回归传统根本

回归传统回归根本-----2011年高考数学广东卷试题和答卷分析华南师范大学数学科学学院吴有昌汇报的主要内容一、试卷的考点分布与特点分析二、2011年试题相关数据三、学生答卷的主要错误分析四、对高考命题和教学的建议五、11年高考数学试题动向引言2011年高考数学广东卷（简称广东卷）在2010年试题的基础上适当加大了难度，突出了高考选拔性功能。通过对2011年广东卷试题（简称2011年试题）的命题思想、特点分析和考生答卷的分析，希望对广大中学教师在教学、备考方面有新的启发。与2010年试题相比，2011年试题在命题思想、命题思路与风格都有一定的差异。有的差异应该引起我们的反思，有的差异给了我们新的启示。因此，2011年试题值得深入研究。一、试卷的考点分布和特点分析

与2010年试题相比，2011年试题在考点分布上有较大差异，加大了对传统知识内容几何、函数和数列的考查。近三年的考点分布如下表：知识点集合向量函数三角函数数列解几（不含选

做题）立几概率统计排列组合线性规划复数不等式研究性题选做题文科2009年5825141619232352552010年55241951019221219552011552912191923185555理科2009年51319952419225555102010年551519519192251251452011年552412191418235555552009、2010、2011试题考点分布表通过分析上表可发现，函数的分值有所增加。文科卷中函数（包括三角函数、数列）所占分值是60分，理科卷中函数（包括三角函数、数列）所占分值是55分）。在文科卷中，几何（包括解几和立几）所占的分值是42分，较2010广东卷增加了13分。在总分不变的情况下，新增知识所占的分值必有所减少。2011年广东卷新增知识（向量、概率统计和线性规划）所占的分值是33分，比例为22%。每年的试题都有各自不同的特点，通过分析，归纳2011年试题的特点如下：2．1回归传统，对函数、几何知识的考查的力度有所加大2011年理科试题对函数的考查力度不大，因此，教师们都普遍预期2011年试题对函数知识的考查力度将加大。确实如此，从表1的数据可知，文、理科试题中函数所占的分值都有所增加，其中，理科试题增加了16分，增加的幅度为41%。文科加大了对几何知识的考查力度，2011年试题所占分值增加了13分，增加的幅度约为45%。理科试题中几何知识所占分值表面上看降低了，实际上并非如此，压轴题理21是通过平面解析几何中抛物线的知识引出，考查了考生对抛物线相关知识的理解。因此，2011年试题突出考查了中学数学的主干知识，做到了“重点内容重点考”。2．2

回归根本，重视数学定义的作用2011年试题重视利用数学定义解决问题，很好地发挥了高考指挥棒的引导作用。文科

第8题考查了抛物线的定义，文科第21题的第一小问事实上也可以利用抛物线的定义

来解题；理科第19题考查了双曲线的定义。此外，文科第10题、理科第8题和理科21题都考查了考生利用新定义解决问题的能力。文科第10题新定义了复合函数和函数的乘积；理科第8题新定义了数集运算的封闭性。((f

g)•h)(x)=f(g(x))h(x)((f

•h)(g•h))(x)=(f(x)h(x))(g(x)h(x))=f(g(x)h(x))h(g(x)h(x))分析：此题考查的知识点是复合函数与函数的乘积，主要考查考生对新定义的理解与创新思维能力，有较大难度。首先，题干设计三个已知条件:

①

T

,V

是

的两个不相交的非空子集;条件②

T

V

=

③

"

a,

b,

c

˛

T

,有

abc

˛

T

；

"

x,

y,

z

˛

V

,有xyz

˛

V

。先考虑0，由条件①和②可知0

˛

T

或者0

˛

V

.不妨假设0

˛

T

，以下以T

的元素个数来讨论

T

,V

的性质：（

1）若

T

只有一个元素，即

T

=

{0}，此时由条件①②，V

=/{0}.显然T

,V满足条件③。此时，

T

是乘法封闭的，

且

V

也必是乘法封闭的。

否则，

若存在

x、y˛

V

，

使得

xy

ˇ

V

.

