理论力学-平衡问题矢量法教学课件

§3.1力系的平衡方程和应用1平衡方程由第二章知,力系向一点简化可以得到一力和一力偶,分别等于力系主矢和对该点的主矩。主矢和主矩同时为零是力系平衡的充分和必要条件,即Fk=∑F=0(3.1.1)M,=∑m(F)=0将矢量式(31.1)向互不平行且不在同一平面上的三个坐标轴x,y,z投影,可以得到等价的标量方程组∑F=0.∑F=0.∑F=0312)∑m2=0,∑m=0.,∑m2=0通常取坐标轴x,y,x互相垂直而成直角坐标系。方程(3.12)称为力系的平衡方程,是平衡方程的一般形式。习惯上,称式(3.1.2)中前三个方程为投影式,后三个方程为力矩式。作为上述平衡方程的应用,讨论几类特殊力系平衡方程的形式(1)平面力系∑F=0,∑F=0.∑F=∑∑m,=0.∑m3.1.2)若力系中各力的作用线在同一平面内,该力系称为平面力系。不失一般性,设xy平面为力系所在平面,此时力系中各力在轴上的投影恒零,且对x和y轴的力矩也为零。因此,方程(3.1.2)中第三、四和五方程自然成立,不论该力系是否平衡式(31.2)中对轴的力矩可以理解为是对z轴与xy平面交点,即x平面上任意一点A的力矩。此时,方程(3.1.2)退化为∑F=0.∑F=0,∑m1=0(3,1,3)式(3.13)为平面力系的平衡方程。F除式(3.1.3)外,平面力系还存在不同形式的平衡方程。平面力系向一点简化的结果是一力和一力偶,平衡方程是要确保这两者均为零,除称为一矩式的(3.1.3)外,还可以写作二矩式∑F=0∑m=0∑m=0(3.1.4)其中要求x轴与两矩心的连线AB不垂直。倘若不满足该条件,力系可能满足方程(3.1.4)但不平衡,如图3.1所示。图3.1二矩式失效:AB连线与X轴垂直三矩式失效:A、B、C三点共线A8c平衡方程还可以写作三矩式∑m=02m2=0∑化=0(3.1.5)其中要求A,B,C三点不在一直线上。否则,力系可能满足方程(3.1.4)但不平衡,如图3.1所示。在具体应用中,以方便为原则选择合适的方程形式,以利于解题。∑(2)汇交力系=0(3.1.2)不失一般性,设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。则不论该力系是否平衡,力系中各力对x,y,z轴的力矩都为零。方程(3.1.2)中后三个方程恒成立。此时,方程(31.2)退化为∑F=0,∑F=0.∑F=0(3.16)式(316)为汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系,力系在与所在平面垂直的轴上的投影恒为零,记该轴为轴,则平面汇交力系的平衡方程为∑F=0,∑F=0(3.1.7)(3)平行力系∑F=0.,∑F=0.∑F2=0∑m=0(312)不失一般性,设力系中各力作用线均与轴平行而与x,y轴垂直。则不论该力系是否平衡,力系中各力对x,y轴的投影和对轴的力矩恒为零。此时,方程(3.1.2)退化为∑F2=0∑m=0,∑m,=0(3.18)F=0(3.1.8)式(318)为平行力系的平衡方程。式(31.8)中对x轴的力矩等同于对y,z平面中的点的矩。对于平面平行力系,进一步设力系在y,z平面内,则对y轴的矩恒为零,而与力系平衡与否无关。因此,平面平行力系的平衡方程为∑F2=0∑m=0(3.1.9)(4)力偶系由于力偶在任意轴上的投影为零,因此,式(3.1.2)中前三个方程成为恒等式而与力系平衡与否无关。此时,方程(3.12)退化为∑F0,∑F2=0∑m=02m=02m=0(312)∑m=0∑m=0∑m=0(3.1.10)式(31.10)为力偶系的平衡方程。对于平面力偶系,设力偶作用平面均为x平面,则力偶矩矢均与x,y轴垂直而投影为零。因此,平面力偶系的平衡方程为∑m2=0(3.1.11)平面一般力系的平衡方程基本形式二力矩形式三力矩形式∑F.=0∑MA(F;)=0∑MA(F;)=0∑F=0∑MB(F;)=0∑MB(F;)=0∑Mo(F)=0xF=0(或xF=0)M(F)=0A、B连线不得ox轴、B、C不得共线平面平行力系的平衡方程若力系各力平于y轴二力矩形式∑Fy=0∑MA(F)=0∑Mo(F;)=0∑Ma(F)=0A、B连线不得与各力平行例1支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连接,并各以铰链A、D连接于铅直墙上,如图所示。已知杆AC=CB,杆DC与水平线成45角;载荷F=10kN,作用于B处。设梁和杆的重量忽略不计,求铰链A的约束力和杆DC所受的力F解:1取AB杆为研究对象;2.作受力图;3.选坐标系,列平衡方程∑F