专题：平面向量常见题型与解题指导

专题：平面向量常见题型与解题指导平面向量常见题型与解题指导本章主要考察以下内容：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7.掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8.通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。本章的考查主要分为以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质。此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题。此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。3.向量在空间中的应用。在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，应该抓住源于课本，高于课本的指导方针。本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。复习建议：本章知识分向量与解斜三角形两部分，因此应用本章知识解决的问题也分为两类：1.根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题。2.运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。令k'＜得－1＜t＜1；令k'＞得t＜－1或t＞1。因此，k=f(t)的单调递减区间是(-1,1)，单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞)。点评：第一问中有两种解法可以解决向量垂直的两种常见方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第二问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。例3：已知平面向量a=(3,-1)，b=(α-3,β)，d=-k*a+(sinα)*b，且c⊥d，试求实数k的取值范围。解：由条件可得：k=(31)，若存在不为零的实数k和角α，使向量c=a+(sinα)*b，则|c|=√(139(sinα-1)²+4216)。而-1≤sinα≤1，因此k的取值范围为[-1,0)∪(0,1]。当sinα=-1时，k取最大值1；sinα=1时，k取最小值-1/2。点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力。例4：已知向量a=(1,2)，b=(-2,1)，若正数k和t使得向量x=a+(t²+1)b与y=-ka+b垂直，求k的最小值。解：x⊥y⇔x·y=0，即[a+(t²+1)b]·(-ka+b)=t²+12t+1=0。因此，当t=-1±√2时，x⊥y，此时k=3/2t²-1/2。因为t²+1≥2t，所以k≥-3/2，当t=1时，k取最小值2。题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查。例7：设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx,1)，b=(cosx,3sin²x)，x∈R。（1）若f(x)=1-3且x∈[-π/3,π/3]，求x；（2）若函数y=2sin²x的图象按向量c=(m,n)(m＜0)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值。解：（1）由f(x)=a·b可得f(x)=2cosx+3sin²x，因此f'(x)=-4sinxcosx。因为x∈[-π/3,π/3]，所以sinx≠0，因此f'(x)=0的解为x=π/4。因为f(π/4)=2+3/2=7/2>1-3=-2，所以方程f(x)=1-3在[-π/3,π/3]内无解。（2）因为y=2sin²x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=f(x)的图象，所以f(x)=2sin²(x-m)+n。因为f(x)=a·b=2cosx+3sin²x，所以2sin²(x-m)+n=2cosx+3sin²x。化简可得sin(2x-2m)=3/2，因此2x-2m=π/2或5π/2。因为x∈[-π/3,π/3]，所以2x-2m=π/2，因此m=π/4，n=5/2。已知函数$f(x)=(2\cosx,1)\cdot(\cosx,3\sin2x)=2\cos2x+3\sin2x=1+2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。首先，我们可以将$1+2\sin(2x+\frac{\pi}{6})=1-3$，解得$\sin(2x+\frac{\pi}{6})=-\frac{2}{3}$。由于$-\frac{\pi}{5}\leqx\leq\frac{\pi}{3}$，因此$-\frac{\pi}{3}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{5}$，所以$2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}$，即$x=-\frac{5\pi}{12}$。其次，我们考虑函数$y=2\sin2x$的图像按向量$c=(m,n)$平移后得到函数$y=2\sin(2(x-m))+n$的图像，即函数$y=f(x)$的图像。由上面的计算，我们得到$f(x)=2\sin2(x+\frac{\pi}{12})+1$，因此$m<\frac{\pi}{2}$，所以$m=-\frac{\pi}{12}$，$n=1$。因此，函数$y=f(x)$的图像向左平移$\frac{\pi}{12}$个单位，向上平移1个单位。最后，已知$a=(\cos\alpha,\sin\alpha)$，$b=(\cos\beta,\sin\beta)$，$0<\alpha<\beta<\pi$，需要证明$a+b$与$a-b$互相垂直。我们可以使用向量的内积来证明。