2008年全国高中数学联赛赛区预赛

2008年高中数赛吉林赛区预选择题(6,36分为了得到函数y=sin2x-π)的图6像,可以将函数y=cos2x的图像 )

Ay|y=x2-3xx∈RB={y|y=-2x,x∈R}则A©B= )(A)(-9,0 (B)[-9 (A)向右平移6个单位长 π

(C)(-∞,-4)∪[0,+

()

9 -∞,-4∪0,+ 6.已知数列{a}的通23( 23

n- n-D向左平移3个单位长 an

-12008年中国奥运会吉祥物由5迎、现有两套大小不同的(共10个).从两套中任意选出5个,有()种. ABC是平面上不共线的三

则下列表述正确的是 )a1,a1,最大项不存在,最小项为a1,填空题(9,54分(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)OABC的重心,P

nn=b+bx+OP=1(1OA+1OB+2OC) 则P一定为△ABC的 )ABAB中线的三等分点(非重心AB若存在钝角αsinα3cosαlog2(x2-x+成立,则实数x的取值范围是 )x|-1≤x01<xx|-1<x01<x{x|0≤x{x|-1<x<MN,M-Nx|x∈M,x∈NM©N=(M-N)∪(N-M)

x+⋯+bx且满足b1+b2+⋯+bn=26.整数n一个可能值 ABCD-A1B1C1D1是单位正方,黑白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬,每走完一条棱称为“走完一段”白蚂蚁AA1→A1D1→⋯,黑蚂蚁的爬AB→BB1→⋯,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n段所在直线必须是异面直线.设黑白两只蚂蚁都走完2008段后各停止在正方体的某个顶点处此,黑白两只蚂蚁的距离是.fxR,满足f(x是偶函数对于任意的x∈Rf(x+4)fx),x∈02时fx)=x则直线y=4与函数f(x)的图像交点中 有六根细木棒,其中较长两根的长度 a4)与点B(b1,b2,b3,b4)之间的距离为 a、2a,其余四根的长度均为a, 用它们搭成三棱锥.则其中两条较长的棱 AB (ai-bi)2i=在直线的夹角的余弦值 fx)=x2+ax{x|f(x)=0,x={x|f(f(x))=0,x∈R}则满足条件的所有实数a的取值范围 A1A2A1∪A2=A,则记[A1,A2]A的一组双子集拆分.规定:[A1A2]和[A2A1A的同一组双子集拆分.A={1,2,3}.,A的不同双子集拆分共有组.解答题(20,100分1

IPc1c2c3c4|ci01i12,3,4}.如果对I的任意一个n元子集Q{P1,P2,⋯,Pn},都能找到PiPjPk∈Q,PiPjPk为正三角形,PiPj=PjPk=PkPi,求n的最小值.17abc2a+4b+7c≤2a+b+c的最小值π61.π6地按以下方法构作:先在地平面αABCD边长为

y=sin2x6=cos

=cosπ x2α的上方分别以△ABDCBD底面安装上相同 正棱锥P-ABD

-2x=cos2x 3πycos2x的图像右3度成为y=cos2x 的图像(Q-CBD,∠APB=9(

C1求二面角P-BD-Q的余弦值 5(2PQBD的距离6CD的中点为MCD为一边在同一侧作两个周长均90.求△AMB的面积的最小值.fx)=x2+ax+b(ab

如图2,因为OABC所,OA+OB+=常数已知不等式|f(x|≤|2x24x-对任意的实数x定义数列{a

=

OA

OB+2bn}为

=1(OA+OB+4a1=2

,2an=f(an-1)+15(n=2,3,⋯)

=1(-OC+4OC)=1bn (n=1,2,⋯) 2+数列bn}nSn,n项的乘积记为Tn.证明:a2,b=-15n,2n+1T+S

PABCF的三等分点非重心处.设πα.设π3π3 值 sinα3cosα2sin 空间中,定义点A(a1,a2,a3所以,1log2x2+x2)≤2.2<x2-x+2≤4.解得-1≤x01<x

