将教材中的“思考”再思考

精品文档-下载后可编辑将教材中的“思考”再思考苏教版教材必修4中第69页的“思考:平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系。”引起了我的关注。

向量共线定理:如果有一个实数?姿,使■=?姿■(■≠■),那么■与■是共线向量;反之,如果■与■(■≠■)是共线向量,那么有且只有一个实数?姿,使■=?姿■。

平面向量基本定理:如果■1,■2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这平面内的任一向量■,有且只有一对实数?姿1,?姿2,使■=?姿1■1+?姿2■2。

这两个定理在高考中的考试要求都是B级,而且在整个章节有重要的地位。共线定理是学习平面向量基本定理的基础(平面向量基本定理中的),平面向量的正交分解是向量坐标表示的基础,向量坐标形式是学习向量知识的又一有利工具,彼此联系紧密。

现将教材中“思考”展示如下:

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(1)平面向量基本定理是由共线向量定理推广得到的。这可以从例题、习题中找到答案。即教材第65页的例4、第64页的练习4(已知■和■是不共线向量,■=t■试用■和■表示■。借助物理知识(力的分解与合成)以及向量的“形”就不难理解共线定理是平面向量基本定理的基础了。

(2)两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“唯一性”定理。

这两个定理到底还有什么可以思考的地方?

思考1:这两个定理为什么都“惜字如金”?

“向量共线定理”会被说成“平面向量共线定理”,这是因为学习背景是平面向量。其实这定理在空间向量中也成立,它是为后继的空间向量的学习埋下伏笔。

平面向量基本定理中“■1,■2是同一平面内两个不共线的向量”易被说成“■1,■2是同一平面内两个非零的不共线的向量”,这表达易受向量共线定理中■为非零向量影响。还有一个原因是不共线的两个向量肯定是非零向量(如果有零向量,则两个向量必共线),因此不需画蛇添足。

思考2:共线定理中为什么要强调■≠■?

如果■=■,则■=?姿■=■,此时实系数?姿∈R,则体现不了定理中的“唯一性”。

思考3:平面向量基本定理中的■1,■2为什么强调在同一平面内不共线?

若■1,■2共线,则有两种情况:

(1)其中有一个为零向量,不妨设■2=■,则■=?姿1■1,则■,■1共线,又■与任意向量共线,则■,■1,■2共线。

(2)两者都为非零向量,不妨设■2=k■1,则■=?姿1■1+?姿2■2=(?姿1+k?姿2)■1,则■,■1共线,又■1,■2非零向量共线,则■,■1,■2共线。

也就是说若■1,■2共线,则平面向量基本定理的表达式就是将向量共线的表达式复杂化,不可取。

思考4:平面向量基本定理中若■=■,则■=?姿1■1+?姿2■2中实系数?姿1,?姿2的值分别是多少?

答案很明显?姿1=?姿2=0

我们可以从教材中找到答案——67页第9题。即证明:(1)如果存在不全为0的实数s,t,使得s■+t■=■,那么■与■是共线向量;(2)如果■与■不共线,且s■+t■=■,那么s=t=0。

分析:(1)综合法证明:不妨设s≠0,则■=-■■,所以■与■是共线向量。

(2)反证法证明:假设s,t不全为0,由s■+t■=■,知■与■是共线向量,这与已知■,■不共线矛盾,所以s=t=0。

此结论在教材中润物细无声地被运用。譬如:87页第13题已知■1,■2是两个不共线的向量,■=2■1-■2,■=k■1+■2,若■与■是共线向量,求实数k的值。

解析:因为■与■是共线向量,所以设实数?姿,使■=?姿■(■≠■),则k■1+■2=?姿(2■1-■2)

方法一:(待定系数法)k=2?姿1=-?姿得k=-2;

方法二:(用结论)将k■1+■2=?姿(2■1-■2)整理得(k-2?姿)■1+(1+?姿)■2=■得k-2?姿=1+?姿=0,所以k=-2。

此结论在试题中抛头露面了。譬如:设G是ABC的重心,且(56sinA)■+(40sinB)■+(35sinC)■=■,则角B的大小为■。

分析:此题综合性比较强,经分析我们可以从以下两种方法获得:

方法一、设G是ABC的重心,则在ABC中■+■+■=■,待定系数法得56sinA:40sinB:35sinC=1:1:1由正弦定理的56a:40b:35c=1:1:1,则56a=40b=35c,不妨设a=5,b=7,c=8,由余弦定理得cosB=■,则B■。

方法二、设G是ABC的重心,则在ABC中■+■+■=■,则■+■=-■,代入等式化简得(56sinA-35sinC)■+(40sinB-35sinC)■=■,由于■,■为不共线向量,则56sinA-35sinC=40sinB-35sinC=0,则得56sinA:40sinB:35sinC=1:1:1,下面同上。

思考5:学生对“平面向量基本定理”的运用为什么没有像“向量共线定理”那么娴熟?

下面举一例说明:教材第67页第8题如图1,设P,Q是线段AB的三等分点,若■=■,■=■试用■,■表示向量■,■。

这题对于学生来说没有难度,下面我们通过变式感受一下学生的困难。

变式:如图2,设AB=3AP,OB=3OQ,AQ与OP交与点H,若■=■,■=■,试用■,■表示向量■。

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解析:■=x■(■,■共线)

=x(■+■)(在AOP中)

=x■+x·■■(■,■共线)

=x■+■x(■-■)(在OAB中)

=■x■+■x■

■=■+■(在OQH中)

=■O■+yO■(■,■;■,■共线)

=■O■+y(O■-O■)(在OAQ中)

=■O■+y(O■-■O■)(■,■共线)

=y■+(■-■y)■

由■x■+■x■=y■+(■-■y)■可得x=■,则O■=■■+■■

将这两组式子比较可以得到,整个