高中数学-34函数y=Asin(ωxφ)的图象及三角函数的应用配套课件-苏教版

第四节函数(hánshù)y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数(hánshù)的应用第一页，共48页。内容要求ABC函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质√…………三年2考高考(ɡāokǎo)指数:★★★第二页，共48页。1.用“五点法”作函数(hánshù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点,作图时的一般步骤为:(1)定点：先确定五点.即令ωx+φ分别等于0,，π,,2π，得对应的五点为：第三页，共48页。________,__________，_________,____________,___________.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用____________顺次连结得到y=Asin(ωx+φ)在一个周期(zhōuqī)内的图象.(3)扩展：将所得图象,按周期(zhōuqī)向两侧扩展可得y=Asin(ωx+φ)在R上的图象.平滑(pínghuá)的曲线第四页，共48页。【即时应用】(1)思考：用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象，主要确定哪些数据？提示：先求出周期T=,再确定A,列出一个(yīɡè)周期内的五个特殊点.(2)用五点法作函数y=sin(x-)在一个(yīɡè)周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.第五页，共48页。【解析】分别令可求出x的值分别为又因为(yīnwèi)A=1,所以需要确定的五个点为：答案：第六页，共48页。2.图象(túxiànɡ)变化规律(其中A＞0，ω>0)(1)先平移后伸缩y=sinx的图象(túxiànɡ)y=sin(x+φ)的图象(túxiànɡ)y=sin(ωx+φ)的图象(túxiànɡ)y=Asin(ωx+φ)的图象(túxiànɡ)第七页，共48页。(2)先伸缩后平移(pínɡyí)y=sinx的图象y=Asinx的图象y=Asinωx的图象y=Asin(ωx+φ)的图象第八页，共48页。【即时应用(yìngyòng)】(1)y＝sin(x＋)的图象是由y＝sinx的图象向______平移________个单位得到的.(2)y＝sin(x－)的图象是由y＝sinx的图象向______平移________个单位得到的.(3)y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向_____平移________个单位得到的.(4)y=sin(2x+)的图象是由y=sin2x的图象向_______平移_______个单位得到的.第九页，共48页。【解析】(1)(2)(3)根据图象变化规律易求.(4)∵y=sin(2x+)=sin[2(x+)],∴将y=sin2x的图象向左平移(pínɡyí)个单位长度就得到y=sin(2x+)的图象.答案：(1)左(2)右(3)右(4)左第十页，共48页。3.函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义形如y=Asin(ωx+φ)的函数，在物理、工程等学科的研究中有着广泛(guǎngfàn)的应用，其中参数A，ω,φ具有相应的实际意义.在物理学上，当函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈［0,+∞)表示简谐运动时，则A叫做______，T=叫做______，f=叫做______，ωx+φ叫做______，x=0时的相位φ叫做______.振幅(zhènfú)周期(zhōuqī)频率相位初相第十一页，共48页。【即时应用】如图，它表示电流I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|＜)在一个(yīɡè)周期内的图象.试根据图象写出I=Asin(ωt+φ)的解析式：________，其频率f=_________.第十二页，共48页。【解析(jiěxī)】由图象知所以由由+φ=2kπ+π得φ=2kπ+(k∈Z),∵|φ|＜,∴φ=；所以即.答案：第十三页，共48页。函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其图象变换【方法(fāngfǎ)点睛】函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取0，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.第十四页，共48页。(2)图象变换法：由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象，有两种主要途径：“先平移(pínɡyí)后伸缩”与“先伸缩后平移(pínɡyí)”.【提醒】五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图象变换要注意顺序.第十五页，共48页。【例1】画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.【解题指南】作函数y＝3sin(2x＋)的图象可用五点作图或图象变换(biànhuàn)法.【规范解答】方法一：五点法由T＝，得T＝π，列表：x2x+3sin(2x+)0π2π30-300第十六页，共48页。描点画图：将所得(suǒdé)图象按周期向两侧扩展可得y=3sin(2x+)在R上的图象.第十七页，共48页。方法二：图象变换法将所得图象按周期向两侧(liǎnɡcè)扩展可得y=3sin(2x+)在R上的图象.第十八页，共48页。【反思·感悟】五点法作图的关键点五点法作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.要注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展(shēnzhǎn)一下，以表示整个定义域上的图象.注意用图象变换法作图仅能作出简图.第十九页，共48页。【变式训练】作出y=sin(x-)在一个(yīɡè)周期内的图象.【解析】列表：描点、连线，画出的图象如图：0π2πxy010-10第二十页，共48页。由图象(túxiànɡ)求解析式【方法点睛】确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m,则(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω=.(3)求φ常用的方法有：①代入法：把图象(túxiànɡ)上的一个已知点代入(此时A，ω,b已知)或代入图象(túxiànɡ)与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).第二十一页，共48页。②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点(jiāodiǎn))时ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ=;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点(jiāodiǎn))时ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ=；“第五点”时ωx+φ=2π.【提醒】在求φ时要注意所给的范围.第二十二页，共48页。【例2】(1)如图是函数(hánshù)y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象的一部分，它的振幅为_____，周期为______，初相为_____.