(完整版)九年级数学中考圆专题复习

(完整版)九年级数学中考圆专题复习九年级圆专题复习第21题对于即将参加高中升学考试的学生来说是一道必得分题。在中考复习的过程中，学生已经对这道题的知识点非常熟练，知道第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。然而，如果不对这些知识点进行归类，学生的学习效率会受到影响。因此，教师需要引导学生进行归类，并且提高他们的转化能力，这是教学中需要突破的地方。如果教师能够有效地引导学生对第21题考查的题型结构进行归类，那么学生在面对这道题时，首先可以将其归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，可以大大提高解决问题的速度和准确性。一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测1.（2013•武汉四月调考）在圆O中，AB为直径，PC为弦，且PA=PC。（1）如图1，求证：OP//BC；（2）如图2，DE切圆O于点C，若DE//AB，求tan∠A的值。2.（2013•武汉中考）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是弧AB的中点，连接PA、PB、PC。（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC＝BC；（2）如图②，若sin∠BPC=3/4，求tan∠PAB的值。3.（2014•武汉四月调考）已知：P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点。（1）如图1，若AC为直径，求证：OP//BC；（2）如图2，若sin∠P=4/5，求tan∠C的值。4.（2014•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。(1)如图(1)，若点P是弧AB的中点，求PA的长；(2)如图(2)，若点P是弧BC的中点，求PA的长。5.（2015•武汉四月调考）已知：⊙O为Rt△ABC的外接圆，点D在边AC上，AD＝AO。（1）如图1，若弦BE∥OD，求证：OD＝BE；（2）如图2，点F在边BC上，BF＝BO，若OD＝22，OF＝3，求⊙O的直径。6.（2015•武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB。（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC。7.（2016•武汉四月调考）已知⊙O为△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D。1.如图1，证明BD=ED。2.如图2，设BC=6，sin∠BAC=3/5，求OE的长度。3.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E。(1)证明AC平分∠DAB。(2)连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=4AF/5FC，求AF/FC的值。4.如图，□ABCD的边AD与经过A、B、C三点的⊙O相切。(1)证明弧AB=弧AC。(2)如图2，延长DC交⊙O于点E，连接BE，sin∠E=12/13，求tan∠D的值。归纳：1.从知识上归纳：(1)已知三角函数求三角函数的有：2017年武汉四月调考、2013年武汉中考、2014年武汉四月调考。(2)已知三角函数求比值的有：2016年武汉中考、2015年武汉中考。(3)已知三角函数求长度的有：2016年武汉四月调考。(4)已知勾股定理求长度的有：2014年武汉中考、2015年武汉四月调考。(5)求三角函数的有：2013年武汉四月调考、2015年武汉中考。2.从题型上归纳：(1)考查圆周角转到圆心角一半的位置及圆中等腰三角型的有：2014年武汉四月调考、2016年武汉四月调考、2013年武汉中考、2017年武汉四月调考。(2)考查1，2，5三角型的有：2015年武汉中考。(3)考查垂径定理和勾股定理的有：2014年武汉中考。(4)考查旋转型相似与圆中构矩形的有：2016年武汉中考。预测：近几年的武汉中考，对圆中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有2014年中考和2015年四月调考，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四月调更是已知三角函数求三角函数。纵观2016年全国各地中考题对圆的考查，逐步在降低难度，主要集中在圆的第2问。而第2问主要考查学生转化、计算的能力和方程思想。学生学习三角函数时，常常会遇到如何确定直角的问题，无论是作为条件还是结论，无论是计算还是证明，都需要确定直角的位置并进行转化。这是学生的难点，也是教师需要引导学生掌握的地方。如果教师能够将某一题型的结构归纳为几个重要的熟悉的题型，那么学生就会更自信，按照老师的指导方法一定能够做出这道题来，让考生在这类题型上得到高分，这是我们教师需要研究的。二、几种重要的题型和结构（一）圆中等腰三角形的结构及其类似结构在解决圆中等腰三角形的问题时，我们需要掌握等腰三角形的顶角与底角之间的三角函数可以任意切换的知识。只需要作底上的高和腰上的高即可。（1）已知顶角三角函数求底角三角函数，顶角半角的三角函数例如，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，sinA=3A，求tanB和cos52。（2）已知底角三角函数求顶角三角函数，顶角半角的三角函数例如，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，tanC=2，求cosA和sin。