10.634由A -4

,+∞B=(-∞,0),A©B=

∞,-4

∪[0,+∞)a1=0,a2=-9n3t

,a3=-20 n- 为减函数, 0 3

n-<

<12 2

本题初看似乎可作出两幅图图4a)与4(b),但若对两幅图的存在性稍作回想

=t(t- 0,

上的减

不存在ACE,BEED,2数,所以,an单调递增 2因此,0>an>an-

>⋯>a4>a3 BE=ED=2a.从而,BE+ED a 所以a1,a3最小7.x0,b0=n

=BD,与三角形两边之和大于第三边)x1,2+22+23+⋯+2n=b0+b1+b2+⋯+bn2(1-2n

夹角的余弦为cos∠BDC11.{a|0≤a<

=63 1- =n+从而,2(2n-1)=nn4为可能的值 26为周期2008

fx)0x0x=-a所以,ffx))0fx)0fx)+afx)+a0fx)+0x0x=-afx)+a0,x2+ax+a9.

C,

C=2

故Δ=a2-4a0a,0≤afx的图像(3)3y4f

12.分为三类第一类:A1A2A时(A1=A),A2A的任一子集,共有8种双子集拆分.第二类A1A2共有如下三种双子集拆分A1={1},A2={2,3}A1={2},A2={1,3}A1={3},A2={1 第三类:A1A2均为二元子集,共有如 = =3三种双子集拆分A1={1,2},A2={1,3}A1={2,3},A2={2,1}

7 AB25+A1={3,1},A2={3综上,83314种不同的双子

焦点上运动lMAy=kx13.(1)如图5,作PO1⊥面ABCD y=kx

x2=25×16点O1QO2

25+16=则|MA|2=

y2yA+

16+25A=k2x2AP-Q-CBD为正三棱锥所O1O2分别△CBD的中心.O1O2BD,则BD

=(1+k2)25×1616+25-1x1k1k|MB|2=1 25

2516+25-1kPO1O2Q=(1+k2) PO1O2Q5,BDR,联结PRQR,∠PRQ即为二面角P-BD-Q

故 =1|MA|2|MB| 25×16(1+k2 =4×25×16 角

(16k+25)(16+25kPR=QR=1,PQ=O1O2=3 2故cos∠PRQ

PR2+QR2-

2k21 1 3 =32

· =100×26PH⊥RQ于点H.

△SAMBmin400△BD⊥面PO1O2QPHPO1O2Q,BD所以PHBDQPH=PRsin

k=±1,取到最小值(12x24x-300的两个实根为αβ.则α+-2,β=-15.在|fx|≤|2x24x-30|x得|fx|≤0f()所以fx)x)x=x2-α)x+αβ=x2+2x-|x2+2x-15|≤2|x2+2x-2=|2x+4x-x∈R均成立因此a2b=-15

而|I|=24=16P∈I,P∈Si∩Sj∩Sk即PPi=PPj=PPk,PiPj=PjPk=PkPi=2,△PiPjPk为正三角形.,n的最小值为9.设的值(2由(1fx)=x22x-2

a=3,b=55c2a+b2

c=2,a+b+则2an=an-1+2an-1 取最小值2从而,2an+1=an(an2因此,b

当a=3,b c=3 2+ 2an+ bn 2+

2+2=2nnn+=2annn+2 -2 下面证明:2即为所求的最小值=n+=2anan+

n=

1 n+ =3x,

5y,c=2z.Tn=b1b2 =2a

=n+ 22

2n+

an+ 2×3x+42

y+7×2111an+2Sn=b1+b2111an+2=1=a

1

+⋯+

≤2×3x×y×2z1

即3x5y7z≤15xyz=1 2 1 an+ an+所以,2n+1T+

= +2

3x+5y+72为定值

an+

=x+⋯+x+y+⋯+y+z+⋯+ ≥1515x3y5z78个点P1(0,0,0,0),P2(0,1,0,0),P3(