2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点（人教版）：压轴题专训40题（第五、六、七、八、九、十章）（解析版）

一．解答题(共40小题)1．(2023春•吴江区期中)当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． (1)如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． (2)如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关 (3)如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ(90°＜γ＜180°)，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m(0°＜m＜90°)，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．(可用含有m的代数式表示)【分析】(1)在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，进而可得EF∥GH； (2)在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α与β的数量关系； (3)分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由(1)的结论可得，γ＝150°．在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，∴∠2+∠3＝90°，＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴EF∥GH； (2)β＝2α﹣180°，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，同理可得，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，∴β＝180°﹣(∠MEG+∠MGE)＝180°﹣(2∠2+2∠3)＝180°﹣2(∠2+∠3)＝180°﹣2(180°﹣α)＝2α﹣180°； (3)90°+m或150°．∵∠BEG＝∠1＝m，∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2(60°﹣m)，∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，则∠GHK＝120°，则∠GHC＝30°，由△GCH内角和，得γ＝90°+m．②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，如下图所示：∠G＝γ﹣60°，由EF∥HK，且由(1)的结论可得，∠G＝γ﹣60°＝90°，则γ＝150°．综上所述：γ的度数为：90°+m或150°．2．(2023春.工业园区校级月考)【探究】 (1)如图1，∠ADC＝120°，∠BCD＝130°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝°； (2)如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB(用α、β表示) (3)如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG、BH平行时，α、β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．【挑战】如果将(2)中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．【分析】利用三角形外角的性质，列出∠F＝∠FBE﹣∠FAB．再通过角平分线的定义以及四边形内角和的性质，将∠F＝∠FBE﹣∠FAB转化为含有α与β的关系式，进而求出∠AFB．∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB＝360°﹣120°﹣130°＝110°．又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝＝ (2)如图2．由(1)得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB． (3)若AG∥BH，则α+β＝180°．若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．∴∠DAB＝∠CBE．∴AD∥BC．∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．∵∠ABF与∠NBE是对顶角，∴∠ABF＝∠NBE．又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．∴∠F＝＝3．(2022秋•城关区期末)问题情境： ABCDPABPCD求∠APC度数．小颖同学的解题思路是：如问题迁移： (2)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？(提示：过点P作PE∥AD)，请说明理由； (3)在(2)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你猜想∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．【分析】(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°． (2)过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠ (3)画出图形(分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上)，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】解：(1)过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°； (2)∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； (3)当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，CPDCPEDPE﹣∠α；PBOCPDα﹣∠β．∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，CPDDPECPE﹣∠β．ABCDGHEHD (0°＜α＜90°)．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°． (1)填空：∠PNB+∠PMD∠P(填“＞”“＜”或“＝”)； (2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数(用含α的式子表示)．【分析】(1)过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解； (2)①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【解答】解：(1)过P点作PQ∥AB，∴∠PNB＝∠NPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD＝∠QPM，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN， (2)①∵NO∥EF，PM∥EF，∴NO∥PM，∴∠ONM＝∠NMP，∵∠PMN＝60°，∴∠ONM＝∠PMN＝60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO＝∠ONM＝60°，∵AB∥CD，∴∠NOM＝∠ANO＝60°，∴α＝∠NOM＝60°；NG如图②，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO＝∠ANM＝30°+α，∵AB∥CD，∴∠MON＝∠ANO＝30°+α，综上所述，∠MON的度数为30°+α．FA AHE∠FAH，∠KEH之间的关系：． (2)若∠BEF＝∠BAK，求∠AHE． (3)如图2，在(2)的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．【分析】(1)根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案； (2)根据∠BEF＝∠BAK，分别表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG (3)结合(2)，分以下几种情况求解：①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，②当KH∥EG时，③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，④当KE∥NG时，⑤当HE∥NG时．【解答】解：(1)∵AB∥CD，∴∠KEH＝∠AFH，∵∠AHE是△AHF的外角，∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH，∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH．故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH； (2)∵AB∥CD，∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC，∵，∴∠BAK＝2∠BEF，∵∠BEC＝2∠BEF，∴∠BAK＝∠BEC，∴∠BAK＝∠ABE，∴AK平分∠BAG，∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴3∠BAK＝90°，∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°，∴，∴∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠AFE＝45°，∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°． (3)①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，∵∠EKH＝∠EPG＝30°，∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，∴∠CEK＝∠PEN＝30°，∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，∴秒，②当KH∥EG时，∴∠EKH＝∠KEG＝30°，∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，∴∠NEK＝60°，∴∠CEK＝120°，∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，∴秒，③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，∴∠CEK＝150°，∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，∴秒，∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒．④当KE∥NG时，∵∠GEN＝30°，∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．∴(秒)．⑤当HE∥NG时，∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．∴(秒)．当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒．6．(2022秋•宛城区校级期末)如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45° (1)观察猜想将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，则∠CEN＝°． (2)操作探究将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与NM相交于点E，求∠CEN的度数； (3)深化拓展将图1中的三角尺OCD绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边OC旋转°时，边CD恰好与边MN平行．