九年级数学上册第二十二章《二次函数》课件

22.1.1二次函数第二十二章二次函数22.1.1二次函数第二十二章二次函数1学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2.会利用二次函数的概念解决问题.3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）学习目标1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）2雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？导入新课情境引入雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线31.什么叫函数?

一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.3.一元二次方程的一般形式是什么？

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0

时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.2.什么是一次函数？正比例函数？ax2+bx+c=0(a≠0)1.什么叫函数?一般地，在一个变化的过程中，如果有两个4问题1

正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为

x，表面积为y，则y

关于x的关系式为

.

y=6x2

此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.讲授新课二次函数的定义一探究归纳问题1正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面5问题2

n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个球队n要与其他

个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以比赛的场次数

.n-1答：此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数.问题2n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场6问题3

某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？分析：这种产品的原产量是20件,一年后的产量是

件,再经过一年后的产量是

件,即两年后的产量y=________.20(1+x)20(1+x)220(1+x)2答：y=20x2+40x+20；此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.问题3某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年7问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用自变量的二次整式表示的

y=6x2

想一想y=20x2+40x+20问题1-3中函数关系式有什么共同点?函数都是用y=6x28二次函数的定义：

形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.温馨提示：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（2）a,b,c为常数，且a≠0;（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.归纳总结二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c(a,b,9例1

下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）①

y=ax2+bx+c

②

s=3-2t²③y=x2

④

⑤y=x²+x³+25

⑥y=(x+3)²-x²不一定是，缺少a≠0的条件.不是，右边是分式.不是，x的最高次数是3.y=6x+9典例精析例1下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）不一10

判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.方法归纳判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化11

想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a

≠0；(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.想一想:二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一12二次函数定义的应用二例2

（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是二次函数？解：（1）由题可知,解得（2）由题可知,解得m=3.

第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.注意二次函数定义的应用二例2解：（13

1.已知:，k取什么值时，y是x的二次函数？解：当=2且k+2≠0，即k=-2时,y是x的二次函数.变式训练解：由题意得：∴m≠±31.已知:14解：由题意得：

【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.解：由题意得：【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概15例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；例3：某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最16(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．解：由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．所以，该产品的质量档次为第6档．【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品17思考：1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400,自变量x的取值范围是什么？2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.思考：2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x218二次函数的值三例4

一个二次函数.（1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？解：（1）由题意，得解得将x=0.5代入函数关系式.

（2）当k=2时，二次函数的值三例4一个二次函数19

此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.归纳总结此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及20当堂练习2.函数y=(m-n)x2+mx+n

是二次函数的条件是()A.

m,n是常数,且m≠0

B.

m,n是常数,且n≠0C.

m,n是常数,且m≠nD.

m,n为任何实数C1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为

.3．下列函数是二次函数的是()A．y＝2x＋1B．C．y＝3x2＋1D．C-3x2-1612当堂练习2.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数214.已知函数y=3x2m-1－5

①当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；②当m=＿＿时，y是关于x的反比例函数；③当m=＿＿时，y是关于x的二次函数.104.已知函数y=3x2m-1－510225.若函数是二次函数，求：（1）求a的值.(2)求函数关系式.（3）当x=-2时，y的值是多少？解：（1）由题意，得解得（2）当a=-1时，函数关系式为.（3）将x=-2代入函数关系式中，有

5.若函数是二次函数，求236.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系．6.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数247.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）

7.某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析258.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x(0＜x＜8)；(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15cm2.8.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（26课堂小结二次函数定义y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数）一般形式右边是整式；自变量的指数是2；二次项系数a≠0.特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a,b,c是常数）.课堂小结二次函数定义y=ax2+bx+c(a≠0，a27第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质第二十二章二次函数22.1.2二次函数y=ax2的图象28学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点.（难点）3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.（难点）学习目标1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）29导入新课情境引入导入新课情境引入30讲授新课二次函数y=ax2的图象一x…-3-2-10123…y=x2…

…

例1

画出二次函数y=x2的图象.9410194典例精析1.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：讲授新课二次函数y=ax2的图象一x…-3-2-10123…3124-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）

3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．24-2-4o369xy2.描点：根据表中x,y的数值在坐32-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy

