高考数学全国卷（甲卷、乙卷、新课标I、新课标II）3年（2023-2023）真题分类汇编-平面解析几 (1)（含解析）

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高考数学全国卷（甲卷、乙卷、新课标I、新课标II）3年（2023-2023）真题分类汇编-平面解析几何（多选题、填空题）

一、多选题

1．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

2．（2023·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

3．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）

A．直线的斜率为B．

C．D．

4．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（）

A．B．C．D．

5．（2022·全国·统考高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（）

A．C的准线为B．直线AB与C相切

C．D．

6．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）．

A．B．

C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形

二、填空题

7．（2023·全国·统考高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.

8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．

9．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为．

10．（2023·全国·高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．

11．（2023·全国·统考高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为．

12．（2023·全国·统考高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为.

13．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．

14．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．

15．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值．

16．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．

17．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．

18．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为．

19．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是．

20．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．

21．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．

22．（2023·全国·统考高考真题）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为.

23．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为．

参考答案：

1．ABD

【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.

【详解】圆心到直线l的距离，

若点在圆C上，则，所以，

则直线l与圆C相切，故A正确；

若点在圆C内，则，所以，

则直线l与圆C相离，故B正确；

若点在圆C外，则，所以，

则直线l与圆C相交，故C错误；

若点在直线l上，则即，

所以，直线l与圆C相切，故D正确.

故选：ABD.

2．ACD

【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.

3．ACD

【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，

代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；

对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，

设，则，则，代入抛物线得，解得，则，

则，B错误；

对于C，由抛物线定义知：，C正确；

对于D，，则为钝角，

又，则为钝角，

又，则，D正确.

故选：ACD.

4．AC

【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.

【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用

情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，

所以，因为，所以在双曲线的左支，

，，，设，由即，则，

选A

情况二

若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，

所以，，，设，

由，即，则，

所以，即，

所以双曲线的离心率

选C

[方法二]：答案回代法

特值双曲线

，

过且与圆相切的一条直线为，

两交点都在左支,，

，

则，

特值双曲线，

过且与圆相切的一条直线为，

两交点在左右两支，在右支，，

，

则，

[方法三]：

依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，

若分别在左右支，

因为，且，所以在双曲线的右支，

又，，，

设，，

在中，有，

故即，

所以，

而，，，故，

代入整理得到，即，

所以双曲线的离心率

若均在左支上，

同理有，其中为钝角，故，

故即，

代入，，，整理得到：，

故，故，

故选：AC.

5．BCD

【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；

，所以直线的方程为，

联立，可得，解得，故B正确；

设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，

所以，直线的斜率存在，设其方程为，，

联立，得，

所以，所以或，，

又，，

所以，故C正确；

因为，，

所以，而，故D正确.

故选：BCD

6．AC

【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.

【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，

所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.

B选项：设，

由消去并化简得，

解得，所以，B选项错误.

C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，

因为，

即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.

D选项：直线，即，

到直线的距离为，

所以三角形的面积为，

由上述分析可知，

所以，

所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.

故选：AC.

7．

【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.

【详解】解：由题可知，离心率，即，

又，即，则，

故此双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

8．

【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解.

【详解】由题意，，则，

所以点和点，,

所以，

所以，

所以，

同理,

所以.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解.

9．4

【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解，再由关系式求得，即可求解.

【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.

故答案为：4.

【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.

10．

【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.

【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

11．

【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

12．

【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.

【详解】抛物线：()的焦点,

∵P为上一点，与轴垂直，

所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,

不妨设,

因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，

又，

因为，所以,

，

所以的准线方程为

故答案为：.

【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.

13．

【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；

【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法

令的中点为，设，，利用点差法得到，

设直线，，，求出、的坐标，

再根据求出、，即可得解；

解：令的中点为，因为，所以，

设，，则，，

所以，即

所以，即，设直线，，，

令得，令得，即，，

所以，

即，解得或（舍去），

又，即，解得或（舍去），

所以直线，即；

故答案为：

[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，

设，，设直线，，，

则，，，因为，所以

联立直线AB与椭圆方程得消掉y得

其中，

∴AB中点E的横坐标,又，∴

∵，，∴,又，解得m=2

所以直线，即

14．

【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；

【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，

所以所在直线即为直线，所以直线为，即；

圆，圆心，半径，

依题意圆心到直线的距离，

即，解得，即；

故答案为：

15．2（满足皆可）

【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.

【详解】解：，所以C的渐近线方程为,

结合渐近线的特点，只需，即，

可满足条件“直线与C无公共点”

所以，

又因为，所以，

故答案为：2（满足皆可）

16．

【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

【详解】[方法一]：三点共圆

∵点M在直线上，

∴设点M为，又因为点和均在上，

∴点M到两点的距离相等且为半径R，

∴，

，解得，

∴，，

的方程为.

故答案为：

[方法二]：圆的几何性质

由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.

故答案为：

17．

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．

【详解】解：双曲线的渐近线为，即，

不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，

依题意圆心到渐近线的距离，

解得或（舍去）．

故答案为：．

18．或或或．

【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；

【详解】[方法一]：圆的一般方程

依题意设圆的方程为，

（1）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（2）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（3）若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；

故答案为：或或或．

[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）

设

（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，

则，所以圆的方程为；

（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；

（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；

（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．

故答案为：或或或．

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．

19．13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴，得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

20．或或

【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.

【详解】[方法一]：

显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，

于是，

故①，于是或，

再结合①解得或或，

所以直线方程有三条，分别为，，

填一条即可

[方法二]：

设圆的圆心，半径为，

圆的圆心，半径，

则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；

又由方程和相减可得方程，

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，

直线OC与直线的交点为，

设过该点的直线为，则，解得，

从而该切线的方程为填一条即可

[方法三]：

圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为l时，因为，所以，