(直接写出结果)【分析】(1)在△CEN中，依据三角形的内角和定理求解即可； (2)根据角平分线的定义求出∠DON＝45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可； (3)当CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；当CD在AB的下方时，CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可．【解答】解：(1)∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，∴∠CEN＝105°．故答案为：105°． (2)∵OD平分∠MON，∴∠DON＝∠MON＝×90°＝45°，∴∠DON＝∠D＝45°，∴CD∥AB，∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；． CDABOM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，＝180°﹣45°﹣60°，＝75°，当CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋转角为75°+180°＝255°，综上所述，当边OC旋转75°或255°时，边CD恰好与边MN平行．7．(2023春•九龙坡区校级月考)已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． (1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC． (2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关【分析】(1)先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可； (2)过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∠DCP＝(∠BAP+∠DCP)＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC； (3)过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝PDCP∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝(∠BAP﹣∠DCP)＝∠APC，进而得到∠AKC＝∠APC．∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°； (2)∠AKC＝∠APC．∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝∠BAP+∴∠AKC＝∠APC； (3)∠AKC＝∠APC．∠DCP＝ (∠BAP+∠DCP)＝∠APC，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠BAK﹣∠DCK＝∠DCP＝ ∠APC，∴∠AKC＝ (2)如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF； (3)如图3，在(2)的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可证明结论； (2)过点E作EP∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EP，设∠FAB＝α，∠CFH＝β，根据平行线的判定与性质和角平分线定义，可得∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF； (3)延长DC至点Q，过点M作MN∥AB，结合(2)问可得∠EAF+∠GMH的度数．【解答】(1)证明：∵AE∥BD，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠D，∴∠D+∠B＝180°，∴AB∥CD； ∵AB∥CD，∴AB∥EP，∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，∵AF是∠BAE的平分线，∴∠EAF＝∠FAB＝EAB，∵FH是∠CFG的平分线，∴∠CFH＝∠HFG＝CFG，∵CD∥AB，BHFCFH∠CFA＝∠FAB，AB∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2(β﹣α)＝∠AEC+2β，∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF； ∵AB∥CD，∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，∴∠ECF＝∠CFG，由(2)问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，∴∠AEC＝2∠AFH，∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，∴∠AFH＝20°，∵FH⊥HM，∴∠FHM＝90°，∴∠GHM＝90°﹣β，过点M作MN∥AB，∴MN∥CD，∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，由(2)问知：∠EAF＝∠FAB，∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，∴∠EAF+∠GMH＝70°．开学)已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝108°，试解答下列问题： O，则OB与AC的位置关系为 (2)如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于； (3)在第(2)题的条件下，若平行移动AC到如图③所示位置．