二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.-33o369当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：xy33练一练：画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-9xx…-3-2-10123…y=-x2…-9

-4

-1

0

-1

-4

-9

…

练一练：画出函数y=-x2的图象.y24-2-40-3-6-34

根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.xoy=x2议一议1.y＝x2是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最低点．y根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x235说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy=-x21.y＝-x2是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流.oxyy361.顶点都在原点;3.当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下．二次函数y=ax2

的图象性质：知识要点2.图像关于y轴对称;1.顶点都在原点;3.当a>0时，开口向上；二次函数y=37

观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.xyOy=ax2y=-ax2交流讨论观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞038二二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)二二次函数y=ax2的性质问题1：观察图形，y随x的变化如何39对于抛物线

y=ax2（a＞0）当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.知识要点对于抛物线y=ax2（a＞0）知识要点40(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)问题2：41对于抛物线

y=ax2（a＜0）当x＞0时，y随x取值的增大而减小；当x<0时，y随x取值的增大而增大.知识要点对于抛物线y=ax2（a＜0）知识要点42解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5例2

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．解：分别填表，再画出它们的图象，如图x···－4－3－2－143xyO-222464-48思考1：从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？当a>0时，a越大，开口越小.xyO-222464-48思考1：从二次函数44练一练：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···－4－3－2－101234·········x···－2－1.5－1－0.500.511.52·········-8-4.5-2-0.50-8-4.5-2-0.5-8-4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5练一练：在同一直角坐标系中，画出函数45xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.思考2

从二次函数开口大小与a的大小有什么关系？对于抛物线

y=ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．xyO－22－2－4－64－4－8当a<0时，a越小（即a的46y＝ax2a>0a<0图象位置开口方向对称性顶点最值增减性开口向上,在x轴上方开口向下,在x轴下方a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴是直线x＝0顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减知识要点yOxyOxy＝ax2a>0a<0图象位置开对称性顶点最值增减性开口向上473.函数y=

x2的图象的开口

,对称轴是

,

顶点是

;顶点是抛物线的最

点2.函数y=－3x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

顶点是抛物线的最

点1.函数y=4x2的图象的开口

,对称轴是

,顶点是

;

向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)4.函数y=－0.2x2的图象的开口

,对称轴是___,顶点是

;向上y轴(0,0)向下y轴(0,0)高低练一练3.函数y=x2的图象的开口,对48例1已知y=(m+1)x

是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式m2+m解:依题意有:m+1>0①m2+m=2②解②得:m1=－2,m2=1由①得:m>－1∴m=1此时,二次函数为:y=2x2.典例精析例1已知y=(m+1)x是二次函数,且其49例2：已知二次函数y=x2．（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？典例精析例2：已知二次函数y=x2．典例精析50（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；

（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？解：（1）当x=51（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？当x=－2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=－x2=－4，所以B点在二次函数y=－x2的图象上；当x=－2时，y=－x2=－4，所以D点在二次函数y=－x2的图象上．（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y52已知

是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=

.分析：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0.因此，解得k=22练一练已知是二次函数，且当x＞053例3.已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<例3.已知二次函数y＝2x2.<54(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，

∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，

∴OA＝OB，

∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，55

二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．方法总结二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部56当堂练习

1.函数y=2x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧，y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.

2.函数y=-3x2的图象的开口

,对称轴

,顶点是

;在对称轴的左侧,y随x的增大而

,在对称轴的右侧,y随x的增大而

.向上向下y轴y轴(0,0)(0,0)减小减小增大增大xxyyOO当堂练习1.函数y=2x2的图象的开口57

3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值范围是

.xyk>14.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：开口方向对称轴顶点向上向下向下向上y轴y轴y轴y轴（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）O3.如右图，观察函数y=（k-1）x2的图象,则k的取值58

5.若抛物线y=ax2（a

≠0），过点（-1，2）.

（1）则a的值是

；

（2）对称轴是

，开口

.

