全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC中点，且AD是整数，求AD的值。解：将AD延长至E点，使得AD=DE。由于D是BC的中点，所以BD=DC。在三角形ACD和BDE中，AD=DE，∠BDE=∠ADC，BD=DC，因此可以得出△ACD≌△BDE。所以BE=AC=2。在三角形ABE中，根据三角形两边之和大于第三边的原理，可以得到1＜AD＜3。因此AD=2。2.已知在直角三角形ABC中，D是AB的中点，求证CD=AB/2。解：将CD延长至P点，使得D为CP的中点。连接AP和BP。由于DP=DC，DA=DB，所以四边形ACBP为平行四边形。又因为∠ACB=90°，所以ACBP为矩形。因此AB=CP=1/2AB。3.已知在三角形BEC和CFD中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，求证∠1=∠2。解：连接BF和EF。因为BC=ED，CF=DF，且∠BCF=∠EDF，所以根据边角边全等原理，可以得出三角形BCF≌三角形EDF。因此BF=EF，∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中，BF=EF，所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED，所以∠ABE=∠AEB，因此AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE，BF=EF，且∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。因此可以得出三角形ABF≌三角形AEF。所以∠BAF=∠EAF，即∠1=∠2。4.已知在三角形ABC中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证EF=AC。解：过C作CG∥EF，交AD的延长线于点G。因为CG∥EF，所以∠EFD＝CGD。又因为DE＝DC，∠FDE＝∠GDC（对顶角），因此可以得出△EFD≌△CGD。因此EF=CG，且∠CGD＝∠EFD。又因为EF∥AB，所以∠EFD＝∠1=∠2，因此∠CGD＝∠2。所以△AGC为等腰三角形，因此AC=CG。又因为EF=CG，所以EF=AC。5.已知在三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证∠B=2∠C。解：将AB延长至E点，使得AE=AC，连接DE。因为AD平分∠BAC，所以∠EAD＝∠CAD。又因为AE=AC，AD=AD，所以△AED≌△ACD（SAS）。因此∠E＝∠C。因为AC=AB+BD，所以AE=AB+BD。又因为AE=AB+BE，所以BD=BE，因此∠BDE＝∠E。又因为∠ABC＝∠E+∠BDE，所以∠ABC＝2∠E。因此∠ABC＝2∠C。6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。证明过程如下：在AE上取点F，使EF＝EB，连接CF。因为CE⊥AB，所以∠CEB＝∠CEF＝90°。又因为EB＝EF，CE＝CE，所以△CEB≌△CEF，从而得到∠B＝∠CFE。由于∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°，所以∠D＝∠CFA。因为AC平分∠BAD，所以∠DAC＝∠FAC。由于AC＝AC，所以△ADC≌△AFC（SAS）。因此，AD＝AF，所以AE＝AF＋FE＝AD＋BE。7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。解题思路如下：延长AD到E，使AD=DE。因为D是BC中点，所以BD=DC。在△ACD和△BDE中，有AD=DE，∠BDE=∠ADC，BD=DC，所以△ACD≌△BDE。因此，AC=BE=2。在△ABE中，有AB-BE＜AE＜AB+BE。因为AB=4，所以4-2＜2AD＜4+2，即1＜AD＜3。因此，AD=2。8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD=CB/2。解题过程如下：延长AD到E，使AD=DE。因为D是AB中点，所以BD=DC。在△ACD和△BDE中，有AD=DE，∠BDE=∠ADC，BD=DC，所以△ACD≌△BDE。因此，AC=BE=2。在△ABE中，有AB-BE＜AE＜AB+BE。因为AB=4，所以4-2＜2AD＜4+2，即1＜AD＜3。因此，AD=2。由于∠ACB=90°，所以AC²=AB²-BC²，即2²=4²-BC²，所以BC=√12。因为D是AB中点，所以CD=CB/2，即√12/2=√3。9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2。证明过程如下：连接BF和EF。