第05讲空间向量及其运算的坐标表示（知识解读真题演练课后巩固）

第05讲空间向量及其运算的坐标表示1.理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.2.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2)空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)2空间向量的直角坐标运算律①若a=(则aλaa||b⇒a⊥②若Ax1,③模长公式若a=(a1④夹角公式cos<∆ABC中，AB⑤两点间的距离公式:若A(则|或d【题型1空间向量坐标运算】【典题】（1）已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a(1)a,b,c；(2)【解析】(1)∵a//b，∴故a=(2,4,1),又因为b⊥c，所以b⋅c=0故c=(2)由(1)可得a+设向量a+c与b+则cos⁡θ=（2）已知空间四点A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)在同一平面内，则实数λ=．【解析】∵空间四点A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)∴AD即(－1,1,λ－1)=m(－1,3,2)+n(－2,3,0)=(－m－2n,3m+3n,2m)，∴−m−2n=−13m+3n=1巩固练习1.空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，则|AB|【答案】2【解析】∵空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3∴A是以O为球心，1∵B(2，∴|AB|的最小值为：|OB|－||OA|=3－1=22.已知向量a=(2,−1,3),b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t【答案】(−【解析】∵向量a=(2,−1,3),∴&a⋅b=−8−2+3t<0∴实数t的取值范围为(−∞3.若向量a=(7,λ,8),b=(1,−1,2),c=(2,3,1)，且【答案】3【解析】向量a=(7,λ,8),b=(1,−1,2),所以存在两个实数x、y使得a=x即7=x+2yλ=−x+3y8=2x+y，解得x=3y=24.已知AB=(2,−1,3),AC=(−1,4,−2),AD=(5,−6,λ)，若A,B,C,D【答案】8【解析】∵A,B,C,D四点共面，∴存在实数m,n，使得AD=m∴&2m−n=5&−m+4n=−6&3m−2n=λ【题型2】建立空间坐标系处理几何问题【典题】（1）△ABC的三个顶点分别是A(1,−1,2)，B(5,−6,2)，C(1,3,−1)，则AC【解析】方法一要求高BD，则只需求点D坐标，可采取待定系数法.设点D(x、y、z)，则BD=x−5,y+6,z−2，AD由垂足D满足的条件BD∙∴BD∴|BD方法二等积法(思考：因为三个点A、B、C确定了，则可求出∆ABC的面积SABC，继而可求高BD=∵A(1,−1,2)，B(5,−6,2)，C(1,3,−1)，∴cosA=AC∴S∵SABC=【点拨】我们利用空间向量的知识也是可以求出几何中常见的量：线段长度(两点距离公式)、角度(数量积)、面积等.（2）如图，BC=4，原点O是BC的中点，点A(32,12,0)，点D在平面yOz上，且【解析】∵点D在平面yoz上，∴点D的横坐标为0过点D作DH⊥BC，依题意易得DH=4sin30°sin即点D的竖坐标为z=3，纵坐标为∴|AD|=(【点拨】①在空间坐标系中确定点的坐标是个硬骨头，基本方法是：(1)根据题意求出各线段长度，比如CD、BD；(2)确定空间点坐标的意义，比如点D的竖坐标与点D到平面xOy的距离有关；(3)把空间问题平面化；(4)留意D坐标的正负.②两点间的距离公式:若A(x则|AB（3）如图，直角三角形OAC所在平面与平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∠ABC=2π3，平面α内一动点P满足∠PAB=π3【解析】(题中垂直关系较多，较容易建系描出各点坐标，进而数量积OP⋅CP∵平面OAC⊥平面α，∴作AO'⊥OC，则AO'⊥平面α，过O'在平面α内作OC的垂线O'X，如图建立空间直角坐标系O'－XYZ，∵∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∴BC=AB=OB=2，∠ABO=O'A=3，O'B=1，OO'=1，O'C=3则O(0,−1,0)，A(0,0,3)，B(0,1,0)，设P(x,y,0)，(点P是动点，在坐标系中引入变量x，y，再由限制条件∠PAB=π3得到x，则AP=(x,y,−3)∴AP∵∠PAB=∴AP∴y+3=x2+∴OP又∵x∴y≥−1，(点P是有固定轨迹的，即y是有范围的，讨论函数性质也要优先讨论定义域)∴当y=−1时，OP∙CP的最小值为∴OP故答案为[0,+∞)．