赣州市重点中学2022-2023学年高二数学第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，记项的系数为，则＋＋＋＝()A．45 B．60 C．120 D．2102．复数z满足z⋅i=1+2i(iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（）A． B． C． D．4．设，函数的导函数是，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（）A． B． C． D．5．设随机变量服从分布，且，，则（）A．， B．，C．， D．，6．已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（）A． B． C． D．7．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种 B．24种 C．48种 D．36种8．执行下面的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件是（）A． B． C． D．9．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（）A． B． C． D．10．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（）A． B． C． D．11．展开式的常数项为（）A．112 B．48 C．-112 D．-4812．已知平面，，直线，满足，，则下列是的充分条件是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设每门高射炮命中飞机的概率为，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少的概率命中它．14．已知对任意正实数，都有，类比可得对任意正实数都有_______________．15．已知函数,,,且，则不等式的解集为__________.16．复数(为虚数单位)的共轭复数为，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了111名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于41分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为"体育迷"与性别有关．性别非体育迷体育迷总计男女1144总计下面的临界值表供参考：1．141．111．141．241．1111．1141．111k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(参考公式：，其中)（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列､期望和方差．18．（12分）已知函数.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若,对任意都有恒成立,求实数的取值范围.19．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求的分布列（结果用数字表示）；（2）求所选3个中最多有1名女生的概率．20．（12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．21．（12分）如图所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．22．（10分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）分数[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150]甲班频数1145432乙班频数0112664（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95％以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？甲班乙班总计成绩优秀成绩不优秀总计（2）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：，其中．临界值表P（）0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．【详解】（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：=1．f（3，0）=1；含x2y1的系数是=60，f（2，1）=60；含x1y2的系数是=36，f（1，2）=36；含x0y3的系数是=4，f（0，3）=4；∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=11．故选C．【点睛】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．2、D【解析】

利用复数的四则运算法则，可求出z=1+2ii【详解】由题意，z=1+2ii=1+2【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题.3、C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．4、C【解析】

先由求导公式求出，根据偶函数的性质求出，然后利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程．【详解】，因为是偶函数，所以，即解得，所以，，则，所以切线方程为故选C【点睛】本题主要考查利用导函数求曲线上一点的切线方程，属于基础题．5、A【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组，注意两个方程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出P的值，再求出n的值，得到结果.详解：随机变量服从分布，且，，①②即可求得，.故选：A点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个比较好的题目，技巧性比较强.6、A【解析】

先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.【详解】的可能取值为.表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.所以.故选A.【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.7、C【解析】

将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘即可得出结论．【详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列，再考虑甲乙顺序为，故共种站法.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.8、C【解析】

根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得出答案.【详解】解：当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，满足输出结果为，故进行循环的条件，应为：.故选：C.【点睛】本题考查程序框图的应用，属于基础题.9、C【解析】

作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．【详解】如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD1＝BN1+DN1﹣1BN•DN•cos∠BND，则BD＝1．故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故．因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．故选：C．【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．10、D【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为，选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.11、D【解析】

把按照二项式定理展开，可得的展开式的常数项．【详解】由于故展开式的常数项为，故选D．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.12、D【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案.【详解】当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，不能得到，错误；当，时，则，充分性；当时，，故，与关系不确定，故不必要，正确；故选：.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设需要门高射炮，由题意得出，解出的取值范围，可得出正整数的最小值.【详解】设需要门高射炮，则命不中的概率为，由题意得出，得，解得，而，因此，至少需要门高射炮.故答案为：.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.14、.【解析】分析：根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可.详解：由任意正实数，都有，推广到则.故答案为点睛：考查推理证明中的类比，解此类题型只需按照原题规律写出即可，属于基础题.15、【解析】分析：根据条件，构造函数，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集.详解：由则，构造函数，则，当时，，即函数在上单调递减，则不等式等价于，即，则，故不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.16、2【解析】

根据直接求解即可.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查复数模的求解，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2×2列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）分布列见解析，，．【解析】

（1）先根据频率分布直方图计算出“体育迷”的人数，结合2×2列联表中的数据可得表中其他数据，最后根据公式计算出的观测值，再依据临界值表给出判断.（2）利用二项分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.【详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的111人中“体育迷”有(人)．由独立性检验的知识得2×2列联表如下：性别非体育迷体育迷总计男311444女441144总计6424111将2×2列联表中的数据代入公式计算，得的观测值．所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为．由题意知，∴，从而X的分布列为：1123由二项分布的期望与方差公式得，.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、独立性检验，还考查了离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，在计算离散型随机变量的分布列时，要借助于常见分布如二项分布、超几何分布等来简化计算，本题属于中档题.18、(Ⅰ)(−∞,−5)∪（1,+∞)；(Ⅱ)(0,6]【解析】

(Ⅰ)由题知当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义能求出不等式的解集．

(Ⅱ)由,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可，转化成函数最值问题建立不等关系式，由此能求出a的取值范围．【详解】(Ⅰ)∵函数，∴当a=−1时,不等式等价于|x+3|+|x+1|>6，根据绝对值的几何意义：|x+3|+|x+1|>6可以看作数轴上的点x到点−3和点−1的距离之和大于6，则点x到点−3和点−1的中点O的距离大于3即可，∴点x在−5或其左边及1或其右边，即x<−5或x>1.∴不等式的解集为(−∞,−5)∪（1,+∞).(Ⅱ)∵,对任意都有，只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.由可得，，设，根据二次函数性质，，∴，解得，又，∴∴a的取值范围是(0,6].【点睛】本题考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法：(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.19、（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由于总共只有2名女生，因此随机变量的取值只能为0,1，2，计算概率为，可写出分布列；（2）显然事件是互斥的，因此．试题解析：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2，的分布列为：012（2）由（1）知所选3人中最多有一名女生的概率为：．考点：随机变量分布列，互斥事件的概率．20、（1）5.3155；（5）6.5.【解析】试题分析：第一问根据频率公式求得a=0.5,b=0.3，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为0.5，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首