因为BC=ED，CF=DF，∠BCF=∠EDF，所以三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。因此，BF=EF，∠CBF=∠DEF。连接BE。在三角形BEF中，有BF=EF，所以∠EBF=∠BEF。又因为∠ABC=∠AED，所以∠ABE=∠AEB，即AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，有AB=AE，BF=EF，∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。因此，三角形ABF和三角形AEF全等。因此，∠BAF=∠EAF，即∠1=∠2。10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC。证明过程如下：过C作CG∥EF，交AD的延长线于点G。因为CG∥EF，所以∠EFD＝CGD。因为DE＝DC，所以∠FDE＝∠GDC（对顶角）。因此，△EFD≌△CGD，所以EF=CG。因为EF//AB，所以∠A=∠1=∠2=∠B。因为AC=AB+BC，所以AC=AB+CD+DE。因为CD=DE，所以AC=AB+2CD。因此，AC=AB+2CD=AB+2EF=EF+2AB。因为EF=CG，所以AC=CG+2AB。因为CG=CD+DG=CD+DC/2=3CD/2，所以AC=3CD/2+2AB。因为CD=DE，所以CD=DE=AB/2。因此，AC=3AB/2，即EF=AC。由题意可知，AB=CD且∠A=∠D，因此△ABD≌△DCB（SAS），得到BD=BC。又因为AB∥CD，所以∠B+∠C=180°。假设∠B>∠C，则BD>BC，与BD=BC矛盾。因此，假设不成立，得证∠B=∠C。20.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D。要证明AD+BC=AB。解法：首先在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线，所以三角形FAB为等腰三角形，AB=AF。又因为BE=EF，所以三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，因此DF=BC，从而得到AB=AD+DF=AD+BC。21.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，要证明∠C=2∠B。解法：首先延长AC到E，使AE=AC，连接ED，可得CD=CE。因为△CDE为等腰三角形，所以∠CED=∠CDE。又因为AD是∠CAB的平分线，所以∠CAD=∠BAD=∠BAC/2，从而得到∠AED=∠BAC/2。因为AE=AC，所以∠AEC=∠ACB，而∠CED=∠CDE，因此∠B=∠E。由△ABC中的角度关系可得∠C=2∠ACB=2∠B。22.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M。要证明MB=MD，ME=MF。解法：首先连接BE、DF。因为DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，所以∠DEC=∠BFA=90°，又因为AB=CD，AF=CE，所以Rt△DEC≌Rt△BFA，因此DE=BF。于是四边形BEDF是平行四边形，从而得到MB=MD，ME=MF。对于图②的情况，同样可以得到DE=BF，因此四边形BEDF是平行四边形，从而仍然有MB=MD，ME=MF。因此上述结论在图②的情况下依然成立。求证：MD=ND．证明：由于AC=BC，且∠ACB=90°，所以△ABC是一个等腰直角三角形，即AB=BC.又因为AD⊥MN，所以∠ADM=∠NDM=90°.因此，在△ADM和△NDM中，∠DAM=∠DMN，AD=AD，MD=MD.而∠NDM=∠DAN，因为∠DAB=∠ACB=90°，所以∠DAN=∠DAB+∠BAN=∠ACB+∠BAN=∠NAC.因此，∠NDM=∠NAC，且DM=DN.综上所述，MD=ND.，BC=EF，∴△ABF≌△CDE（SAS）。∴∠BFA=∠CED，∠BFE=∠CDE，∠BAF=∠EDC，∴∠BFE+∠BAF=∠CDE+∠EDC，即∠AFE=∠DEC．∵AB=DE，AF=CD，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF=CE．又因为∠BFE=∠CDE=90°，∴BF∥CE∥EF．DFB中，∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°；RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°，而∠AFB=90°-∠FBA>45°，因此AB>AF。由于AB=CE，AF=DE，所以CE>DE。证明：AB=DC,AC=DB，BC=BC，因此△ABC≌△DCB。又因为BE=CE，AB=DC，所以△ABE≌△DCE，从而AE=DE。如图9所示，作CG⊥AB，交AD于H，