令z

=1

，则有

xyz

=

xy

˛

V

，与假设矛盾。（2）若T

有两个的元素，即T

={0，x0

}，则x0

=1或x0

=-1

.否则，若x0

„1且x0

„-1

,则V

=/{0，x0

}，当x=-x0

,y

=-1,z

=1,有xyz=x0

ˇ

V

，与

,有"

x,

y,

z

˛

V

xyz

˛

V.矛盾！另证：若x0

„1且x0

„-1

，取0

0

0x

,

x

,

x

˛

T，由条件③可知x

x

x˛

T

，又x

„0

，所以x3

=x

，解得x

=1，或x

=-1

，0

0

0

0

0

0

0

0矛盾）.显然T

满足条件③；关于V

，我们分以下两种情况讨论：若x0

=1，此时，V

满足条件③.（否则，xyz

ˇ

V

，即xyz=0或1

，由于x,y,z

˛

V

，显然不可能乘积为0；若乘积为1，则x,y,z

至少有一个必须是1，矛盾于V

=

/

{0，1}！）以下检验V是否关于乘法是封闭。取x

=

-1,

y

=

-1,

x,

y

˛

V

，但

xy

=1

ˇ

V

。于是

V关于乘法是不封闭的。即T

={0，1}，V

=/{0，1}时，

T

是关于乘法封闭的，而

V

关于乘法是不封闭的。同理，我们可以得到，

x0

=-1

，

T

是关于乘法封闭的，而

V

关于乘法是不封闭的。（3）若有三个的元素，则必为T={0，1-，1}，V=/{0，1

-，1}，此时，T,V

满足条件③。经检验，T,V

是关于乘法封闭的。0（4）若T

中的元素大于3，不妨设为T={0，1

-10x，}x

„0,1，-1.（四个元素中必须含有1，-1，否则会出现类似（2）的情况。），此时，取x0,x0,x0

˛T

，则x0x0x0

ˇT

，与条件③矛盾！故不存在这样的分解，使得T

中的元素大于3且满足条件①②③。综上，满足条件①②③的整数集

的分解T,V

中至少有一个关于乘法是封闭的。另解从选项进行分析，我们知道，A选项包含了D选项，即如果D选项正确，那么A选项也应该是正确的。如果从这个方面来思考，那么D选项就是首先应该淘汰的。再结合某个例子就可以确定正确答案了。2．3回归本质，重视考生数学素养与创新意识的评价

学业评价的本质在于能真实反映出考生的数学

素养与创新意识。在大多考生采用“题海战术”的情况下，如何才能有效地考查考生的数学素养与创新意识是一件困难的事情。以高等数学为背景命题或许是一条较佳的途径之一，这也是当前全国高考题的热点之一，例如2010年广东理21题、

2010年北京文20题。2011年试题中文10、理8都是基于高等数学背景来命题，主要考查考生对于新定义的

理解，包括对于一些比较陌生的数学术语

诸如“封闭”的理解。通过引入新知识，

能有效地考查考生的数学学习能力与真实

的数学素养，也能考查到考生的创新意识。如此，一方面为高等学校选拔出优秀的考

生，一方面为考生未来学习高等数学开启

了一扇门。当然，怎样的具有高数背景的

试题才能有效地做到这一点，值得思考。2．4以能力立意，全面考查考生的数学能力

以能力立意是广东卷的命题原则。2011年试题很好地做到了这一点，对考生的能力考查全面，有效地发挥了考试的选拔性功能。例如，文17、理17题很好地考查了考生的数据处理能力；文18、理18题很好地考查了考生的推理论证能力与空间想象能力；理13题、理21题有效地考查了考生的抽象概括能力；文19、文20题和理19、理20题能有效地考查考生对于数与式的运算求解能力。因此，2011年试题能全面考查到考生的数学能力，为高校选拔出优秀的人才提供了保证。

2011年试题突出考查了推理论证能力与运算求解能力，应该引起重视。二、2011年试题相关数据数据分析是评价试题的重要依据之一。根据相关的数据，我们可以获得一些启示。从表2、表3分析，2011年文、理试题难度均有所提高，符合选拔性考试的要求。从大题的难度来看，文、理科试题的梯度可以更加合理一些，以更好地区分不同层次的学生。题号0分卷数满分卷数161255519520417104346273218262742672819800217782014540226212043191理科0分卷数与满分卷数题号0分卷数满分卷数1651224125821171502913690918105906801199577146201857120（最高分为7）212558550（最高分为8）文科0分卷数与满分卷数三、考生的典型错误分析典型错误：因为儿子的身高x与父亲的身高y相关

