8.6.3平面与平面垂直++讲义 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定一、知识要点问题1：平面几何中的“角”是如何定义的？角的范围？问题2：立体几何中，“异面直线所成角”是怎样定义的？角的范围？问题3：立体几何中，“直线和平面所成角”又是怎样定义的？角的范围？★二面角：随手打开一本书,发现每两页书之间所在的平面都形成一个角度;修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度.问题1:根据上述问题,你发现两平面形成的角有何特点?答案可以是锐角、钝角、直角、平角.问题2:两平面所成角θ的范围是什么?答案0°≤θ≤180°.问题3:二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?答案无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.二面角的记法：二面角的记法:二面角或或或P-AB-Q.二面角的画法：二面角的平面角：我们规定：在二面角α−l−β的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB

叫做二面角的平面角。注意：①平面角是直角的二面角叫做直二面角；②二面角的平面角取值范围是0°≤θ≤180°基础巩固：1、下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A.①③B.②④C.③④D.①②2、若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.关系无法确定例1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于________．例2.如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的大小；(2)求二面角B－PA－C的平面角的大小．总结：关键：作二面角的关键是“垂线”,即从一个半平面上一点作另一个半平面的垂线,或者先证明已有的直线与另一个半平面垂直,再作平面角.步骤：“一作二证三求”提醒：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手[练习1]如图，在四面体PABC中，△ABC与△PBC是边长为2的正三角形，PA＝3，D为PA的中点，求二面角D－BC－A的大小．★任务2:面面垂直的判定定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.建筑工地上,泥水匠砌墙时,为了保证墙面与地面垂直,泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线,再沿着该线砌墙,如图,这样就能保证墙面与地面垂直..问题1:由上述可知,当直线与平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系?问题2:若要判断两个平面是否垂直,根据上述问题能否得出一个方法?答案可以,只需在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面即可.归纳面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。符号语言：简记为：线面垂直⇒面面垂直例1(链接教材第158页例7、例8)如图所示，在四面体A--BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.例2:如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，求证:平面A’BD⊥平面ACC′A′例3:如图所示，AB是⨀O的直径，PA垂直于⨀O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC.总结：面面垂直证明的步骤与关键关键：在利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择.巩固练习1：如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,∠BCD=120°,平面PCD⊥平面ABCD,PC=a,PD=2a,E为PA的中点.求证:平面EDB⊥平面ABCD.巩固练习2：如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面SAB⊥底面ABCD,BC=3,AD=1,M是棱SB上靠近点S的一个三等分点.求证:平面SBC⊥平面SAB;第2课时平面与平面垂直的性质面面角→面面垂直定义→面面垂直的判定→面面垂直的性质如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系.探究如图，设平面α⊥平面β，α∩β=a，则β内任意一条直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？为什么？由此我们得到平面与平面垂直的性质定理:定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面交线，那么这条直线与另一个平面垂直.简记为：面面垂直⇒线面垂直解释：装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.例1求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个的平面内.对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论?例2如图，已知平面∝⊥平面β，直线a满足a⊥β，a⫁，试判断直线a与平面∝的位置关系.巩固练习：1、已知m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：(1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.其中正确的命题为()A.(1)(2)B.(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)巩固练习：2、若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC.若m⊥β，m∥α，则α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ例3如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAB．变式1如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，AF⊥PC于F.求证：AF⊥平面PBC.变式2如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、CD的中点