北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件

北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件本章知识构造图圆的根本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆圆和圆的位置关系弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积圆的定义〔运动观点〕在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O〞一、与圆有关的概念圆的定义辨析篮球是圆吗？圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周〞还是“圆面〞？圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系？圆的定义〔集合观点〕圆是到定点的距离等于定长的点的集合。圆上各点到定点〔圆心〕的距离都等于定长〔半径〕；到定点的距离等于定长的点都在圆上。一个圆把平面内的所有点分成了多少类？你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。经过圆心的弦〔如图中的AB〕叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段〔如图AC〕叫做弦，弦圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·COAB弧⌒圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB〞或“弧AB〞．·COAB劣弧与优弧⌒小于半圆的弧叫做劣弧.大于半圆的弧叫做优弧.⌒〔如图中的AC〕(用三个字母表示,如图中的ACB)想一想判断以下说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧

合作学习请将自己所画的圆与同伴所画的圆进展比较，它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？O1rO2r半径相等的两个圆叫做等圆。圆心一样，半径相等的两个圆是同心圆;半径相等的两个圆是等圆.判断题弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。同心圆：圆心一样，半径不相等的两个圆叫做同心圆等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧应同时满足两个条件：1〕两弧的长度相等，2〕两弧的度数相等。1、直径是弦，而弦不一定是直径；2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；3、两条等弧的度数相等，长度也相等，反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。注意：·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．⌒⌒即直径CD垂直于弦AB，平分弦AB,并且平分AB及ACB“知二推三〞(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加〞不是直径〞的限制.垂径定理及推论●OABCDM└垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!垂径定理的推论如图,在以下五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.一、判断是非：〔1〕平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。〔2〕平分弦的直线，必定过圆心。〔3〕一条直线平分弦〔这条弦不是直径〕，那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。〔5〕平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。〔6〕弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E〔7〕平分弦的直径垂直于弦1、如图,⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,那么OC的长为_______.OABC3AC=BC弦心距半径半弦长反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据

定理求出第三个量：CDBAO2：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。垂径3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。MAPBOA

●OCDAB当两条弦在圆心的同侧时●OCDAB解:当两条弦在圆心的两侧时例4圆O的半径为5cm,弦AB∥弦CD,AB=6cm,CD=8cm,那么AB与CD距离是cm.FE过O作OE⊥AB于E点,连接OB,由垂径定理得:AE=BE=0.5AB=3延长EO交CD于F,连接OC335OB=5,由勾股定理得:OE=4又∵AB∥CD∴OF⊥CD由垂径定理得:

CF=DF=0.5CD=4OC=5,由勾股定理得:OF=3那么EF=OE+OF=7444533455FEEF=OE-OF=11、⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P，AB=6，CP=1，那么⊙O的半径为--------------。2、⊙O的直径为10cm,A是⊙O内一点，且OA=3cm,那么⊙O中过点A的最短弦长=-------------cm。3、两圆相交于C、B，AC=100，延长AB，AC分别交⊙O于D、E，那么E=--------------ABCDOPOAABCDE5850练习题4.如下图，RtΔABC中，∠C=90°,AC=,BC=1,假设以C为圆心，CB为半径的圆交AB于P，那么AP＝。D练习题圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.·OBA●OBACCDF圆心角：如∠BOA圆内角：如∠BCA圆周角：如∠BDA圆外角：如∠BFA角的顶点在圆心角的顶点在圆周上是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?动起来!圆周角定义辨析：圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角:顶点在圆心的角.看清要点弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆〔或等圆〕中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.ABDCO∵

∠COD=∠AOB︵AB︵CD=∴∴AB=CD●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.圆周角定理：在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角的性质:化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法数学思想1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACB3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOB4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质(2)∵∠ADB与∠AEB、∠ACB是同弧所对的圆周角∴∠ADB=∠AEB=∠ACB性质3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径.∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=900圆周角的性质:性质5:圆内接四边形对角互补。1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，那么AB=_____，BC=_____；2、、同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，那么弦AB与AC之间的关系为〔〕；A.AB=2AC B.AB<2AC C.AB>2AC D.不能确定3、如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于()；A．150°B．130°C．120°D．60°