①在AC移动的过程中，∠OCB与∠OFB的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理②当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA．【分析】(1)根据平行线的性质得出∠B+∠O＝180°，求出∠O＝72°，求出∠O+∠A＝180°，根据平行线的判定得出即可； (2)根据角平分线定义求出∠EOC＝＝36°，即可得出答案； BOEEOFFOCCOAβ，求出∠OCA＝∠BOC＝2α+β，α＝β＝18°，即可得出答案．【解答】解：(1)∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，∵∠B＝108°，∴∠O＝72°，∵∠A＝108°，∴∠O+∠A＝180°，∴OB∥AC， (2)∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，∠BOA＝72°，∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝∠BOF+∠FOA＝＝36°，故答案为：36°； (3)①不变，∵BC∥OA，∴∠OCB＝∠AOC，又∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠OCB，又∵BC∥OA，∴∠OFB＝∠FOA＝2∠FOC，∴∠OFB＝2∠OCB，即∠OCB与∠OFB的比值为；②由(1)知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，由(2)可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β由(1)知：BC∥OA，∴∠OEB＝∠EOA＝α+β+β＝α+2β∴2α+β＝α+2β∴α＝β∵∠AOB＝72°，∴α＝β＝18°∴∠OCA＝2α+β＝36°+18°＝54°．10．(2023春.九龙坡区校级月考)阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？数部分．又例如： 【分析】(1)先估算出的范围，即可得出答案； 1)∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是， (2)∵2＜＜3，∵3＜＜4，∴b＝3， (3)∵1＜3＜4，秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． AQ t时，求PQ的值； )当PQ＝AB时，求t的值．据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长； (2)先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长； (3)由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQQt t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4， (3)∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，∴PQ＝|2t﹣(10+t)|＝|t﹣10|，∵PQ＝AB，故t的值是15或5． (1)直接写出a，b，并将这两个数在数轴上所对应的点A、B表示出来； B的速度．【分析】(1)根据多项式中常数项及多项式的次数的定义即可求解； (2)根据|PA|+|PB|＝13列出方程，解方程即可； (3)设点B的速度为v，则A的速度为2v，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论．b点A、B在数轴上如图所示： (2)根据题意得 表示的数为3+3v，v故点B的速度为或． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； 说明理由； (3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？AB (2)根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； (3)设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程．，∴点P对应的数是1． (2)当P在AB之间，PA+PB＝4(不可能有) aAB根据题意得：2a＝4+a，解得a＝4．则6a＝24．答：点P所经过的总路程是24个单位长度．14．(2023•龙川县校级开学)如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是． (2)若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动， (3)若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t(t＞0)秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．【分析】(1)根据数轴上两点间距离，可求得点所对应的数； 求解即可； (3)根据数轴上动点问题，图形动转化为点动，根据题意求解即可． (2)∵点M是线段AD的中点，又∵EN＝EH，x∵OM＝2ON，解得x＝或x＝． (3)当CD与EF重合时，所用时间为＝7秒，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，∴t1＝＝2，∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9(秒)；当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，∴t2＝＝6，∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13(秒)；∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13．15．