【点拨】①由平面OAC⊥平面α可想到建立空间直角坐标系的方法，根据∆OAC已知条件可求其他角、边的大小，从而得到各点的坐标；②而OP⋅CP由点③从数量积坐标运算的角度得AP⋅AB=y+3，从数量积的定义AP⋅AB④由坐标运算易求OP∙CP最小值化为⑤本题若想用非坐标的方法解答：OP∙而得不到点P的轨迹，较难求出BP2巩固练习1.如图三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1=60°，BC1【答案】(−3【解析】三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BBC1交B1C于点O，AO⊥侧面如图建立空间直角坐标系O－xyz，过A1作A1E⊥平面BCC1B1则B1E∥OC1，∴点A1的坐标为(−故选：B．2.已知点A(1,−2,11)、B(4,2,3)，C(6,−1,4)，则△ABC中角C的大小是．【答案】90°【解析】∵A(1,－2,11)、B(4,2,3)，C(6,－1,4)，∴|AC→|BC又∵∴CA可得cos∵∠ACB∈(0°,180°)∴∠ACB=90°故答案为90°3.已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(−2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为【答案】65【解析】AB∴AB|AB|=2∴cos∴sin∠BAC=1−co∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S=|AB故答案为：654.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，A．存在点P，使得I1=I2 C．对任意的点P，有I1>I2 【答案】C【解析】如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，B1为坐标原点，由题意则B(0,0,2)所以AB=(−4,0,0)，AP=(x−4,y,z−2)，AC1=(−4,3,−2)因为满足B1P=1，所以x2+y2∴I∴I∴II1－I2=－4(x－4)－3y=16－4x－3y>0I1－II2－I故选：C．5.如图，已知点P在正方体ABCD－A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC=60°．设D'P=λD'B，则λ的值为【答案】2【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD'为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点P在正方体ABCD－A'B'C'D'的对角线BD'上，且∠PDA=60°，∵D'P→=λ则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D'(0,0,1)，B(1,1,0)，P(λ,λ,1－λ)，∴DP→=(λ,λ,1－λ)∴cos<DC由0<λ<1，解得λ=2故选：C．6.三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上移动，且满足BP≤【答案】[【解析】如图所示，不妨取OA=2．则B(0,2,0)，C(0,0,2)．设P(0，y，z)，BP→=λBC则(0,y−2,z)=λ(0,−2,2)=(0,−2λ,2λ)，∴y−2=−2λz=2λ解得设Q(m,0,0)，(12≤m≤1)又OB→=(0,2,0)，①当点P取B(0,1,0)时，取Q(12,0,0)时，m=则cos＜取Q(1,0,0)时，m=1，λ=0，cos＜②当点P取B(0,12,12)时，取则cos＜取Q(1,0,0)时，m=1，λ=12，综上可得：PQ和OB所成角余弦值的取值范围是[6一、单选题1．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共面确定点的坐标，利用向量数量积及三角形面积公式即可求出.【详解】由题意，平面，四边形为正方形，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，

