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三维问题的复杂性:变量和方程多,无系统性的一般有效解法,需根据问题具体分析.如柱体扭曲,壳体问题,球体问题等,很多采用数值方法求解其中球体问题在地学中应用广泛:研究地球的自由震荡,固体潮,以及地球内部应力分布等弹性力学问题求解—三维问题三维问题的复杂性:其中球体问题在地学中应用广泛:弹性力学问题17.1柱坐标系下弹性问题的基本公式与极坐标系下的方程对比.7.1柱坐标系下弹性问题的基本公式与极坐标系下的方程对比.2与直角坐标以及极坐标系下的方程一致.即胡克定律的形式与坐标系无关.与直角坐标以及极坐标系下的方程一致.3与极坐标系下的方程对比.与极坐标系下的方程对比.47.2球坐标系下弹性问题的基本公式7.2球坐标系下弹性问题的基本公式5物理方程与坐标系无关物理方程与坐标系无关6弹性力学问题求解-—-三维问题课件77.3球谐函数的定义和物理意义球谐函数与三角函数的对比蓝色为正,黄色为负,离远点的距离代表函数的数值7.3球谐函数的定义和物理意义球谐函数与三角函数的对比蓝色8球坐标系下的拉普拉斯方程(调和函数)为:分离变量,令:得到两个公式:对第二个公式，再次分离变量，令:球坐标系下的拉普拉斯方程(调和函数)为:分离变量,令:得到两9得到:方程的解给出:m

为整数;l

为非负整数，并且得到:方程的解给出:m为整数;l为非负整数，并且10最后得:其中为伴随勒让德多项式，满足勒让德方程表达式为最后得:其中为伴随勒让11勒让德多项式的图形：勒让德多项式的图形：12的图形:的图形:13一度地幔对流与二度地幔对流[Zhongetal.,2007]一度地幔对流与二度地幔对流[Zhongetal.,14对于球面上的任一函数，可以展开为：其中：对于球面上的任一函数，可以展开为：其中：157.4球对称情况下问题的简化例1：密度均匀的地球，在本身万有引力作用下应力的分布。（忽略日月的引力和自转引起的离心力）当球体受球对称外力和体力作用时，问题得到大大简化位移，应力，应变都只是r的函数7.4球对称情况下问题的简化例1：密度均匀的地球，在本身万16弹性力学问题求解-—-三维问题课件17弹性力学问题求解-—-三维问题课件18因为位移只是r的函数，得：即因为位移只是r的函数，得：即19并记：则对前式积分得：并记：则对前式积分得：20需要将位移表示为应力。需要将位移表示为应力。21再根据胡克定律：得：再根据胡克定律：得：22得到球体内的应力分布为：得到球体内的应力分布为：23例2：地壳在地球万有引力作用下其内部的应力分布由上面的例子，换一种表达形式，例2：地壳在地球万有引力作用下其内部的应力分布由上面的例子，24方程的解为，应变为，应力为，

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