第十章群与环课件

第十章群与环

10.1群的定义与性质

10.2子群与群的陪集分解

10.3

循环群和置换群

10.4环与域半群的定义一、半群

定义

设S是一个非空集合，

是S上的一个二元代数运算，如果是可结合的

,则称代数系统<S,

>是半群。例1

代数系统<N；+>和<N；·>、<Z；+>和<Z；·>、<R；+>和<R；·>都是半群，但和不是半群

.例2

代数系统<2U；∪>和<2U；∩>都是半群，

例3

设S=｛ρ|ρ是集合A上的关系｝，对于关系的复合运算可构成代数系统<S；>，<S;>是半群.。对任意a∈S，定义a1=a(n=1,2,……)

并且对于任意正整数m和n，有

若F=｛f|f:A

A｝，则对于函数的复合运算，代数系统<F；>也是半群。

半群满足结合律就可以定义“幂”运算！在独异点<S,

>中，对任意a∈S,有

a0=e

半群中的两个等式在独异点中亦成立。

二、独异点

定义

若半群<S,>中运算

有单位元，则称<S,

>为幺半群或叫做独异点。例4

<Z+

；·>，<N；+>,<N；·>，<Z；+>和<Z；·>、<R；+>和<R；·>；<2U；∪>和<2U；∩>。例3中的<S;>和<F;>满足结合律且有单位元就可以定义“零幂”运算！例6

对于半群<Z+；+>，Z+的子集

都是<Z+；+>的子半群。三、

子半群和子独异点定义设<S；

>是一个半群，若<T；

>是<S；

>的子代数，则称<T；

>是<S；

>的子半群。<T；

>是<S；

>的子半群。

例7

对于半群<S；

>的任一元素a∈S，令集合

,定义

设<S；>是一独异点，若<T；>是<S；>的子代数，且单位元e∈T，则称<T；>是<S；>的子独异点。例8

对于独异点<N；+>,

子集N2，N3，N4，…

令

则<Z2；+>，<Z3；+>，<Z4；+>都是<N；+>的子独异点。定理

设<S，>为一半群,那么（1）<S，>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,,e>的子代数含有单位元e,那么它必为一独异点,称为<S，

,e>的子独异点．

四、

半群与独异点的同态

定义

设是两个半群，h是从s1到s2的一个函数，若对于任意的，有则称是从半群的一个同态。保持运算的映射

独异点的同态

定义

设是两个独异点，

是从s1到s2的一个函数，若对于任意的，有则称是从独异点的一个同态。先运算后取象等同于先取象后运算.

两集合中“对应元素的运算结果仍然对应”。

XYh(x)h(y)例B={正，负，零}f:ZBF(n)=正n>0

负n<0

零n=0映射f是<Z，×>到<B，*>的一个同态**正负零正负零正负零负正零零零零研究Z上的运算特征，就可以在B上进行。对于任意整数z和正整数m，我们用记号表示i被m除后所得的非负余数。例如对于给定的z和m，是唯一确定的，且

例设有代数系统和代数系统

⊙6＞,和⊙6分别表示模6的加法和模6的乘法

例如4⊙63=res6(12)=0⊙6必须证明如下两个等式：对于任意的，有

⊙6即对任意的，有

⊙6

(2)YYY练习

1．判断下述论断正确与否，在相应的括号中键入“Y”或“N”，（1）在实数集R上定义二元运算为：对于任意的a,b∈Ra*b=a+b+ab(a)<R；>是一个代数系统；（）

(b)<R；>是一个半群；（）（c）<R；>是一个独异点。（）(2)在实数集R上定义二元运算为，对任意a,b∈R，

ab=|a|·b(其中·表示通常数的乘法运算)

（a）<R；>是一个代数系统；（）

(b)<R；>是一个半群；（）

(c)<R；>是一个独异点。（）YYN定义设<G；

>是一个代数系统，如果运算*是可结合的，存在单位元e，且G中任何元素a都有逆元a-1，则称<G；

>是一个群。1）对于任意的a,b,c∈G，有a*(b*c)=(a*b)*c；2)存在一元素e∈G，使得对于任意的a∈G，有e*a=a*e=a；3)对任意a∈G，相应存在一元素a-1∈G，使得a-1*a=a*a-1=e一、群的定义

群

例1<Z+；+><N；+><Z；·>和<R；·>

<Z；+>、<R；+>和<R-｛0｝；·>不是群。都是群。

半群，独异点和群这三个概念之间的区别：半群<Z+；+>，独异点<N；+>，群<Z；+>。

例2

设有Z4=｛0,1,2,3｝，模4的加法运算，定义为。构成代数系统<Z4;>。

4012301230123123023013012对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b),b+c=4m2+res4(b+c)于是(a4b)4c=res4(a+b)4c=res4(res4(a+b)+c)