(2023•五华县校级开学)操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示) ①5表示的点与数表示的点重合；②3表示的点与数表示的点重合；③若数轴上A、B两点之间距离为9(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是、点B表示的数是 上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a【分析】(1)求出表示两个数的点的中点所对应的数，利用方程可以求出在此条件下，任意一个数所对应的数； (2)求出﹣1表示的点与3表示的点重合时中点表示的数，在利用方程或方程组求出在此条件下，任意一个数所对应的数； (3)分两种情况进行解答，向左移动4个单位，向右移动4个单位，列方程求解即可．故答案为2； ③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得： 16．(2023春.东莞市月考)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是； CDcdcdcd的平方根．2﹣ (3)∵|2c+d|与互为相反数，∴|2c+d|+＝0，∴2c﹣3d的平方根为±4，间为t秒． P (2)在点P运动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，则点P运动的时间为秒． 停止，求t为何值时点P、Q在运动路线上相距的路程为5个单位长度？并直接写出此时P点的坐标．B间，可得P点的横坐标，根据平行线 (3)设P运动了t秒时点P、Q在运动路线上相距的路程为5个单位长度，18．(2023春•拱墅区校级期中)汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A射出的光束转动的速度是a°/秒，灯B射出的光束转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+(a+b﹣4)2＝0．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°． (1)求a、b的值； (2)如图2，两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，若∠BCD＝20°，求∠BAC的度数； (3)若灯B射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (2)设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣(180°﹣2t)＝2t﹣90°＝20°可得t的值，根据∠BAC＝45°﹣(180°﹣3t)＝3t﹣135°可得∠BAC； At情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可． (2)设A灯转动时间为t秒，又∵PQ//MN，∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，∵∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣(180°﹣2t)＝2t﹣90°＝20°，∴t＝55°，CAN﹣3t，∴∠BAC＝45°﹣(180°﹣3t)＝3t﹣135°＝165°﹣135°＝30°； 设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行．依题意得0＜t＜150ttt，解得t＝195＞150(不合题意)t．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案．甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费．设某位顾客购买了x元的该种粽子． (1)补充表格，填写在“横线”上：x (单位：元)实际在甲超市的花费 (单位：元)实际在乙超市的花费 (单位：元)0＜x≤200xx200＜x≤300xx＞300 (2)当x为何值时？到甲、乙两超市的花费一样． (3)如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过300元，那么到哪家超市花费更少？说明理由．【分析】(1)根据题意求解填表； (2)令两商场的消费金额相等，列方程求解； 分情况讨论，选择花费较少的商场．【解答】解：(1)200+(x﹣200)×95%(或10+0.95x)．300+(x﹣300)×90%(或30+0.9x)．填表如下：x (单位：元)实际在甲超市的花费 (单位：元)实际在乙超市的花费 (单位：元)0＜x≤200xx200＜x≤300200+(x﹣200)×95%(或10+0.95x)xx＞300200+(x﹣200)×95%(或10+0.95x)300+(x﹣300)×90%(或30+0.9x) (2)200+(x﹣200)×95%＝300+(x﹣300)×90%解得x＝400．∴当0＜x≤200或x＝400时，到甲、乙两超市的花费一样； (3)200+(x﹣200)×95%＜300+(x﹣300)×90%x＞300当300＜x＜400时，顾客到甲超市花费更少．x、乙超市的花费相同．当x＞400时，顾客到乙超市花费更少．20．(2022秋•射洪市期末)为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题： (1)这次抽查的学生人数是多少人？ (2)将条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，求选课程D的人数所对的圆心角的度数； (4)如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程B的学生约有多少人？ (2)求出“C组”人数，即可补全条形统计图： (4)样本估计总体，样本中“B组”占，估计总体1200人的是“B组”的人数．【解答】解：(1)12÷30%＝40(人)，抽查的学生有40人； (3)360°×＝36°， (4)3600×＝1260(人)，答：该校3600名学生中报课程B的学生约有1260人．21．