湖南省湘潭市县第四中学2022年高三数学理月考试题含解析

湖南省湘潭市县第四中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0参考答案：D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是x﹣y+c=0，把点（0，1）代入，能得到所求直线方程．【解答】解：过点A（0，1）与直线y=x﹣1平行的直线方程是x﹣y+c=0，把点（0，1）代入，得0﹣1+c=0，解得c=1．∴所求直线方程为：x﹣y+1=0．故选：D【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答2.i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A. B. C.1 D.参考答案：B试题分析：由得，所以，故答案为B．考点：复数的运算．3.设m、n是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A．若m∥n，m∥，则n∥

B．若⊥β，m∥，则m⊥βC．若⊥β，m⊥β，则m∥

D．若m⊥n，m⊥，n⊥β，则⊥β参考答案：D4.已知全集U=R，集合A=｛x｜＞1｝，B=｛x｜－4＜x＜1｝，则A∩B等于A.（0，1）B.（1，＋）C.（一4，1）D.（一，一4）参考答案：A5.在中,是边上的高,给出下列结论:①;

②;

③.其中结论正确的个数是(

)

A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D略6.集合{a，b，c}的子集的个数为（

）A．4

B．7

C．8

D．16参考答案：C集合有3个元素，所以子集个数共有个.故选C.7.在三棱锥中，已知，平面,

.

若其直观图、正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D8.己知x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π） D．（，π）参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】由极值点可求得φ的值，再求2kπ+＜2x﹣＜2kπ+中x的取值范围，可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项求出答案．【解答】解：x0=﹣是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极小值点，∴sin[2×（﹣）+φ]=﹣1，∴﹣+φ=2kπ﹣，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，可得kπ+＜x＜kπ+，∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，）．故选：A．9.复数的值是

（A）2

（B）

（C）

（D）参考答案：10.要得到函数的图象,可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位

D．向右平移个单位参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α为________．参考答案：－4或212.在数列中，Sn为其前n项和，a1=1，a2=2，an+2－an=1+(－1）n，则S20=

.参考答案：13.已知=3，，则= ．参考答案：考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用数列极限的运算法则即可得出．解答： 解：∵=3，，则===．故答案为：．点评：本题考查了数列极限的运算法则，属于基础题．14.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为

．

参考答案：略15.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则点（0,0）到这条直线的距离是

.参考答案：16.在极坐标系中，点M(4，)到曲线上的点最短距离为____，参考答案：2

略17.已知数列的首项，且对任意的都有，则

。参考答案：2

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.参考答案：（1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：解得，又因为，所以.(2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，由题意知服从二项分布，，所以随机变量的分布列为.19.已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥面PBC；（Ⅱ）在BC边上找一点Q，使PQ∥面A1ABB1，并求三棱锥Q﹣PBB1的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AA1中点M，连结BM，PM，则PM∥AD∥BC，于是BM?平面PBC．由AA1⊥面ABCD得AA1⊥BC，又AB⊥BC，于是BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥AB1．由△ABM≌△A1AB1得BM⊥AB1，所以AB1⊥面PBC；（2）由PM=3可知当BQ=3时，四边形PMQB是平行四边形，故PQ∥BM，于是PQ∥平面B1A1AB，棱锥B1﹣PQB的底面△PQB是直角三角形．高为B1N．【解答】解（1）取AA1中点M，连结BM，PM，在PM∥AD∥BC，∴BM?平面PBC．∵AA1⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴AA1⊥BC，∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1=A，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AB1?平面ABB1A1，∴BC⊥AB1．∵AB=AA1=4，∠BAM=∠B1A1A=90°，AM=B1A1=2，∴△ABM≌△A1AB1，∴∠MBA=∠B1AA1，∵∠BAB1+∠B1AA1=90°，∴∠MBA+∠BAB1=90°，∴BM⊥AB1，∵BM?平面PBC，BC?平面PBC，BM∩BC=B，∴AB1⊥面PBC．（2）在BC边上取一点Q，使BQ=3，∵PM为梯形ADD1A1的中位线，A1D1=2，AD=4，∴PM=3，PM∥AD，又∵BQ∥AD，∴PMBQ，∴四边形PMBQ是平行四边形，∴PQ∥BM，又BM?平面A1ABB1，PQ?平面A1ABB1，∴PQ∥平面A1ABB1．∵BC⊥平面ABB1A1，BM?平面ABB1A1，∴BQ⊥BM，∵AB=AA1=4，AM=A1B1=2，∴BM=AB1=2，设AB1∩BM=N，则AN==．∴B1N=AB1﹣AN=．∴V=S△BPQ?B1N==6．【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是直角梯形，且BAD＝ADC＝90°，棱SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝2DC＝2，AB＝4，点E、F分别在线段SB、SC上.(1)证明：BD⊥AF；(2)若三棱锥E－ABC的体积是四棱锥S－ABCD体积的，求二面角E－AC－B的余弦值。参考答案：21.已知函数

(1)若，求的最大值和最小值；

(2)若．求的值，参考答案：略22.已知a＞，函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+b，g（x）=2alnx，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处的切线互相垂直．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）设F（x）=f′（x）﹣g（x），若对任意的x1，x2∈（0，4），且x1≠x2，都有F（x1）=F（x2），求证：x1+x2＞4．（参考公式：（ln（a﹣x））′=，a为常数）．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数和切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，f'（1）g'（1）=﹣1，f（1）=g（1）=0解方程可得a，b，c的值；（Ⅱ）求得F（x）的导数，可得单调区间，由题意可设0＜x1＜2＜x2＜4，设G（x）=F（x）﹣F（4﹣x）=2x﹣2lnx+2ln（4﹣x）﹣4，x∈（2，4），求出导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+b的导数为，可得，g（x）=2alnx的导数为，可得g'（1）=2a，依题意有f'（1）g'（1）=﹣1，由题意可得（a﹣）?2a=﹣1，（a＞），解得a=1；又f（1）=g（1）=0，可得．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a=1，则，可得，即有F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，4）上单调递增，若对任意的x1，x2∈（0，4），且x1≠x2，都有F（x1）=F（x2），不妨设0＜x1＜2＜x2＜4，设G（x）=F（x）﹣F