向量的数量积课件

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我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角F引入:功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？第1页/共28页s┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下11、向量的夹角的概念

两个非零向量

和，作，

与

反向OABOA

与

同向OABB则叫做向量

和

的夹角．记作与

垂直，OAB注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的第2页/共28页1、向量的夹角的概念两个非零向量和2练习1、如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC

通过平移变成共起点！第3页/共28页练习1、如图，等边三角形中，求ABC通过平移第3页/共283记作=

已知两个非零向量

和

，它们的夹角为，我们把数量

即有叫做

与

的数量积（或内积），规定：零向量与任意向量的数量积为0，即

表示数量而不表示向量,与、、不同,它们表示向量；在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是（1）（2）（3）2、数量积的概念（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．第4页/共28页记作=已知两个非零向量和，它们的夹角为4练习２已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角，求a·b.解：a·b=|a||b|cosθ第5页/共28页练习２已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角5(4)cos=(a·b)/(|a||b|).(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.

特别地,a·a(或写成a2)=|a|2或|a|=√a·a

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则a⊥b=/2cos=0(1)e·a=a·e=|a|cos.|a||b|cos=0a·b=0向量a与b共线

|a·b|=|a||b|a·b=|a||b|cos(5)|a·b|≤|a||b|.(2)a⊥ba·b=0.3、向量数量积的性质第6页/共28页(4)cos=(a·b)/(|a||b|).(3)6练习3、判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=│a│2.6.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.(

)(×)(

)(×)(×)(×)第7页/共28页练习3、判断下列命题是否正确1.若a=0,则对任意向量b，有7

运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？已知向量和实数，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）（不一定成立）4、向量数量积的运算律第8页/共28页运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，8（3）12ABOA1B1C证明：在平面内取一点，作,，（即）在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即即第9页/共28页（3）12ABOA1B1C证明：在平面内取一点9第10页/共28页第10页/共28页10第11页/共28页第11页/共28页11第12页/共28页第12页/共28页12第13页/共28页第13页/共28页13四、总结：学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状第14页/共28页四、总结：学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：14几何意义OBAθB1OBAθB1第15页/共28页几何意义OBAθB1OBAθB1第15页/共28页15AOBθOBAOBA当时,当时,当时,第16页/共28页AOBθOBAOBA当时,16参考答案：①1；②1；③0；④0.问题1：已知怎样用的坐标表示呢？请同学们看下列问题.设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：①②③④====平面向量数量积的坐标表示第17页/共28页参考答案：①1；②1；③0；④0.问题1：已知怎样用的坐标表17问题2：推导出的坐标公式.答案：这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：若设则这就是A、B两点间的距离公式.第18页/共28页问题2：推导出的坐标公式.答案：这就18问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量平行和垂直的坐标表示式.（1）答案：（2）（3）说明：这里式子中向量都是非零向量第19页/共28页问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量（1）答案：（2）19例题分析例1：想一想的夹角有多大？第20页/共28页例题分析例1：想一想的夹角有多大？第20页/共28页20例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。证明：△ABC是直角三角形第21页/共28页例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证21例3：求与向量的夹角为45o的单位向量.分析：可设x（m,n)，只需求m,n.易知……①再利用（数量积的坐标法）即可！解：设所求向量为,由定义知：……①另一方面……②第22页/共28页例3：求与向量22∴由①，②知解得：或∴或说明：可设进行求解.第23页/共28页∴由①，②知解得：或∴或说明：可设23，求例4在中，，值。解：当时，，∴∴，当时，，，

∴

∴，当时，，∴∴．

综上，所求k的值为或或第24页/共28页，求例4在中，，值。解：当时，，∴∴，当时，，，∴24演练反馈B

1、若则与夹角的余弦值为（）2、已