=res4((4m1+res4(a+b))+c)=res4((a+b)+c)a4(b4c)=a4res4(b+c)=res4(a+res4(b+c))=res4(a+(4m2+res4(b+c)))=res4(a+(b+c))=res4（(a+b)+c）0是单位元，0的逆元是0，1和3互为逆元，2的逆元是2。<Z4；4>是一个群。

因此（a4b）4c=a4(b4c)，即4满足结合律。P182几个特殊群定义10.2(1)若群G是有穷集，则称G是有限群,否则称为无限群.群G的基数称为群G的阶.(2)只含单位元的群称为平凡群.(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称交换群或阿贝尔(Abel)群(4)Klein四元群：设G={e,a,b,c},e为G中的单位元；G中的运算是可交换的;每个元素的逆元就是自己.在a,b,c三个元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素.定义10.3a的n次幂定义10.4设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正整数k称为a的阶（或者周期),记作|a|=k，这时也称a为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元.群中元素的幂设G为群,则G中的幂运算满足：

(1)a∈G,(a-1)-1=a.

(2)a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1.

(3)a∈G,anam=an+m,n,m∈Z.

(4)a∈G,(an)m=anm,n,m∈Z.

(5)若G为交换群,则(ab)n=anbn.证(1)(a-1)-1是a-1的逆元,a也是a-1的逆元。根据逆元的唯一性,等式得证。(2)(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1b=e,同理(ab)(b-1a-1)=e,故b-1a-1是ab的逆元。根据逆元的唯一性等式得证。

关于（3）,（4）,（5）中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m证出相应的结果,然后讨论n或m为负数的情况。证明留作思考题。

定理中(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即

注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。如果G是非交换群,那么只有

对于任意a∈G，a0=e,

(n=0,1,2,…)（a-1)0=e,(n=0,1,2,…)（*）引进记号(n个a-1)因此（）式可表示为对于任意整数和n，下面二式仍然成立。例如

因为

又例如（a2）-3=a-6因为定理

设<G，>为群，那么（1）G有唯一的单位元，G的每个元素恰有一个逆元．（2）关于x的方程ax＝b，xa＝b都有唯一解．（3）G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,y∈S

a*x=a*y蕴涵x=y;x*a=y*a蕴涵x=y

（4）当G{e}时,G无零元．（5）单位元是G的唯一的等幂元素.10.3循环

群与置换群一、循环群定义10.7若存在a∈G使得G=<a>,则称G是循环群，称a为G的生成元.循环群G=<a>的类别：n阶循环群和无限循环群.根据生成元a的阶进行分类.若a是n阶元,则G={a0=e,a1,…,an-1},那么|G|=n,称G为n阶循环群.若a是无限阶元,则G={a0=e,a±1,a±2,…},则称G为无限循环群.

1、定义

设S={1,2,…,n}，S上的任何双射函数σ：S→S称为S上的n元置换。一般将n元置换σ记为

例如S={1,2,3,4,5}，则

，

都是5元置换。不同的n阶置换共有？个.二、置换群n!例3次置换

,共有6种,其元素的置换表示为2、置换的运算

定义

设σ,τ是n元置换，则σ和τ的复合στ也是n元置换，称为σ与τ的乘积，记作

στ

。

例如上面的5元置换σ和τ有

，

容易理解逆置换运算，例：定理

考虑所有的n元置换构成的集合Sn.任何两个n元置换之积仍旧是n元置换,Sn关于置换的乘法是封闭的。置换的乘法满足结合律。恒等置换是Sn中的单位元。对于任何n元置换σ∈Sn,逆置换σ-1是σ的逆元。这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群,称为对称群。P226

例正三角形的对称变换群.

设正三角形的三个顶点分别为1,2,3.显然,正三角形的每一对称变换都导致正三角形的三个顶点的唯一一个置换.反之,由正三角形的三个顶点的任一置换都可得到正三角形的唯一一个对称变换,从而可用S={(1),(12),(23),(13),(123),(132).}表示正三角形的对称变换群,其中(1)为恒等变换,(12),(13),(23)分别表示关于正三角形的三个对称轴l1、l2、l3

的反射变换,(123),(132)分别表示关于正三角形的中心按逆时针方向旋转120。

的旋转变换.3、置换的表示定义

如果置换σ将i1变为i2,将i2变为i3,将i3变为i4,…,将ir

变回到i1,而i1,i2,i3,…,ir互不相同,并保持其余的元素不变,则称σ为一个长度为r的轮换,简称为r-轮换,记作:σ=(i1,i2,i3,…,ir).1-轮换(1)=(2)=…=(n)就是恒等置换.2-轮换(i1