首先有$a+b=(\cos\alpha+\cos\beta,\sin\alpha+\sin\beta)$，$a-b=(\cos\alpha-\cos\beta,\sin\alpha-\sin\beta)$，因此$(a+b)\cdot(a-b)=\cos^2\alpha-\cos^2\beta+\sin^2\alpha-\sin^2\beta=0$，即$a+b$与$a-b$互相垂直。解析：由已知得$|ka+b|$与$|a-kb|$，又因为$|ka+b|^2=(k\cos\alpha+\cos\beta)^2+(k\sin\alpha+\sin\beta)^2=k^2+1+2k\cos(\beta-\alpha)$，$|ka+b|^2=(\cos\alpha-k\cos\beta)^2+(\sin\alpha-k\sin\beta)^2=k^2+1-2k\cos(\beta-\alpha)$，因此$2k\cos(\beta-\alpha)=-2k\cos(\beta-\alpha)$。又因为$k\neq0$，所以$\cos(\beta-\alpha)=0$，由于$0<\alpha<\beta<\pi$，所以$0<\beta-\alpha<\pi$，因此$\beta-\alpha=\frac{\pi}{2}$。注：本题考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明。题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9：设$G$、$H$分别为非等边三角形$ABC$的重心与外心，$A(0,2)$，$B(x,-2)$且$GM=\lambdaAB(\lambda\inR)$。（1）求点$C(x,y)$的轨迹$E$的方程；（2）过点$(2,0)$作直线$L$与曲线$E$交于点$M$、$N$两点，设$OP=OM+ON$，是否存在这样的直线$L$，使四边形$OMPN$是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系。（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得$k$的值。解：（1）由已知得$G(x_G,y_G)$，又$GH=\lambdaAB$，因此$H(x_H,0)$。因为$G$、$H$、$C$三点共线，所以$\frac{y_G+y_H}{2}=\frac{y_G+y}{2}=\frac{y_H}{2}$，解得$y=\frac{y_G+y_H}{2}-\frac{x}{3}$。又因为$H$为外心，所以$AH=CH$，即$(x-x_H)^2+y^2=(x-0)^2+(y-2)^2$，代入上式得$x^2+y^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y-4=0$，即$x^2+y^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=4$，所以点$C$的轨迹方程为$x^2+y^2-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=4$。（2）设直线$L$方程为$y=k(x-2)$，代入曲线$E$得$(3k^2+1)x^2-12k^2x+12(k^2-1)=0$。因为$OMPN$是矩形，所以$ON\perpOM$，即$k_1k_2=-1$，其中$k_1$、$k_2$分别为$OM$、$ON$的斜率。由于$OM$的斜率为$k_1=k$，$ON$的斜率为$k_2=\frac{y_1-0}{x_1-2}=\frac{y_1}{x_1-2}$，因此$k\cdot\frac{y_1}{x_1-2}=-1$。又因为$OP=OM+ON$，所以$(x_1+x_2)=4$，$(x_1x_2)=\frac{3k+1}{3k^2+1}$，因此$x_2=4-x_1$，代入$k\cdot\frac{y_1}{x_1-2}=-1$中得$y_1=-\frac{k(x_1-2)}{k^2+3}$。由$OP=OM+ON$得$y_1+y_2=0$，因此$y_2=\frac{k(x_1-2)}{k^2+3}$。因为$OMPN$是矩形，所以$OP^2=OM^2+ON^2$，即$(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2=x_1^2+y_1^2+(x_2-2)^2+y_2^2$。代入上式并化简得$3x_1^2+2x_1-3k^2x_1+k^2-1=0$，因此$x_1=\frac{3k^2-2}{3}$。当$k=3$或$k=-3$时，$x_1=\pm1$，代入$y_1=-\frac{k(x_1-2)}{k^2+3}$中得$y_1=\pm1$，因此直线$L$的方程为$y=\pm3(x-2)$。当$k\neq3$且$k\neq-3$时，$x_1=\frac{3k^2-2}{3}$，代入$y_1=-\frac{k(x_1-2)}{k^2+3}$中得$y_1=-\frac{2k^3-9k}{3k^2+3}$，因此直线$L$的方程为$y=-\frac{2k^3-9k}{3k^2+3}(x-2)$。因此存在直线$L$，使四边形$OMPN$是矩形的充要条件是$k=\pm3$，此时直线$L$的方程为$y=\pm3(x-2)$。本题考查向量的基础知识和动点轨迹，以及直线与椭圆的位置关系。我们可以采用向量和解析几何的方法，将几何问题代数化，并按照求轨迹方程的步骤进行求解。⑴设点C的坐标为(x,y)，则点G的坐标为(x/3,y/3)。由于GM=λAB(λ∈R)，所以GM与AB平行。又因为|MA|=|MC|，且点M在x轴上，所以点M的坐标为(x/2,0)。将这些信息代入公式，得到曲线C的方程为x^2/4+y^2/9=1(x≠0)。⑵当k=0时，直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，且根据椭圆的对称性，有|AP|=|AQ|。当k≠0时，直线l的方程为y=kx+m。联立方程组，消去y并整理得到二次方程(1+3k^2)x^2+6kmx+3(m^2-1)=0(*)。由于直线l和椭圆C有两个不同的交点，所以判别式△=(6km)^2-4(1+3k^2)(m^2-1)>0，即1+3