（3）顶点坐标是

，顶点是抛物线上的最

值.抛物线在x轴的

方（除顶点外）.(4)若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0,

则y1

y2.2y轴向上（0,0）小上>5.若抛物线y=ax2（a≠0），过点（-1，2）59

6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．解：∵二次函数y=x2，∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数607.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．解：由题意得解得所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两61课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中心对称取点图象抛物线轴对称图形性质重点关注4个方面开口方向及大小对称轴顶点坐标增减性课堂小结二次函数y=ax2的图象及性质画法描点法以对称轴为中6222.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章二次函数第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的第二十二章二63学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）3.理解y=ax²与y=ax²+k之间的联系.（重点）学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）64这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy导入新课这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy导入新课65二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)一做一做：画出二次函数y=2x²,y=2x2+1

，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.x…–1.5–1–0.500.511.5…y=2x2+1……y=2x2…4.520.500.524.5…y=2x2-1……3.51-0.51-0.5-13.55.51.531.5135.5讲授新课二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)一做一做：画出二66xyO

－222464－48y=2x2+1y=2x2y=2x2-1观察上述图象，说说它有哪些特征.xyO－222464－48y=2x2+1y=2x67探究归纳解：先列表：x···－3－2－10123···············例1

在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．探究归纳解：先列表：x···－3－2－10123······68xy-4-3-2-1o1234123456描点、连线，画出这两个函数的图象xy-4-3-2-1o1234123456描点、连线，画出这69观察与思考

抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)的性质是什么？观察与思考抛物线，的开口方70y-2-2422-4x0二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)二做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：y-2-2422-4x0二次函数y=ax2+k的图象和性质(71根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是

.(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4)从上而下顶点坐标分别是

_____________________抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)根据图象回答下列问题:抛物线向下直线x=0(0,0)(072(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________高大y=0y=-2y=2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最73二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.知识要点二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质y=ax2+ka＞74例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x75解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表x……y=2x2-1……y=2x2……y=2x2+1……4.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,

)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移三2x2+1解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标764xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1可以发现，把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线

；把抛物线y=2x2向

平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.

下y=2x2+1上从形的角度探究4xyO－22246－4810－2y=2x2＋1y=77二次函数y=ax2+k的图象可以由

y=ax2

的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移-k个单位长度得到.二次函数y=ax2

与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.知识要点二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得78二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(

)A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.练一练D二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()解析：二次函数y＝79想一想

1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？2.抛物线y=ax2+k

中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k

︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.想一想2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的80例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛81当堂练习1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线

．

2.填表：y=2x2－４函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=３x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点当堂练习1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物2.823.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k

.在=2>2<23.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-835.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x

时，

y随x的增大而减小；当x

时，函数y有最大值，最大值y是

，其图象与y轴的交点坐标是

，与x轴的交点坐标是

.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.>0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：846.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(

)方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．D6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝a85能力提升7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.2-28能力提升2-2886二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系开口方向由a的符号决定；k决定顶点位置；对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.课堂小结二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=a8722.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章二次函数第2课时二次函数y=a（x-h)2的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的第二十二章二88情境引入学习目标1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（重点）2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.(难点）3.比较函数y=ax2与y=a(x-h)2的联系.情境引入学习目标1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.（89导入新课复习引入导入新课复习引入90a,c的符号a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<0,c<0图象开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0,c）（0,c）当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c问题1

说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.a,c的符号a>0,c>0a>0,c<0a<0,c>0a<091问题2

二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有何关系？答：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2(a≠0)

的图象平移得到：当k>0时，向上平移c个单位长度得到.当k<0时，向下平移-c个单位长度得到.

问题3

函数的图象，能否也可以由函数平移得到？问题2二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax292讲授新课二次函数y=a(x-h)2的图象和性质一互动探究引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数与的图象．解：先列表：x···－3－2－10123···············讲授新课二次函数y=a(x-h)2的图象和性质一互动探究引例93xy-4-3-2-1o1234123456描点、连线，画出这两个函数的图象xy-4-3-2-1o1234123456描点、连线，画出这94抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴x=2(0,0)(2,0)根据所画图象，填写下表：想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上向上y轴x=2(0,0)(295试一试：画出二次函数的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．x···－3－2－10123···············－2－4.5－200－2－2－22－2－4－64－4－4.50xy－8试一试：画出二次函数96xyO－22－2－4－64－4抛物线开口方向对称轴顶点坐标向下直线x=-1(-1,0)直线x=0直线x=1向下向下(0,0)(1,0)xyO－22－2－4－64－4抛物线开口方向对称轴顶点坐标向97二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的性质