图1图240BC练习题4.如图：圆O中弦AB等于半径R，那么这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.60度30或150度练习题5：ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠AOC=140°，求∠B的度数．D

解：在优弧AC上定一点D，连结AD、CD.∵∠AOC=140°

∴∠D=70

°∴∠B=180

°

－70

°

=110°练习题6.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角为( )A.60°B.120°C.45°D.60°或120°D7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，假设它的一个外角∠DCE=70°，那么∠BOD=( )A．35°B.70°C．110°D.140° D练习题8.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上,则∠C=

。30°练习题

如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内B点在圆上C点在圆外点A在⊙O内

点B在⊙O上

点C在⊙O外

反过来，如果点到圆心的距离和圆的半径之间的关系，可以判断点和圆的位置关系?

OA＜rOB=rOC＞rABCrOA＜rOB=rOC＞rO二、点和圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，那么有：点P在⊙O内

点P在⊙O上

点P在⊙O外

点与圆的位置关系d＜rd=rd＞rrpdprd

Prd读作“等价于〞，它表示从符号左端可以得到右端，也可以从右端得到左端。1、平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？探究与实践●O●A●O●O●O●O无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离2、平面上有两点A、B，经过点A、B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？探究与实践●O●O●O●OAB以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点到A或B的距离为半径作圆.无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。3、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？

归纳结论：

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。探究与实践┓●B●C经过B,C两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.┏●A经过A,B,C三点的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.●O经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程－6x＋8＝0的两根，那么点A与⊙O的位置关系是〔〕A．点A在⊙O内部B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外部D．点A不在⊙O上2、M是⊙O内一点，过点M的⊙O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，那么OM=_____cm.3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是〔〕A、1∶2∶3∶4B、1∶3∶2∶4C、4∶2∶3∶1D、4∶2∶1∶3D3D练习题4、有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，Ｐ是圆环内一点，那么ＯＰ的取值范围是＿＿＿＿＿.r<OP<R练习题经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．一个三角形的外接圆有几个？一个圆的内接三角形有几个？经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。想一想●OABC

有关概念分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并表达各三角形与它的外心的位置关系.做一做锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O相交相切相离l〔1〕相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。〔2〕相切：直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。〔3〕相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。OOO三.直线与圆的位置关系直线与圆位置关系的数量特征相交相切相离rd1rOOO（1）直线l和⊙O相交（2）直线l和⊙O相切（3）直线l和⊙O相离d2rd3符号“”读作“等价于”。它表示从左端可以推出右端，并且从右端也可以推出左端。探索与发现演示无切线割线无切点交点d>rd=r02相切相交直线名称公共点名称

d<r圆心到直线距离

d与半径r关系1公共点个数相离直线和圆的位置关系1、直线与圆的位置关系表：小结2、本节课利用〔1〕类比点与圆的位置关系，从运动变化的观点来研究直线和圆的位置关系；〔2〕利用了分类的思想把直线和圆的位置关系分为三类讨论；〔3〕用了数形结合的思想，通过d与r这两个数量之间的关系来研究直线和圆的位置关系。切线的判定定理定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.教师提示:切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经历辅助线之一.CDB●OA如图∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.判定切线的方法：〔１〕定义〔２〕圆心到直线的距离d＝圆的半径r〔３〕切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定定理的应用1.⊙O上有一点A,你能过点A点作出⊙O的切线吗?教师提示:根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线〞只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.●O●A┑2.⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗?●O●P┓┓┓┓┓切线的判定定理的两种应用1、如果直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．证明：连结OP。∵AB为直径∴OB=OA，BP=PC，∴OP∥AC。又∵PE⊥AC，∴PE⊥OP。∴PE为⊙0的切线。例1、△ABC中，以AB为直径的⊙O，交边BC于P，BP=PC,PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。OABCEP

如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．证明:DE是圆O的切线.ABCDEO.练习题切线的性质定理定理圆的切线垂直于过切点的半径.如图∵CD是⊙O的切线,A是切点,OA是⊙O的半径,∴CD⊥OA.教师提示:切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经历辅助线之一.CDB●OA经过圆外一点的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这个点到圆的切线长PAOBPA切线长定义：切线与切线长的区别：切线是直线，不能度量。切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外的一点和切点，可以度量。PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠1=∠2从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理：APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。12切线长定理的推广

