AF，AF1PD，再根据线面垂直的判定即可得证；（3）假设存在符合题意的点M，根据面面垂直的判定推导出与题意矛盾的地方，即可得证.试题解析：（1）・・•底面ABCD是菱形，・•.AB//CD，又ABa面PCD,CDu面PCD,・•.AB//面PCD,又♦:A,b,E,F四点共面，且平面ABEFc平面PCD=EF，二AB//EF；（2）在正方形ABCD中，CD1AD,又•,平面PAD1平面ABCD，且平面PADc平面ABCD=AD,

・•・CD1平面PAD，又•・•AFu平面PAD，,CD1AF，由(1)可知AB//EF,又•・•AB//CD,.•.CD//EF，由点E是棱PC中点，，点F是棱PD中点，在APAD中，：PA=AD，,AF1PD，又:PDcCD=D，二AF1平面PCD；(3)若存在符合题意的点M:：EM1平面PCD,EMu平面PBC,.•.平面PBC1平面PCD,而这与题意矛盾了，，不存在.考点：1．线面平行的判定与性质；2．线面垂直的判定与性质．(1)y=c+dxx；(2)y=100.6+68jX；(3)576.6,66.32.【分析】(1)由散点图可以判断，y=c+dx~适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；(2)令攻=网，先建立y关于攻的线性回归方程，再求y关于x的回归方程；(3)由(2)计算x=49时年销售量y和年利润的预报值z的值.【详解】(1)由散点图可以判断，y=c+dXx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；(2)令攻=、；X，先建立y关于攻的线性回归方程，108.816=68X(w-而)(y-y108.816=68由于d=年py—(w-w)2ii=1八.・.c=y-dw=563-68*6.8=100.6,二y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w,••y关于x的回归方程为y=100.6+68VX；(3)由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值为y=100.6+68v49=576.6,年利润的预报值是Z=576.6x0.2-49=66.32.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

(1)x+y2=1；(2)[—4,0)u(0,^42].【分析】(1)设椭圆的方程为三+y2=1(〃>b>0),求出a,b的值即得解;a2b2(2)先写出直线MN的方程为y=k(x-1),联立直线与椭圆方程，设M(x,y),N(x,112y)，根据方程的根与系数的关系可求x+x,y+y=k(x+x-2),然后由IPM1=1PNI2121212k1y==且P在y轴上，令x=0解得，，p2k2+11,即可得解.2k十—

k【详解】(1)设椭圆的方程为x2+y2=1(a>b>0),设椭圆的右焦点为F(1,0),a2b2所以IBFI+1BFI=2V'2=2a,/.a=x/2.1又c=1,所以b=1,所以椭圆C的方程为x2+y2=1.(2)依题设直线l的方程为y=k(x-1).将y=k(x-1)代入x2+y2=1并整理得，2(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.A=8k2+8>0.设MN(x2,y2)，4k22k2-2则xx12,则xx122k21122k2+1■土=-2■土=-2k2k.设MN的中点为Q,则丁赤节,丁k%-1)=一日,即Q(2k2-k2k2+1'2k2+1).因为k丰0,k12k2所以直线MN的垂直平分线的方程为y+-k-=-1(x--^k—),2k2+1k2k2+1k1y二=令x=0解得，。2k2+12k+1,kTOC\o"1-5"\h\z当k>0时，因为2k+1>2<2，所以0<y<2L；kp41-、,'’2当k<0时，因为2k+<-2V2，所以—J<y<0.k4p五22综上得点P纵坐标的取值范围是［——,0)u(0,上］.44【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)若a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,+8)；若a>0时，函数f(x)的单调递L2、(2、增区间为0,