y=a(x-h)2a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标（h,0）（h,0）最值当x=h时，y最小值=0当x=h时，y最大值=0增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.知识要点二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的性质y=a(x98若抛物线y＝3(x＋)2的图象上的三个点，A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y＝3(x＋)2的对称轴为x＝－，a＝3＞0，∴x＜－时，y随x的增大而减小；x＞－时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(，y1)．∵－1＜0＜，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.练一练y2＜y3＜y1若抛物线y＝3(x＋)2的图象上的三个点，A(－399向右平移1个单位二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系二想一想抛物线，与抛物线有什么关系？xyO－22－2－4－64－4向左平移1个单位向右平移二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系二想一想100知识要点二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2

的图象的关系可以看作互相平移得到.左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.y=a(x-h)2当向左平移︱h︱

时y=a(x+h)2当向右平移︱h︱

时y=ax2知识要点二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2的图象101例1.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，，∴平移后二次函数关系式为y＝(x－3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．例1.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)102将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(

)A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.练一练C将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(1031.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是

.2.二次函数y=2(x-)2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.3.若（-，y1）（-，y2）（，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1

，y2

，y3的大小关系为_______________.当堂练习

y=-(x+3)2或y=-(x-3)2

y1

＞y2

＞y31.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移104

4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.抛物线开口方向对称轴顶点坐标向上直线x=3(3,0)直线x=2直线x=1向下向上(2,0)(1,0)4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.抛物线开1055.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．解：图象如图.函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.yOx

y=2x2

25.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的106

复习y=ax2+k探索y=a(x-h)2的图象及性质图象的画法图象的特征描点法平移法开口方向顶点坐标对称轴平移关系直线x=h（h,0）a>0,开口向上a<0,开口向下y=ax2课堂小结平移规律：括号内：左加右减；括号外不变.复习y=ax2+k探索y=a(x-h)2的图象及性质图象的10722.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第二十二章二次函数第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的第二十二章二108学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.(重点）3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2

(a≠0)之间的联系.（难点）学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0109导入新课复习引入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:(1)y=ax2(2)y=ax2+k(3)y=a(x-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO导入新课复习引入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点1102.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值？3.把y=-2x2的图像向上平移3个单位y=-2x2+3向左平移2个单位y=-2(x+2)24.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？

2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、3.把y111OXy3-2Oy3-2XOXy3-2Oy3-2X112讲授新课二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质一例1

画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.探究归纳讲授新课二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质一例1画113…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.512345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=－1开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-114试一试

画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下；对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-424试一试开口方向向下；-22xyO-2468-424115二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的性质

y=a(x-h)2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标（h,k）（h,k）最值当x=h时，y最小值=k当x=h时，y最大值=k增减性当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.知识要点二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的性质y=a116顶点式顶点式117例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(

)解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.典例精析A例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一118例2.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．(1)求a的值；(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1；(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，

∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；例2.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，119方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．方法二：方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数120例3

要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?例3要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在121C(3,0)B(1，3)

AxOy123123解:如图建立直角坐标系,

点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.

因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0)，∴0=a(3－1)2＋3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x－1)2＋3(0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=－y=(x－1)2＋3(0≤x≤3)34－C(3,0)B(1，3)AxOy123123解:如图建122向左平移1个单位二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系二12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10探究归纳怎样移动抛物线就可以得到抛物线？平移方法1向下平移1个单位向左平移二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系二112312345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10怎样移动抛物线就可以得到抛物线？平移方法2向左平移1个单位向下平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-124二次函数y=ax2

与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k

y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为：上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减.二次项系数a不变.要点归纳二次函数y=ax2与y=a（x-h)2+k的关系可以看作互1251.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.练一练1.请回答抛物线y=4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2126当堂练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,－2)向下向下(3,7)(2,－6)向上直线x=－3直线x=1直线x=3直线x=2(－3,5)y=－3(x－1)2－2y=4(x－3)2＋7y=－5(2－x)2－61.完成下列表格:当堂练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+51272.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线是___________________.

4.抛物线y=-3(x-1)