（3）已知顶角半角的三角函数，求顶角的三角函数和底角的三角函数例如，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，cosA2=310，求sinA和tanB。另外，如果圆中没有等腰三角形，可以观察是否可以转化到一个等腰三角形中，变成熟悉的题型。例如，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C为⊙O上一点，在图1中，若AC为直径，则证明OP∥BC；在图2中，若sin∠P=，求tan∠C的值。如果圆中有等腰三角形，可以根据需要作底上的高（注意证明共线）和腰上的高。例如，在图中，AC为O的直径，ABD为O的内接三角形，AB=BD，BD交AC于F点，BEAD交AC的延长线于E点。证明BE为O的切线，并求tan∠BAE的值。另外，在图中，AB是O的直径，点C是O上一动点，点D是优弧ACAB的中点，连接DO，若点C为AB上任意一点（不与A、B重合），连接AC，当tan∠BAC=2时，求∠DAB的值。最后，需要注意的是，圆中等腰三角形顶角的三角函数通常可以转化到圆心角的一半处。$\frac{BD}{CA}=\frac{BA}{BC}$。例4.1.如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=30°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，求证：EF=2CF。变式一：如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=60°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，求证：EF=3CF。变式二：如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=45°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，求证：EF=$\sqrt{2}$CF。变式三：如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=90°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，求证：EF=$\sqrt{5}$CF。CEAOFB例4.2.如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=30°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，垂直于AF的直线交CD于点G，求证：EG=2CG。变式一：如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=60°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，垂直于AF的直线交CD于点G，求证：EG=3CG。变式二：如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=45°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，垂直于AF的直线交CD于点G，求证：EG=$\sqrt{2}$CG。变式三：如图，AB是⊙O的直径，点C在O上，且∠ACB=90°，连接CD交AB于点E，交⊙O于点F，连接AF，垂直于AF的直线交CD于点G，求证：EG=$\sqrt{5}$CG。如图，AB为直径，点C为AB的中点，弦CD交AO于点E，DE=4，AE=5。首先，我们可以利用相似三角形求出CE的长度。由于AC=CB，所以三角形ACE和BCD相似，于是有CE/CD=AC/BC=1/2，即CE=CD/2=5。接着，我们可以求出tanB。注意到三角形ABE是直角三角形，因此tanB=AE/BE=5/BE。由于CE是半圆AB的中点，所以CE垂直于AB，于是BE=BC-CE=AB/2-CE=5/2。因此，tanB=5/(5/2)=2。答案：tanB=2。方法总结和归纳：1.掌握这七种基本结构可以帮助学生形成能力，增强信心。2.培养学生意识到转化问题的能力。3.设定未知数并运用方程思想解决计算问题。4.培养学生熟练的构造能力。典型例题分析：例1（2013·江苏）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF。(1)求∠CDE的度数。(2)证明：DF是⊙O的切线。(3)若AC=2DE，求tan∠ABD的值。例2（2013·四川）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接ED，BE。(1)证明：△ABD∽△AEB。(2)当∠BAC=45°时，求tan∠E。(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线，与BE交于点F，若AF=2，求⊙C的半径。例3（2017·武汉二中5月模拟题）如图，O是ABC的外接圆，弧AB=弧AC，AP是O的切线，交BO的延长线于点P。(1)证明：APBC是四边形。(2)若tan∠P=3/4，求tan∠PAC的值。配套习题训练：1.如图，AB、AD为O的切线，切点分别为B、D，DE为O的直径，连接BE、OA。(1)证明：BEOA是四边形。(2)若AD=DE，求sin∠DAB的值。2.如图，PA、PB分别切O于A、B，PA、BO的延长线交于点Q，连AB，若sin∠AQO=1/2，求sin∠BAP的值。3.如图，ABC内接于O，D为直径AC延长线上