这个问题考查学生运用线性回归分析的方法解决实际问题的能力，，也就是学生要找到两个变量之间的关系，不能搞反了。思考的问题：仅有三组量，能否就得到线性回归方程，其中的参数是什么？残差是否异常？线性回归方程检验是否显著？2011年理数列题在第一问中，采用数学归纳法解决是一个比较自然的想法。在第二问中，采用数学归纳法证明却不是件容易的事情。2008陕理22题题目0分卷（份）3分以下卷（份）文185912595171理181172037701文2098231164655理2077479119899理20题给分分布在此题中，若考生一上来就考虑建系，则需要先作一番证明，找到三条互相垂直的直线，这对于熟悉了用向量法的学生来说相当困难；若考生利用传统方法来做，在第二问时则需找到二面角的平面角，这个知识点在教材中仅有几行字的说明，似乎显得要求过高。二面角的平面角不好找。不少考生纠结于用什么方法来解，耗费了大量的时间。文科的立几题似乎也遇到了同样的问题。该题涉及的字母符号多，有陌生的名字，不熟悉的题目设问。这些都给文科生带来了很大的障碍。思考一个问题：应该如何恰当地评价某道数学试题？应该说，当前，对于如何评价某道数学试题，大家尚未有统一的标准与框架。是否能归纳出一个较为合理的框架，值得深入研究。四、对高考命题和中学数学教学的建议1、对高考命题的建议命题是一门遗憾的艺术，结合2011年试题，从更高的标准与社会的期望出发，提出以下建议，仅供参考。1．1进一步拉大文、理科试题的差距实际上，广东省文、理科考生的差距比较大。例如，在2011年试题中，文、理第一道大题所考查的知识点和能力大体相当，满分均为12分，但实际得分却有较大差异。文科得分为7.47分，理科为

10.22分。要拉大文、理科试题的差距，不仅体现在考查的内容上，还要体现在考查知识的能力要求方面，例如，文科试题对数和式子的运算复杂程度要较理科试题低。此外，考查的知识和内容应符合文科生的特点，也应符合文科生的未来大学生活的专业需求。例如，对于数列的要求，应仅限于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前项和；对于立体几何的要求，应多考查与几何直观有关的知识如三视图；对于概率统计的要求，应多考查与调查研究相关的知识如分层抽样等。１．2应逐步加强运算求解能力的考查新课程标准对于运算求解能力的要求较传

统课程的要求大为降低，这在教学实践中

也产生了一定的负面影响。在教学实践中，数学教师尤其是初中数学教师对运算的要

求降低，学生的运算能力也有一定程度的

下降。针对这一教学薄弱点，2011年试题

加大了对运算求解能力的考查，有利于发

挥积极的引导作用。同时，我们不得不承认，当前学生的运算能力确实比较弱，从这几年来高考答卷情况容易看出这一点（参见文[２]）。因此，对于运算求解能力的考查，应呈现出一个逐步加强的过程，防止出现不良的反应。１．3应坚持以常规题为主一方面，在高度紧张的高考中，考生碰到陌生的试题则不易发挥出水平；另一方面，在精英教育转向大众教育的背景下，高考的功能有所改变。这两个因素促使高考试题的命制应以常规题为主。常规试题表现在两个方面：试题考查的内容为基础知识；考查的形式为考生常见的形式（如图形、符号和表述）。常规的试题同样可以考查出不同层次的学生，关键在于如何设问。１．4应逐步加大设问的梯度，做到低起点、多入口当前高考的重要任务是区分出不同层次的考生。在解答题中，设问的方式会直接影响到本题的得分率。为保证区分出不同层次的考生，试题应逐步加大设问的梯度，做到第一小问的起点要低，入口多且易，保证得分率。应继续保持多年来广东卷试题命制的优良传统。1．5应体现对考生的人文关怀高考不应是冷漠的，应充满人文关怀，这也有利于培养符合现代社会要求的人才。为此，试题命制应做到：试题的背景贴近学生生活，题材新颖能吸引考生兴趣，试题的表述清楚无歧义，无陌生符号等等。２对中学数学教学的几点建议针对考生在2011年广东卷中出现