第5多元函数微积分-课件

大学数学基础教程第5章多元函数微积分主要内容:一、空间几何简介二、多元函数三、偏导数与全微分四、多元复合函数与隐函数求导法则五、多元函数的极值六、二重积分一、空间几何简介1、空间直角坐标系规定：如下图：Ⅱ

Ⅲ

Ⅷ

Ⅵ

Ⅶ

Ⅰ

Ⅳ

Ⅴ

坐标面xOy坐标面yOz坐标面zOx点的坐标反之，Ⅰ（+，+，+）Ⅱ（-，+，+）Ⅲ（-，-，+）Ⅳ（+，-，+）Ⅴ（+，+，-）Ⅵ（+，-，+）Ⅶ（-，-，-）Ⅷ（+，-，-）规律：2、空间任意两点间的距离定义了空间点的坐标，就可以利用坐标计算空间任意两点间的距离.

ABP1P2xyz由图：根据平面上两点间的距离公式可知：从而有：此即为空间任意两点间的距离公式.特别地，任一点与原点的距离为：证明：例1解：例2定义：3、曲面与方程例3求与两定点和等距离点的轨迹方程.和等距离的点为，由空间两点间的距离公式得：解：设与点依题意有化简得：可以证明，所有空间平面都可以用三元一次方程表示；反过来，任何一个三元一次方程的图形都是空间的一个平面。由此称三元一次方程：为平面的一般式方程。几种常见的曲面方程：以点为球心，以R为半径的球面方程为：1）球面方程：2）椭圆柱面：方程表示椭圆柱面，当a=b=R时，中不含z，即z可任取，在空间直角坐标系中该方程表示母线平行于z轴的圆柱面.

3）椭圆抛物面：4）圆锥面：5）双曲抛物面：6）双曲柱面：7）抛物柱面：二、多元函数1、多元函数的概念自变量的取值称为定义域；对应的函数值的集合称为值域。类似地，由于三元及三元以上函数的许多性质及其微分法与二元函数完全相似，所以，在此主要研究二元函数.并先介绍一些相关概念.其定义域：★注意区域：由平面上一条曲线或多条曲线围成的一部分平面称为区域.边界：围成区域的曲线称为边界.邻域：

把以点为圆心，为半径的组成的区域称为点的邻域，记为圆内所有的点内点：若点p的某个邻域内的点都属于区域D，则称点p为区域D的内点.外点：若点p的某个邻域内的点都不属于区域

D，则称点p为区域D的外点.边界点：若点p的任一个邻域内的点，既有属于区域D的点，又有不属于区域D的点，则称点p为区域D的边界点.闭区域：由所有内点和以闭曲线为边界的所有边界点组成的区域称为闭区域.开区域：只有内点组成的区域称为开区域.求函数的定义域.例4解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足不等式：

即：所以，其定义域D为：例5求函数的定义域.解：欲使函数z有意义，自变量x，y必须满足不等式组：

所以，其定义域D为：例6解：函数z在点处的函数值为：函数z在点处的函数值为：二元函数的几何意义：2、二元函数的极限与连续性1）二元函数的极限1）上述极限的定义实际上是一元函数极限定义的推广，所以有关一元函数的极限运算法则同样可以推广到二元函数.★注意3）上述极限定义不能用以求二元函数的极限，但可以用该定义判定二元函数的极限不存在，即：只要有两条路径极限不同，该函数极限就不存在.求

例7解：一元函数求极限的方法中有分子(母)有理化的方法，该方法也适用于二元函数求极限的运算.例8（待续）（续）2）二元函数的连续性二元连续函数也具有一元连续函数的相同性质，如连续函数的和、差、积、商、复合仍是连续函数；多元初等函数在其定义域内是连续函数等.因此，要求多元初等函数在其定义域内任一点处的极限值，只需要求出函数在该点的函数值即可.求极限例9解：三、偏导数与全微分1、偏导数计算方法：一元函数的求导法则及其公式同样适用于多元函数求偏导数.显然，解：例10（待续）法二（续）解：例11★注意等为一整体记号，不象可视为分子分母之商．解：例12几何意义★注意又如：如：定义：2、高偏导数解：例13例14求函数的二阶偏导数.解：

定理5.1：对于更多元或更高阶仍然成立.由上例，两个混合偏导数虽然求导次序不同，其结果却相等，但是并非在所有情况下这个结论都成立。关于混合偏导数，有以下定理：证明：例15全增量：3、全微分解：例17解：例16例18解：应用全微分进行近似计算：⑤⑥⑦这三个是常用的近似计算公式.解：例19四、多元复合函数与隐函数求导法则定理1、多元复合函数求导法则——链法则有：同理推广★注意答：练习答：练习：答：练习：★注意解：例20解：例21解：例22全微分形式的不变性即：解：例23多元隐函数求偏导数与一元函数求导数方法类似，其实质都是应用复合函数的求导法则.

2、多元隐函数求导方法求由方程所确定的隐函数的偏导数例24下面通过实例来求多元隐函数的偏导数.所以同理可得例25求由确定的函数的偏导数

求偏导数得：解：方程两边同时对所以：同理可得：五、多元函数极值函数的极值对于许多实际问题有着重要的意义，在一元函数微分学中，用导数来求函数的极值.现在将借助于偏导数来讨论多元函数的极值问题.由于三元以上的多元函数的极值与二元函数类似，为此只讨论二元函数的极值问题.1、极值证明：定理5.3定理5.4(充分条件)从上述定理得求极值的步骤：解：例26续解：例27续解题的步骤和判定的方法★注意：2、最值解：例28续引例曲顶柱体的体积六、二重积分Ⅰ、分割（化整为零）Ⅱ、取近似（不变代变）Ⅲ、求和（积零为整）Ⅳ、取极限（无限逼近）定义5.10即：★理解几何意义：二重积分的性质：二重积分的计算：若如图：由定积分的