数字图像ch14-小波变换(第3-5讲)课件

数字图像处理学第3章图像处理中的正交变换（第五讲）3.6小波变换3.6.1概述

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近20年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换、Gabor变换相比小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，

解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间－－尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果；有人认为，除了微分方程的求解之外，原则上能用Fourier分析的地方均可以用小波分析，有时甚至能得到更好的结果。

与Fourier变换、Gabor变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。

小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家J.Morlet于1984年提出的。他在分析地震波的时频局部特性时,希望使用在高频处时窗变窄,低频处频窗变窄的自适应变换。但Fourier变换很难能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为“Morlet小波基”。

Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到数学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、Hardy空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作了理论上的准备。后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。1986年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法－－多尺度分析。

从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得一提的是比利时女数学家I.Daubechies的“TenlecturesonWavelet”一书对小波的普及应用起了重要的推动作用。

1986年S.Jafferd、Y.Meyer与从事信号处理的S.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波基的一般化方法。S.Mallat还提出了小波变换的快速分解与重构算法，现在称之为Mallat算法。

该算法在小波分析中的作用相当于FFT在Foruier变换中的地位。后来，该方法成功地应用于图像的分解与重建。在用于时频分析时，希望小波具有紧支撑集，1988年I.Daubechies首先构造了紧支集光滑小波。从此，小波分析理论得到了系统化。虽然小波正交基用途广泛，但也存在着不足。1）、小波正交基的结构复杂；2）、具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。因此，它用作滤波器不可能有线性相位，从而产生信号重构失真。

为解决此类问题又产生了所谓双正交小波基理论。在实际应用中，人们还构造了周期小波和多元小波等。近年来小波分析已深入到非线性逼近、统计信号处理等领域。由此可见，小波理论及应用正在逐步发展与完善。3.6.2时－频分析

信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，以便突出信号中重要特性，简化运算的复杂度。大家熟知的Fourier变换就是一种刻划函数空间，求解微分方程，进行数值计算的主要方法和有效的数学工具。它可把许多常见的微分、积分和卷积运算简化为代数运算。

从物理意义上理解，一个周期振动信号可看成是具有简单频率的简谐振动的叠加。Fourier展开正是这一物理过程的数学描述。即：（3—197）

(3—198)Fourier变换的特点是域变换，它把时域和频域联系起来，把时域内难以显现的特征在频域中十分清楚地显现出来。频谱分析的本质就是对F(ω)

的加工与处理。基于这一基本原理，现代谱分析已研究与发展了多种行之有效的高效、多分辨率的分析算法。由于，因此，频谱F(ω)的任一频率成份的值是由时域过程f(t)

在－∞,+∞

上的贡献决定的，而过程f(t)

在任一时刻的状态也是由F(ω)在整个频域－∞,+∞的贡献决定的。

该性质可由δ(t)

函数来理解，即时域上的一个冲激脉冲在频域中具有无限伸展的均匀频谱。f(t)

与F(ω)间的彼此的整体刻划，不能反映各自在局部区域上的特征。

在实际过程中,时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份，显然利用Fourier变换处理这些信号，这些非平稳的突变成份往往被Fourier变换的积分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。

1.Gabor变换

由于Fourier变换存在着不能同时进行时间－频率局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。1946年D.Gabor提出一种加窗的Fourier变换方法，它在非平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似之处。

(1).Gabor变换的定义在Gabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗来实现的。整个时域的覆盖是由参数τ的平移达到的。换句话说，该变换是用一个窗函数g(t-τ)

与信号f(t)相乘实现在τ附近开窗和平移，然后施以Fourier变换，这就是Gabor变换也称短时Fourier变换或加窗Fourier变换。Gabor变换的定义由下式给出：对于f(t)∈L2(R)

(3—199)其中是积分核。该变换在τ

点附近局部测量了频率为ω

的正弦分量的幅度。通常g(t)选择能量集中在低频处的实偶函数；

D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数，相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化功能。令窗口函数为则有：（3—200）式中a决定了窗口的宽度，的Fourier变换用表示，则有(3—201)由此可得到：

显然信号f(t)的Gabor变换按窗口宽度分解了f(t)的频谱F(ω)。提取出它的局部信息。当τ

在整个时间轴上平移时，就给出了Fourier的完整变换。相应的重构公式为：(3—203)窗口Fourier变换是能量守恒变换，即:(3—204)这里应注意积分核对所有τ和ω都有相同的支撑区，但周期数随ω而变化。支撑区是指一个函数或信号f(t)

的自变量t的定义域，当在定义域内取值时f(t)

的值域不为零，在支撑区之外信号或过程下降为零。为了研究窗口Fourier变换的时频局部化特性就要研究和的特性。这里是的Fourier变换。由于Fourier变换是能量守恒的，所以，有parseval定理存在。即：（3—205）这里的和分别是和的复共轭函数，当为实数时两种表示是相等的。如果把上述函数乘积的积分运算用内积符号表示，（3—206）则有（3—207）其中f和y都是在实数域的平方可积函数。由此当

