2022-2023学年江苏省南通市南郊中学高三数学理上学期摸底试题含解析

2022-2023学年江苏省南通市南郊中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,，，则为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B2.若，则下列结论正确的是（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＜0 D．cos2α＜0参考答案：D【考点】正切函数的图象．【分析】先求得α的范围，可得2α的范围，再根据三角函数在各个象限中的符号，得出结论．【解答】解：，等价于kπ﹣＜α+＜kπ，等价于kπ﹣＜α＜kπ﹣，等价于，∴cos2α＜0，故选：D．3.已知，则=

A. B.C. D.参考答案：C略4.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C5.函数的零点个数为

（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B6.已知（

）A.3

B.1

C.

D.参考答案：Ｃ7.如图是将二进制数化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是（

）

参考答案：A略8.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A.若

B.

C.

D.参考答案：【知识点】空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系

G3

G4

G5【答案解析】B

解析：若则平面可能相交，此时交线与平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线mβ，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B【思路点拨】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．9.设=（

）（A）

（B）（－1，1）（C）

（D）参考答案：D10.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图像向左平移个单位，得到了一个偶函数的图像，则的最小值为

.参考答案：12.对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为

.参考答案：13.已知双曲线C:与抛物线y2=8x有公共的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C的离心率为2，则|MF|=_____.参考答案：略14.函数的图像在点处的切线与轴的交点的横坐标为，其中，若的值是

。参考答案：21略15.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为

;

参考答案：16.已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为

．参考答案：【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．17.(几何证明选讲选做题)如图3，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，，则BD等于

.参考答案：6由得又三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分，附加题满分4分）（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（II）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（III）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪栟成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等。请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。

参考答案：解析：（I）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．（II）依上面剪拼方法，有．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为．现在计算它们的高：，．所以．（III）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．

19.已知公差为的等差数列，0＜＜，0＜＜，其前项和为，若，。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和。参考答案：.解：（1）∵，∴，∴，

∵0＜＜，0＜＜，∴0＜＜，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，∴

，∴数列的通项公式为。（2）∵，∴，

∴①，

②，

①－②得

=，

∴。20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答： 解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21.已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，数列{an}的前n项和为Sn.（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）令（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用等差数列的通项公式列,的方程组求解再求前n项和公式即可得出．（2）变形，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列的公差为d,∵,,∴,解得,,∴;.（2）,