(2022秋•亳州期末)班长小李对他所在班级(八年级2班)全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的数据绘制了下面的统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信完成信息采集． (1)该班共有学生人； (2)在图1中，请将条形统计图补充完整； (3)在图2中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数度； (4)求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数． (2)求出“书画”人数，即可补全条形统计图： (4)样本中“书画”人数为10人，样本容量为40人，可求出所占的百分比．【解答】解：(1)该班共有学生14÷35%＝40(人) 40﹣(14+12+4)＝10(人)，补全条形统计图如图所示： 音乐”部分所对应的圆心角的度数为， (4)爱好“书画”的人数占本班学生数的百分比是：．染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在这次抽样调查中，一共有吨的生活垃圾； (2)请将条形统计图补充完整； (3)扇形统计图中，B所对应的百分比是，D所对应的圆心角度数是； (4)假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾多少吨？【分析】(1)从两个统计图中可得到“A可回收垃圾”的有27吨，占垃圾数量的54%，可求出调查的垃圾数量； (2)求出“B餐厨垃圾的吨数，即可补全条形统计图； (3)B餐厨垃圾的15吨占垃圾数量50吨的百分比即可，D其它垃圾占，因此圆心角占360°的 (4)样本估计总体，样本中喜欢“C有害垃圾”的占，因此估计5000吨的是“有害垃圾”的吨数．吨， (3)15÷50＝30%，360°×＝36°， (4)5000×＝300吨，答：该城市每月产生的5000吨生活垃圾中有害垃圾300吨．23．(2022秋•宝山区校级期末)下表1为抄录北京奥运会官方票务网公布的三种球类比赛的部分门票价格，如图是按照某公司购买的100张门票的种类、数量绘制的扇形图：比赛项目票价(元/张)足球男篮800乒乓球500依据上列图表，回答下列问题： (1)其中观看乒乓球比赛的门票占全部门票的%；观看足球比赛的门票有张； (2)购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的(填几分之几)； (3)奥运会期间，某售票点第二周的门票销售额为200万元，比第一周销售额增长了6%，该售票点第三周的门票销售额的增长率在第二周的基础上提高了四个百分点，①这个售票点第三周的门票销售额为多少万元？②这个售票点第一周的门票销售额为多少万元？(结果保留整数)【分析】(1)求观看乒乓球比赛的门票占全部门票的分率，把全部门票看作单位“1”，用1﹣50%﹣30%解答；求观看足球比赛的门票有多少张：用总张数100乘50%即可； (2)分别求出三种球票各买了多少张，然后求出一共花了多少钱，用乒乓球门票的总款数除以全部门票总款数即可； (3)①把第二周的门票销售额为200万元看作单位“1”，用乘法求出第三周的门票销售额；②把第一周销售额看作单位“1”，用除法求出第一周的门票销售额．100×50%＝50(张)，答：其中观看乒乓球比赛的门票占全部门票的20%；看足球比赛的门票有50张； (2)100×50%＝50(张)，100×30%＝30(张)，100×20%＝20(张)，1000×50＝50000(元)，800×30＝24000(元)，500×20＝10000(元)，∴10000÷(50000+24000+10000)答：购买乒乓球门票的总款数占全部门票总款数的； (3)①200×(1+6%+4%)＝220(万元)，故这个售票点第三周的门票销售额为220万元；②200÷(1+6%)，≈189(万元)，故这个售票点第一周的门票销售额为189万元．答：这个售票点第三周的门票销售额为220万元．这个售票点第一周的门票销售额为189万元．24．(2023春.海淀区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)，我们重新定义这两点的“距离”．根据以上材料，解决下列问题： W在图一中画出图形W；(1)根据D远和D总的定义，进行计算即可； (2)分|x|＝3或|5﹣x|＝3两种情况讨论求解即可； m解即可． xx＝3，∵B点在第一象限，x (3)①∵D总(C，O)＝|x|+|y|＝4，又∵x≥0，y≥0，∴x+y＝4，∵点E在线段MN上，D远(E，O)≤4且D总(E，O)≥4，OEO意；∴当1≤m≤4时，在线段MN上存在点E，使得点E满足D远(E，O)≤4且D总(E，O)≥4，意；O)≥4．25．(2023春•江岸区校级月考)某营业厅在元旦推出两种套餐方案，具体计费方式如下表：每月基本话费主叫限定时间主叫超时费用被叫套餐一58元150分钟0.25元每分钟免费套餐二88元350分钟a元每分钟免费 (1)若主叫时间为260分钟，则选择套餐一的费用为元，套餐二的费用为元． (2)若表中的a＝0.3，请你分情况讨论说明，是否存在主叫时间t，使得两种套餐的计费相等？ )若主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，则a＝．此情况下，当主叫时间t满足条件时，选择套餐一更省钱．【分析】(1)分别按照表中的计费方式计算即可得到答案； (2)分两种情况列方程求解即可：当150＜t≤350时；当t＞350时； (3)由题意得关于a的一元一次方程并求解，可得a的值；分三种情况讨论，然后综合起来可得t的范【解答】解：(1)选择套餐一的费用为：58+0.25×(260﹣150)＝58+27.5＝85.5(元)，套餐二的费用为：88(元)． (2)表中的a＝0.3，当主叫时间为t时，ttt∴存在主叫时间为270分钟或750分钟时，两种套餐的计费相等； (3)∵主叫时间为450分钟时两种套餐的计费相等，当0≤t≤150时，套餐一费用为58元，套餐二费用为88元，tt∴150＜t＜270，0≤t＜270或t＞450时，选择套餐一更省钱．t26．(2023•商水县模拟)第39届“中国洛阳牡丹文化节”期间，某工艺品商店促销大小两种牡丹瓷盘，发布如下信息：※每个大盘的批发价比每个小盘多120元；※※一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘；※※※每套组合瓷盘的批发价为320元．根据以上信息： (1)求每个大盘与每个小盘的批发价； (2)若该商店购进小盘的数量是大盘数量的5倍还多18个，并且大盘和小盘的总数不超过320个，该00元，每个小盘80元零售，设该商店购进大盘x个．