则，，，，，，，设，，则，又，，所以，则，由题意，四点共面，所以，所以，解得，所以，，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以截面的面积为.故选：A二、多选题2．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（

）

A．的最小值为2B．四面体的体积为C．有且仅有一条直线与垂直D．存在点，使为等边三角形【答案】ABD【分析】由公垂线的性质判断A；由线面平行的性质判断B；举反例判断C；设，，由等边三角形三边相等，判断D．【详解】对于A：因为是正方体，所以平面，平面，又因为平面，平面，所以，，即是与的公垂线段，因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，所以当分别与重合时，最短为2，故A正确；对于B：因为是正方体，所以平面平面，且平面，所以平面，可知，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，由可知，当点在上运动时，到的距离不变，所以的面积不变，所以，所以B正确；对于C：当分别与重合时，；当为中点，与重合时，，所以错误；对于D：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，，因为为等边三角形，由，得，得，即，由，得，则，即，解得或，即或，故D正确；故选：ABD．

三、解答题3．（2005·湖北·高考真题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．（1）求cos，的值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值．（2）设在侧面PAB内找一点N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，利用向量法列方程组求出N（，0，1），由此能求了N到AB和AP的距离．【详解】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，2），B（，0，0），（），（），∴．（2）设在侧面PAB内找一点N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，D（0，1，0），E（0，，1），（﹣a，，1﹣c），（0，0，2），（），∴，解得a，c＝1，∴N（，0，1），∴N到AB的距离为1，N到AP的距离为．4．（2000·上海·高考真题）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；（2）利用坐标运算计算cos〈，〉的值；（3）通过计算·＝0可得答案.【详解】（1）如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.由题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴＝＝.（2）由题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.（3）由题意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.5．（2008·江苏·高考真题）记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．【答案】【详解】建构如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则相关点的坐标分别为：､､､，则.由，得，而；又.由，化简得，解得.四、填空题6．（2010·广东·高考真题）若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．【答案】【分析】利用空间向量的坐标运算和数量积表示求解.【详解】解：，解得故答案为：7．（2008·海南·高考真题）已知向量，且，则____________．【答案】3【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为，所以，可得，因为，解得，故答案为3.8．（2023·上海浦东新·统考三模）空间向量的单位向量的坐标是__________．【答案】【分析】单位向量只需根据即可求出.【详解】，，.故答案为：9．（2023·上海金山·统考二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为__________.【答案】【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解.【详解】因为，，所以，因为，所以.故答案为：.10．（2023·上海松江·统考二模）已知空间向量，，，若，则______．【答案】【详解】，，，，解得，故答案为：.11．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）三棱锥中，平面，，，点在三棱锥外接球的球面上，且，则的最小值为___________.【答案】/【分析】本题距离最小时，点的位置不好确定，可考虑用空间直角坐标系来解决问题.【详解】如图所示：分别取、的中点、，连接、,则，由题意知平面,所以，.因为,所以，即、、两两垂直.以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则，，，，.，斜边，易知为三棱锥外接球球心，且半径.设点，则.，由题意，得，可设.故答案为：.【点睛】思路点睛：直角模型找外接球球心可考虑斜边中点.空间中的角可以转化为向量夹角进而转化为坐标之间的关系.位置关系中的最值问题的常见思路之一为转化为函数，利用函数或基本不等式求最值.一、单选题1．（2022秋·山东烟台·高二统考期中）已知点，，，若，则的值为（

）A．2 B． C．0或 D．0或2【答案】D【分析】根据向量垂直时数量积为0即可.【详解】由题知，因为，所以，解得或2.故选：D.2．（2022秋·黑龙江伊春·高二校考阶段练习）向量，，已知，则m的值是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】根据空间向量共线的坐标关系求解即可.【详解】解：向量，，已知，则，所以，解得.故选：D.3．（2022秋·北京海淀·高二校考阶段练习）已知向量与向量垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量垂直数量积为0及向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】因为向量与向量垂直，所以解得，故选：A4．（2022·高二课时练习）如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点的坐标为，设，连接，由线面平行的性质可得出，利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得出点的坐标.【详解】如图，设点的坐标为，设，连接，则，又，，则，，平面，平面，平面平面，则，即，所以，，解得，所以，点的坐标为，故选：B.5．（2022秋·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】向量，，故错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确．故选：D．6．（2022·高二课时练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有，因此，，，于是得，则当时，，此时，点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C二、多选题7．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量，则（

）A． B．是共面向量C． D．【答案】ABC【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.【详解】，A项正确；设，即，解得，，即，所以，，共面，B项正确；，所以，C项正确；，D项错误.故选：ABC.8．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是（

）A．直线与是异面直线B．三棱锥的体积为C．过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则D．点到平面的距离是一个常数【答案】ACD【分析】选项A.取的中点,可得平面，求出其体积可判断；选项C.取的中点，设，可得，建立空间坐标系，证明平面平面，从而可判断；选项D.由选项A的解答可知，平面，点到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离，从而可判断.【详解】选项A.取的中点，连接,则又，所以,所以四点共面.又平面,平面,则平面由,所以平面，又平面所以直线与是异面直线，故A正确选项B.,故B不正确.选项C.在正方体中，分别以为轴建立空间直角坐标系.取的中点，连接,则,设平面的法向量,则,即取设平面的法向量,则,即取由，可得，即平面平面，设,连接,且平面平面此时由与相似，由，可得，即此时点满足.过点在平面内作,则平面由,则与不平行，所以与一定相交，设为.又平面，则平面.所以过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则所以选项C正确.选项D.设点到平面的距离为.由选项A的解答可知，平面所以点到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离.则点到平面的距离等于点到平面的距离.,即,所以由在正方体中，由题意，为给定三角形，所以，为定值，故点到平面的距离为常数.故D正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查异面直线的判断，点到面的距离的求解和体积的求解，线面和面面垂直的判断和证明，解答本题的关键是取的中点，设，可得，建立空间坐标系，证明平面平面，从而根据面面垂直的性质可判断选项C，属于中档题.三、填空题9．（2021秋·北京昌平·高二校考期中）已知向量.若，则实数______;【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示计算．【详解】因为，所以，．故答案为：10．（2022秋·江西吉安·高二统考期中）已知向量，若，则___________.【答案】【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得，则，解得.故答案为：.11．（2022·高二课时练习）已知平面平面，且，在l上有两点A，B，线段，线段，并且，，，，，则______．【答案】26【分析】推导出=，从而=（）2=，由此能出CD．【详解】∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为26．【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12．（2023·全国·高二专题练习）在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范