〔议一议〕四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相交相切于点L、M、N、P。观察图并结合切线长定理，你发现了什么结论？并证明之。CBADPLMNO圆的外切四边形的两组对边的和相等AB＋CD＝AD＋BC等腰梯形各边都与⊙O相切，⊙O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，那么梯形的面积为_____。圆的外切四边形的两组对边的和相等AB＋CD＝AD＋BC应用举例868CBADPLMNO从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?教师提示:假设符合条件的圆已作出,那么它的圆心到三边的距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上,半径为圆心到三边的距离.三角形与圆的位置关系ABCABC┓┗┗┓I●●●●●┓┗┗┓┗┗┓┗┗I●┓●三角形与圆的位置关系这圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.ABC●IABCO三角形的外接圆和内切圆：ABCI三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等OI特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：R=—c2r=————a+b-c2ABCabc直角三角形外接圆、内切圆半径的求法等边三角形外接圆、

内切圆半径的求法根本思路：构造三角形BOD，BO为外接圆半径，DO为内切圆半径。ABCODRr等边三角形的外心与内心重合.特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.OABCD三条高线的交点三条角平分线的交点三边垂直平分线的交点三条中线的交点在形内、形外或直角顶点在形内、形外或斜边中点在形内在形内到三角形各顶点距离相等到三角形三边距离相等把中线分成了2:1两局部三角形的各种心：例3：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。x13﹣xx13﹣x9﹣x9﹣xADCBOFE如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAF练习题如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E〔1〕假设PA=2，那么△PDE的周长为____；假设PA=a，那么△PDE的周长为_____。〔2〕连结OD、OE，假设∠P=40°，那么∠DOE=_____;假设∠P=k,∠DOE=___________度。EOCBDP42a70°练习题4、判断。1、三角形的外心到三角形各边的距离相等；〔〕2、直角三角形的外心是斜边的中点．〔〕5、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，那么它的外接圆半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比．6、选择题：以下命题正确的选项是〔〕A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆×√6.5cm2cm2:1C7、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,那么这个三角形的面积为______．30cm²练习题切点外离:两圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外离.外切:两圆只有一个公共点,并且除了公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两圆外切.这个公共的点叫做切点.四、两圆位置关系切点相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交.内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切.这个公共点叫做切点.内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内含.特例圆和圆的位置关系外离内切相交外切内含没有公共点相离一个公共点相切两个公共点相交圆与圆的位置关系两圆位置关系的性质与判定:性质判定0R―rR+r同心圆内含外离外切相交内切位置关系数字化d小结:1)两圆的五种位置关系2)用两圆的圆心距d与两圆的半径R,r的数量关系来判别两圆的位置关系1、两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?解：设大圆半径R=3xcm,小圆半径r=2xcm依题意得：3x-2x=8解，得：x=8∴R=24cm，r=16cm∵两圆相交:R-r<d<R+r∴8cm<d<40cm练习题2、这是一块铁板，上面有A、B、C三个点，经测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半径。ACB解：设⊙P的半径为R(1)假设⊙O与⊙P外切，那么OP=5+R=8R=3cm(2)假设⊙O与⊙P内切，那么OP=R-5=8，R=13cm所以⊙P的半径为3cm或13cm..PO3如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm。假设以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？例题正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等，三个角也相等〔60度〕四条边都相等，四个角也相等〔90度〕四、正多边形和圆想一想：怎样找圆的内接正三角形？

怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的内接正n边形？EFGH

ABCD把圆分成n〔n≥3〕等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形；这个圆叫正多边形的外接圆。

定理四、正多边形和圆〔1〕.有关概念〔2〕.常用的方法〔3〕.正多边形的作图EFCD.边心距r半径R中心角O边OABCRda知识精华:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．OABFDCEG3.中心角：正多边形每以边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距．一、知识要点概述1、弧长公式和扇形面积公式n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形的面积公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：五、圆中的计算问题这样就不至于因死记硬背而出错．将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：这一公式与三角形面积公式酷似．为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看成底边上的高即可．2、弓形面积弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解与组合，实际应用时，可根据图形直观选用以下公式：①当弓形所含的弧是劣弧时,如图(甲)，S弓形=S扇形OAB－S△AOB；②当弓形所含