①试用含x的关系式表示出该商店计划获取的利润；②请帮助该商店设计一种获取利润最大的方案并求出最大利润．【分析】(1)设每个小盘的批发价是a元，则每个大盘的批发价是(a+120)元，然后根据一套组合瓷盘包括一个大盘与四个小盘，每套组合瓷盘的批发价为320元，可以列出方程(a+120)+4a＝320，从而可以求得每个大盘与每个小盘的批发价； (2)①设该商户购进大盘x个，则该商户购进小盘的数量是(5x+18)个，利润为w元，利润＝单件利润乘数量，可以得到w与x的关系式；②根据大盘和小盘的总数不超过320个，可以得到关于x的不等式，从而可以求得x的取值范围，注意【解答】解：(1)设每个小盘的批发价是a元，则每个大盘的批发价是(a+120)元， (a+120)+4a＝320，解得a＝40，答：每个大盘的批发价是160元，每个小盘的批发价是40元； (2)①设该商户购进大盘x个，则该商户购进小盘的数量是(5x+18)个，利润为w元，wxx+720，即该商户计划获取的利润为(280x+720)元；②x+5x+18≤320，解得x≤50，∵x为整数，∴x≤50且x为整数，最大利润是14720元．(2022秋.成都期末)数学应用题：现代电梯具有人工智能的功能，某楼层安装了智慧电梯，该电梯移动一层楼的距离是3米，在载重范围内运行速度均为1米/秒，人进出电梯的时间均为9秒；人走每一层楼的楼梯长是4.5米，为了安全人下楼梯时行走的速度是0.5米/秒．若小明家住34层早上7：30去上学，示：电梯从1层到2层(或2层到1层)，电梯只移动了3米) (1)求小明爸爸到达﹣2层并走出电梯与小明到达﹣2层时分别用了多少秒钟？ (2)求小明至少出发多少秒钟才能与乘坐在电梯轿厢里的爸爸刚好处于同一海拔高度？ 备乘电梯到1层，小明的爷爷在5层准备乘电梯到34层，若他们同时按下电梯按钮(此时只有他们三人在使用电梯)，此时电梯在1层，请直接回答智慧电梯至少需要运行多少米才能把他们都送到目的地？【分析】(1)根据题意先算出电梯经过的楼层，即可算出小明爸爸所用的时间，然后算出小明经过的楼层，即可算出小明所用的时间； (2)设小明至少出发x秒钟才能与乘坐在电梯轿厢里的爸爸刚好处于同一海拔高度，由电梯运行一层需3秒，人下一层需4.5÷0.5＝9(秒)，可得≥，即可解得答案； (3)根据题意，电梯一共运行了70层，即可得智慧电梯至少需要运行210米，才能把他们都送到目的地．层，∴小明爸爸所用的时间＝3×(33+35)÷1+2×9＝222(秒)，∵人走每一层楼的楼梯长是4.5米，为了安全人下楼梯时行走的速度是0.5米/秒，且小明从34层到﹣2层共经过35层，∴小明所用的时间＝35×4.5÷0.5＝315(秒)， (2)设小明至少出发x秒钟才能与乘坐在电梯轿厢里的爸爸刚好处于同一海拔高度，∵电梯运行一层需3秒，人下一层需4.5÷0.5＝9(秒)，∴≥，∴小明至少出发162秒钟才能与乘坐在电梯轿厢里的爸爸刚好处于同一海拔高度； (3)根据题意，电梯先从1楼到﹣2楼接到小明的爸爸，再到5楼接到小明的爷爷，继续向上到16楼送到1楼，智慧电梯运行的楼层数最少，∴电梯一共运行了2+35+33＝70(层)，∵70×3＝210(米)，∴智慧电梯至少需要运行210米，才能把他们都送到目的地．28．(2023春•桐柏县校级月考)古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．伴着三月的春风，哼着欢快的曲调，我们踏上了研学之路．方树泉中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：王老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到该博物馆参观，一天的租元．”小萱：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租根据以上对话，解答下列问题： (1)参加此次活动的七年级师生共有人； (2)客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ ，问有几种租车方案？哪一种租车最省钱？【分析】(1)根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座aa入 (2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，xy元一次方程组，解之即可得出结论； )设租用60座客车m辆，45座客车n辆，根据“租用的客车要使每位师生都有座位，且每辆客车恰车方案所需租车费用，比较后即可得出结论．∴45a+15＝45×9+15＝420，∴参加此次活动的七年级师生共有420人． (2)设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元； (3)设租用60座客车m辆，45座客车n辆，得：60m+45n＝420，∴或或，∴共有3种租车方案，方案1：租用60座客车7辆，所需租车费用为900×7＝6300(元)；方案2：租用60座客车4辆，45座客车4辆，所需租车费用为900×4+750×4＝6600(元)；方案3：租用60座客车1辆，45座客车8辆，所需租车费用为900×1+750×8＝6900(元)．∵6300＜6600＜6900，∴租车方案1最省钱．xyxyaxbyx⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已 (3)若关于x，y的方程组〈的解为〈求关于x，y的方程组【分析】(1)根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； (2)根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝5求解即可； (3)根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． (2)依题意得，∵x+y＝5， C：按8折销售；②乙商家：买一盒口罩可送一瓶消毒液． (1)A部门有10人，计划每人配置1盒口罩和2瓶消毒液．若A部门选择甲商家购买，则需要花费400元． (2)B部门选择了乙商家，共花费500元，已知购买消毒液的数量是口罩数量的2倍多2．请问B部门购买了多少盒口罩． (3)C部门要购买15盒口罩和消毒液若干(超过15瓶)，如果你是该部门负责人，且只能在甲，乙商家选其中一家购买，应该选择哪家才会更加划算，请说明理由．