(2)(2012·苏州模拟)函数(hánshù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈［0,2π))的图象如图所示，则f(x)=______.第二十三页，共48页。(3)如图是f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0,｜φ｜＜的一段图象，则函数f(x)的解析式为____.【解题指南】由图象确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，首先(shǒuxiān)确定A的值，其次根据图象求周期T，根据周期求ω；最后根据所给的数据求φ.第二十四页，共48页。【规范解答】(1)由图象知，所以(suǒyǐ)得φ=+2kπ,k∈Z，又∵|φ|<π,∴当k=-1时，φ=π.答案：(2)由图象知A=3，T=2(7-3)=8，第二十五页，共48页。答案：(3)由图象(túxiànɡ)得A=2，当x=0时，sinφ＝，因为｜φ｜＜，所以φ=，所以由题图可知∴ω=3.所以y=2sin(3x+).答案：y=2sin(3x+)第二十六页，共48页。【互动探究】把本例中(3)的图象改为如图所示，其他不变，如何(rúhé)求解？【解析】由图象知A=，T＝4，所以T=16，则由6×+φ=π+2kπ,k∈Z,|φ|＜,得φ＝.所以函数的解析式为：第二十七页，共48页。【反思·感悟】1．振幅A与最值有关；ω与周期T有关；初相φ用待定系数法求解(qiújiě);2．利用待定系数法解题的过程中选择的点要慎重;3．要善于观察图象，抓住图象的特征.第二十八页，共48页。【变式备选】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的部分图象(túxiànɡ)如图所示.(1)求ω，φ.(2)求函数的图象(túxiànɡ)的对称轴和对称中心.【解析】(1)由图象(túxiànɡ)知第二十九页，共48页。由得φ=2kπ+(k∈Z),(2)由2x+=kπ+得x=(k∈Z),∴函数(hánshù)f(x)的对称轴为(k∈Z).又由2x+=kπ得x=-,(k∈Z),故对称中心为(,0),(k∈Z).第三十页，共48页。三角函数性质(xìngzhì)的应用【方法点睛】y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质(xìngzhì)(1)奇偶性：φ=kπ时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数,φ=kπ+时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数；(2)周期性：y=Asin(ωx+φ)具有周期性，其最小正周期为T=；第三十一页，共48页。(3)单调性：根据y=sint和t=ωx+φ的单调性来研究.由-2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z得递增区间;由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ,k∈Z得递减区间；(4)对称性：①利用(lìyòng)y=sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.②y=sinx的对称轴是x=kπ+(k∈Z),求解时令ωx+φ=kπ+(k∈Z)即可.第三十二页，共48页。【例3】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象(túxiànɡ)与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2)．(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的增区间；(3)若x∈[-π,π]，求f(x)的值域.第三十三页，共48页。【解题指南(zhǐnán)】根据已知条件结合图象先求出解析式，再根据解析式求出单调区间和值域.【规范解答】(1)由图象知A=2，由=2π得T=4π，所以ω=.∴f(x)=2sin(x+φ),∴f(0)=2sinφ=1，又∵|φ|<，∴φ=,∴f(x)=2sin(x+),由f(x0)=2sin(x0+)=2，∴x0+=+2kπ，x0=4kπ+,k∈Z,又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0=.第三十四页，共48页。(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z得-+4kπ≤x≤+4kπ，所以(suǒyǐ)f(x)的增区间为[-+4kπ,+4kπ],k∈Z.(3)∵-π≤x≤π，∴-≤x+≤,所以(suǒyǐ)-≤sin(x+)≤1，所以(suǒyǐ)-≤f(x)≤2，所以(suǒyǐ)f(x)的值域为[-,2].第三十五页，共48页。【反思·感悟】求三角函数性质时的注意(zhùyì)事项求三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质，不论是周期性、单调性、对称性还是求三角函数的最值，都要以三角函数y=sinx的性质为基础.另外在求解时要注意(zhùyì)所给的范围和φ的取值.第三十六页，共48页。【变式训练(xùnliàn)】求函数y=sinx+cosx的周期、最大值和最小值．【解析】因为所以，周期T==2π，最大值为2，最小值为-2.第三十七页，共48页。【变式备选】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的图象(túxiànɡ)与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象(túxiànɡ)上一个最低点为M(,-2).(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈［,］时，求f(x)的值域.【解析】(1)由最低点为M(,-2),得A=2.由图象(túxiànɡ)与x轴的相邻两个交点之间的距离为,得=,即T=π,∴ω===2.由点M(,-2)在图象(túxiànɡ)上得2sin(2×+φ)=-2,即sin(+φ)=-1,第三十八页，共48页。故+φ=2kπ-(k∈Z),∴φ=2kπ-(k∈Z).又φ∈(0,),∴φ=,故f(x)=2sin(2x+).(2)∵x∈［］,∴2x+∈［］.当2x+=,即x=时，f(x)取得(qǔdé)最大值2;当2x+=,即x=时,f(x)取得(qǔdé)最小值-1,故f(x)的值域为［-1,2］.第三十九页，共48页。【易错误区】有关三角函数性质的易错点【典例】(2011·天津高考改编(gǎibiān))已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则①f(x)在区间［-2π,0］上是增函数第四十页，共48页。②f(x)在区间［-3π,-π］上是增函数③f(x)在区间［3π,5π］上是减函数④f(x)在区间［4π,6π］上是减函数其中所有正确的序号为_______.【解题指南(zhǐnán)】求出函数f(x)的解析式,再根据三角函数的性质判断.第四十一页，共48页。【规范解答】由题意(tíyì)可得ω=,φ=,f(x)=2sin(x+),当2kπ-≤x+≤+2kπ,即6kπ-≤x≤+6kπ,k∈Z时函数是增函数,所以f(x)在［-2π,0］上是增函数.①正确，②错误.又当2kπ+≤x+≤2kπ+π,即6kπ+≤x≤6kπ+π,k∈Z时函数为减函数，故③④都不正确.答案：①第四十二页，共48页。【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们(wǒmen)可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有三点容易出现错误：(1)根据题意求φ的值时，易忽略φ的取值范围而出错；(2)根据条件列出不等式，在解不等式时容易出错；(3)当最后求出x的范围后确定单调增区间时容易出错.第四十三页，共48页。备考建议解决有关y=Asin(ωx+φ