直线的参数方程

第二讲参数方程一、曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程三、直线的参数方程1.参数方程的概念2.圆的参数方程3.参数方程和普通方程的互化1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程四、渐开线与摆线一、曲线的参数方程1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点M的坐标(x,y)间关系的方程叫做普通方程.函数(1)圆心为原点，半径为r的圆的参数方程2.圆的参数方程如果点P的坐标为(x,y),圆的半径为r，∠AOP=，根据三角函数的定义，点P的横坐标x，纵坐标y都是的函数，即①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，其中是参数.xyOP(x,y)A普通方程圆的参数方程的一般形式：(2)圆心为C(a,b)，半径为r的圆的参数方程普通方程参数方程(为参数)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，①可以通过消去参数由参数方程得到普通方程；②如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=f(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，那么，这就是曲线的参数方程.3.参数方程和普通方程的互化在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。二、圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程参数方程。轴上的椭圆的，焦点在中心在原点参数方程为，这是xO为参数byax)(sincosjjjîíì==babyax)0(12222>>=+椭圆的一个2、双曲线的参数方程参数方程。轴上的双曲线的，焦点在中心在原点参数方程为，这是xO为参数byax)(tansecjjjîíì==双曲线的一个babyax)0(12222>>0,=-注意：3、抛物线的参数方程抛物线的普通方程为其中p表示焦点到准线的距离.它的一个参数方程为(t为参数)练习1.

取一切实数时，连接A(4sin

,6cos)和B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹是

.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin练习2.已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.练习2.已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.我们学过的直线的普通方程都有哪些形式?两点式:点斜式:一般式:(A,B不全为0)斜率公式:斜截式截距式三、直线的参数方程的坐标？一点的坐标表示直线上任意和如何用？的单位方向向量写出直线如何利用倾斜角MMeel0)2()1(思考：(1)直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？(2)参数t的取值范围是什么？(3)该参数方程形式上有什么特点？思考：|t|=|M0M|xyOM0M解:所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离,即练习B.的一个参数方程是

(2)直线）为参数）的倾斜角是（（(1)直线01160.110.70.20.20cos20sin3000000=+-îíì=+=yxDCBAttytx(t为参数)探究例1、已知直线l:x+y-1=0与抛物线C:y=x2交于A,B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.ABM(-1,2)xyO例题讲解如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？①①课堂练习例2、经过点M(2,1)作直线l，交椭圆好为线段AB的中点，求直线l的方程.于A,B两点，如果点M恰ABlOxy1sin3)sin2(cos4,,08)sin2(cos4)1sin3()(sin1cos2)1,2(2212122++-=+===-++++=+=aaaaaaaattMtMBtMArttttytxlM有两个实根，所以在椭圆内，这个方程必因为点的几何意义知由代入椭圆方程得为参数的参数方程为的直线解：设过点042)2(21121tan,0sin2cos,0221=-+--=--===+=+yxxylklttABM即的方程为，因此直线的斜率为于是直线即的中点,所以为线段因为点aaa5.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1cm,点M的起始位置在点M0