则有:(3—208)符号叫做f(x)的范数。

这一表达式的物理意义是Fourier变换的时域和频域的一对共轭变量具有对易关系，从而使Fourier变换与加窗口的Fourier变换具有对称性。如果用角频率变量代替时间变量，用频域窗口函数代替时域窗口函数则可得到：（3—209）这里是时域窗口函数的Fourier变换。该式的意义在于频域中的信号通过窗口函数的加窗作用获得了在频率附近的局部信息，即:

如果选用窗口函数在时域和频域均有良好的局部性质，那么可以说Fourier变换给出了信号f(t)的局部时－频分析。这样就有利于同时在频域和时域提取信号f(t)的精确信息。(3—210)

(2).Heisenberg测不准原理

由Gabor变换的局部时－频分析的原理，人们自然希望得到合适的时窗和频窗选择方法，以便提取精确的信息，这自然涉及到窗口的选择问题。如果我们把和作为窗口函数在时域和频域的重量分布，令和分别表示时窗和频窗的“重心”，和表示和的均方差，则有:

(3—211)

如果作归一化处理，令则上式为：

(3—212)(3—213)这里,我们把时—频窗的面积作为衡量时—频局部特性的一个定量标准.设

则有:(3—214)对于窗口函数，假设

并且的导数的Fourier变换为，所以:即：由此：（3—215）

所以(3—216)此式说明和的乘积大于等于一个常数。这说明在对信号作时－频分析时，其时窗和频窗不能同时达到极小值，这就是Heisenberg测不准原理。上式如果用f代替角频率则.(3—217)

由上式可知，无论是周期信号还是非周期信号，既可以用f(t)来描述，也可以用F(ω)来描述，采用哪种方法可根据具体问题而定。但如果对时域和频域均感兴趣的话，Gabor变换是一个有力的分析工具。但它受到Heisenberg测不准原理的制约。要想同时达到时间t与频率ω

的最高分辨率是不可能的。

对于时－频窗口的选择应遵循如下规律：对于宽带信号，由于频率变化剧烈，为了能准确提取高频信息要有足够的时间分辨率，应选小值，可这样会造成样本点多，计算量大，难于获得快速高效算法。为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。总之对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，自动改变和的大小。高频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小，时窗大。

但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。

3.6.3连续小波变换

在信号分析与处理中，为了提高算法的效率，对信号进行变换处理的积分核应属于正交基，作为信号分析的有效数学工具的标志应是可变窗口、平移功能和正交性。Gabor变换为此迈出了关键的一步，因为Gabor变换已具备了平移功能，只是其相当于放大倍数固定的显微镜而已。在这方面J.Morlet为此作出了重大贡献。1.小波

形如下式的函数称之为小波。其中a为尺度参数，b是定位参数。

若a>1，函数具有伸展作用，若0＜a<1，函数具有收缩作用。而其Fourier变换则恰好相反。伸缩参数a对小波的影响见图3—21。小波随伸缩参数a平移参数b而变化如图3—22所示。a:a<1;b:a=1;c:a>1。

图

3—22小波的波形随参数变化的情形

图中小波函数为。当a=2,b=15时，的波形从原点向右移至t=15且波形展宽，a=0.5,b=-10时，则是从原点向左平移至t=-10处且波形收缩。

随着参数a的减小，的支撑区也随之变窄，而的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率，反之亦然。小波的选择既不是唯一的，也不是任意的。这里是归一化的具有单位能量的解析函数，它应满足如下几个条件：

(1)定义域应是紧支撑的(CompactSupport)，换句话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就是函数应有速降特性。(2)平均值为零，即：该条件也叫小波的容许条件(AdmissibilityCondition)其高阶矩也为零。(3-220)(3—219)

(3—221)式中,是有限值它意味着处连续可积(3—222)

上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。由上式可以看出，小波在t轴上取值有正有负才能保证式(3—222)积分为零。所以应有振荡性。

小波变换：设函数具有有限能量，即:（3—218）

则小波变换（系数）的定义如下：实轴上平方可积a、b变化－系列函数－基函数其中，积分核就是函数族：如果是复变函数时，上式采用复共轭函数。对于所有的，，连续小波逆变换由式（3—223）给出。(3—223)其中

连续小波的作用与Gabor

变换中窗口函数类似，其中b与都起着平移的作用，不同的是参数与，窗口的形状是由决定的，的变化只改变窗口包络内谐波的频率成分；而尺度参数的作用则既改变窗口的大小与形状，也改变小波的频谱。

其中的关键是在引入小波函数时，利用了Fourier变换的相似性质：即：如果是Fourier变换对的关系，则

也是Fourier变换对的关系。2.小波变换的时－频局部化

小波是紧支撑函数，小波变换实现时-频局部化分析的特点与信号频率高低密切相关。因此，了解小波变换在频域中的特性是很重要的。由能量守恒定理可知：（3—229）(3—410)