【分析】(1)10盒口罩10瓶消毒液的钱数乘以80%即可； B部门买了x盒口罩，消毒液为(2x+2)瓶，列方程，解方程即可； (3)分别表示出在两个商场中花费的钱数，借助不等式选择商场．＝400(元)， (2)设B部门买了x盒口罩，消毒液为(2x+2)瓶，B12盒口罩； (3)设消毒液为y瓶，解方程得x＝30，bP P(m，n)的“完美间距”最大时，求此时点P的坐标．【分析】(1)根据定义，分别求出每两点间的距离，再求最小距离即可； (2)①分别求出每两点间的距离，再由题意可到|y|＝3，求出y的值即可；最大值为5； B∴|y|＝3，∴y＝±3，AB (3)设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+6，∴EP∥y轴，32．(2022秋•朝阳区校级期末)如图①，将射线OX按逆时针方向旋转β角(0°≤β＜360°)，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用(m，β)表示点P在平面内的位置，M图形，解答下列问题： (1)如图3，若点N在平面内的位置记为N(6，30°)，则ON＝，∠XON＝°． (2)已知点A在平面内的位置记为A(4，30°)，①若点B在平面内的位置记为B(3，210°)，则A、B两点间的距离为．BBmABm．③若点B在平面内的位置记为B(3，α)，且AB＝5，则a的值为或．【分析】(1)根据新定义直接得到答案； 先根据新定义画图，证明△AOB，△AOB1是直角三角形，从而可得答案．【解答】解：(1)点N在平面内的位置记为N(6，30°)，则ON＝6，∠XON＝30°． (2)①如图，AB，∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴AB＝4+3＝7；∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；③如图，∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3＝OB1，∠BOX＝α或∠B1OX＝360°﹣α，∵AB＝5，∴OB2+OA2＝25＝AB2，∴∠AOB＝90°＝∠AOB1，∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°．故答案为：120°或300°．33．(2023春•襄都区月考)在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′． ； 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由； 【分析】(1)根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标； (2)根据题意列方程，解方程即可得到结论； 方程组，解方程组，即可得到结论．∴向上平移了4个单位，向右平移了4个单位， (2)m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A(m，n)，B(2n，m)，A′(3m，n)，B′ ∴m＝2n； (3)∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A(m，n+1)，34．(2023春•崇川区校级月考)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M(x1，y1)，N(x2，y2)， BAB (2)若点B在x轴上，且点A和点B的“阶距离”为4，求点B的坐标； BabAB“阶距离”为1，直接写出a+b的取值范围．【分析】(1)根据“k阶距离”的定义计算点A与点B之间的“阶距离”． (2)设出点B的坐标，再根据“阶距离”的定义列出方程，求出字母的值，从而确定点B的坐标，注意x轴上的点的纵坐标为0． (3)根据“阶距离”的定义列出关于字母a和b的式子，当a和b在不同的取值范围内将含有a和b的式子中的绝对值去掉，从而求得a+b的取值范围． (2)∵点B在x轴上，∵点A(﹣1，2)和点B(m，0)的“阶距离”为4，∴＝4， (3)∵点A(﹣1，2)和点B(a，b)的“阶距离”为1，∵b＞2，即5+a＞2，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，距离可以表示为|AB|＝|a﹣b|． (2)理解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是； (3)运用：x (4)提升：在为使每人手中卡片数相等，各调几张卡片给相邻小朋友(可以从相邻小朋友调进或调出给相邻小朋友)，要使调动的卡片总数最小，应该做怎样的调动安排？最少调动几张？【分析】①根据阅读材料直接可得答案；②根据阅读材料列出方程，可解得答案；xxCx∴表示2和5的两点之间的距离是3，表示1和﹣3的两点之间的距离是4，xx2|表示到表示﹣1和2的点的距离之和，xCx由于共有卡片数为12+6+9+3+10＝40张，要使每人手中的卡片数相等，每人均为8张，ABBC张，C给D有1张，E给D有4张，A给E有2张，调动的卡片总数最小，最少调动9张．36．(2023春•长沙月考)为了保障学生安全，学校在操场两侧各安装了一枚探照灯，便于夜间对整个校园进行巡视．如图1，操场两侧MN∥PQ，且测得∠BAQ＝45°．灯A射线自AP顺时针转至AQ便立即回转，灯B射线自BN顺时针转至BM便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，abb (2)若灯B射线先转动5秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线与AB重合之前，灯A转动几秒，可以使两灯射线平行？(3)如图2，两灯同时转动，在灯B射线到达BM之前，若射出的光束交于点C，作∠NBC的角平分线交AC的延长线于点D．若t秒后，+三C为定值，请你直接写出t的取值．【分析】(1)根据≥0，|a|≥0即可； (2)根据已知条件表示出角度，再根据两直线平行的性质，列方程即可求解； (3)通过计算，灯A射线与AB重合，灯A射线与AQ重合分别求出t的值，即可确定满足条件的t取值范围．【解答】解： (2)如图1所示：∵灯B转动的速度是2°/秒，∴先转动5秒也即先转动10°，∵∠BAQ＝45°，∴灯A转动x秒后，∠MAB＝180°﹣45°﹣3x，∠ABQ