向量的减法运算教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课题6.2.2向量的减法教学目标（一）知识与技能1.理解相反向量的概念；2.掌握向量减法的运算法则及其几何意义；（二）过程与方法感受数学建模的全过程，发展直观形象和抽象概括能力，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。（三）情感、态度与价值观通过本节的学习，感受向量的减法源于现实世界，从而进一步增加学习数学的热情，提高学习数学的兴趣。教学重、难点教学重点：向量减法的运算和几何意义。教学难点:向量减法运算时方向的确定。教学方法讲授法、讨论法、提问法课型新授课教学过程（一）创设情境，引入新课预习教材内容，思考以下问题：1．a的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？（二）探索新知，整体认知探究点1：向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＋（－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→))）；（2）eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))．解：（1）法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))）＋（eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))）＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))．法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋（eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))）＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→))．（2）法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－（eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))）＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))．eq\a\vs4\al()规律方法：向量减法运算的常用方法探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，连接BC，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c．过点A作AD綊BC，连接OD，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝b－c，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋b－c．法二：如图②，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，连接OB，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，连接CB，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b－c．法三：如图③，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，连接OB，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，再作eq\o(CB,\s\up6(→))＝c，连接OC，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c．eq\a\vs4\al()规律方法：求作两个向量的差向量的两种思路（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可．（2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．（三）初步应用，理论迁移探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，试用向量a，b，c表示向量eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))．解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，故eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c．eq\a\vs4\al()规律方法：用已知向量表示其他向量的三个关注点（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．（2）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．(四)课堂练习，及时反馈1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))等于（）A．eq\o(CB,\s\up6(→)) B．eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))解析：选C．在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))．2．化简：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________．解析：原式＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))．答案：eq\o(AD,\s\up6(→))3．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝7，则|eq\o(CB,\s\up6(→))|的取值范围为______．解析：因为eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|．又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o（AB,\s\up6（→))|－|\o(AC,\s\up6(→))|))≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|，3≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|≤17，所以3≤|eq\o(CB,\s\up6(→))|≤17．答案：[3，17]4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|，试判断△ABC的形状．解：因为eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))．又|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．（五）梳理小结，深化理解1．相反向量（1）定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a）＝a，a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．2．向量的减法（1）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一