浙江省杭州市江心岛中学高三数学理期末试题含解析

浙江省杭州市江心岛中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由图象知，,函数的最小正周期，则，又图象过点，代入得，，.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象.故选A.2.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为（

）参考答案：D3.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（

）

A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度参考答案：A略4.设集合= （

） A．（—3，2） B．

C． D．参考答案：C略5.已知，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（

）A．54

B．27

C．18

D．

9参考答案：C略7.已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是

A．0

B．3

C．4

D．5参考答案：C设得，作出不等式对应的区域，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，由，解得，即B(1，2)，带入得，选C.8.在△中，角、、所对的边分别是、、，若、、，则____

_参考答案：9.“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的(

) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．解答： 解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判断和三角函数的有关知识，属基本题．10.执行如右图程序框图，输出的为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A考虑进入循环状态，根据程序框图可知，当时，有；当时，有；当时，有；当时，有；当时，有；当时，有；所以可知其循环的周期为，当退出循环结构时，所以输出的，故答案选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是

▲

．参考答案：12.对于下列命题：①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；③“”是“对任意的实数，恒成立”的充要条件；④“”是“方程表示双曲线”的充分必要条件．其中所有真命题的序号是

.参考答案：①②④略13.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是

．（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：①②14.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．参考答案：120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角．【解答】解：∵==∴，∴（+）?（﹣）=﹣2||2，设的夹角为θcosθ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120°故答案为120°【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]15.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：||===，只考虑x＞0，则===，当且仅当=﹣时取等号．∴则的最大值等于．故答案为：．【点评】本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为_______.参考答案：【分析】根据双曲线方程得到右顶点坐标和渐进线方程；利用点到直线距离公式构造出关于的方程，解方程求得，从而得到双曲线方程.【详解】双曲线的右顶点为：；渐近线为：依题意有：，解得：双曲线的方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够熟练应用双曲线的几何性质，利用点到直线距离构造出方程.17.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是

参考答案：24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是数列{log2an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求满足的最大正整数n的值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）运用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）由等差数列的求和公式，可得Tn，化简不等式可得，解不等式即可得到n的最大值．【解答】解：（1）∵当n≥2时，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn，∴Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），∴an+1=4an．∵a1=2，a2=8，∴a2=4a1，∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列，∴．（2）由（1）得：，∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+（2n﹣1）==n2．即有===，令，解得n≤1008．故满足条件的最大正整数n的值为1008．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的通项和前n项和的关系，以及不等式的解法，注意化简整理，考查运算能力，属于中档题．19.如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A、B两点，过A点作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1、圆O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若PA=6，PC=2，BD=9，求PE的长．参考答案：考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）设BP=x，PE=y，根据相交弦定理得PA?PC=BP?PE，求出xy=12，再根据AD∥EC得=，求出x，y，即可求出PE的长．解答： （1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（2）解：设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12①，∵AD∥EC，∴，∴=②，由①②可得x=3，y=4（负数舍去）．点评：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（I）求角B的大小；（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积.参考答案：（I）；（II）【详解】（I）由得，得（II）由b是a和c的等比中项得，又由余弦定理得故故△ABC为正三角形，故21.如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）．（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.（12分）参考答案：（I）当时，

又抛物线的准线方程为

由抛物线定义得，所求距离为（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为

由，

相减得,故

同理可得,由PA，PB倾斜角互补知

即,所以,故

设直线AB的斜率为,由，,相减得

所以,将代入得

，所以是非零常数.22.已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数，确定函数f（x）在x=1处取得极大值，根据函数在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值点，可得，即可求实数a的取值范围；（2）当x≥1时，分离参数，构造，证明g（x）在[1，+∞）上是单调递增，所以[g（x）]min=g（1）=2，即可求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）定义域为（0，+∞），，由f′（x）=0?x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，则f（x）在（0