2022-2023学年福建省连城县高一下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省连城县高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．若复数，则的共轭复数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的乘法运算化简复数z，结合共轭复数的定义可得共轭复数.【详解】，则的共轭复数．故选：B.2．已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的坐标，根据向量的垂直的坐标表示列式计算，可得答案.【详解】由题意得，，且，所以，所以，故选：D3．已知外接圆的周长为，，则（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理可求的长度.【详解】因为外接圆的周长为，所以外接圆的半径为2，则根据正弦定理可得，解得．故选：B.4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则与相交C．若，则与平行D．若，则不可能相交【答案】D【分析】根据直线与平面，平面与平面平行的判定和性质逐项进行判断即可求解.【详解】若，则与可能平行或异面，错误，D正确；若，则与平行或相交，B错误；若，则与可能平行或相交，C错误.故选：D.5．在正中，向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出与的夹角，再根据投影向量的定义求解【详解】与的夹角为，根据投影向量的定义有：在上的投影向量为；故选：B.6．小明和同学们要参加学校的话剧表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶小小的圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥，如图所示，其中为该圆锥的高，那么这个圆锥的体积是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面周长的关系求出，则可得圆锥的高，利用圆锥的体积公式求得结果.【详解】设所围成圆锥的底面半径为，高为，则，则，则圆锥的高，圆锥的体积为.故选：A.7．在中，内角A，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理边化角计算即可.【详解】在中，，则由正弦定理得：则，因为三角形中，，故，所以，则的形状一定为等腰三角形．故选：B8．西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，那么这个半球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图形，利用已知条件转化求解球的半径，即可得到半球的表面积.【详解】设半球的半径为，连接交于点，连接，则，则，∵内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为，∴四棱锥的体积，所以，所以这个半球的表面积.故选：B.

二、多选题9．若复数，则下列说法正确的是（

）A．B．的虚部是C．在复平面内，与所对应的点均在第四象限D．在复数范围内，是方程的根【答案】ACD【分析】求出后计算两者的模可判断A的正误，利用复数的减法计算可判断B的正误，利用复数的几何意义可判断C的正误，代入检验后可判断D的正误.【详解】对于A，，故A正确；对于B，因为，所以虚部是，B不正确；对于C，在复平面内对应的点的坐标为，在复平面内对应的点的坐标为，均在第四象限，所以C正确；对于D，因为，所以D正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（

）A．一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面B．分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线C．正四棱柱的底面和侧面都是矩形D．若一个上､下底面积之比为的圆台是由母线长为的圆锥所截而来的，则该圆台的母线长是【答案】ACD【分析】根据基本事实可判断A；根据异面直线的概念判断B；根据正四棱柱的概念判断C；根据圆锥的轴截面结合比例计算即可判断D.【详解】对于A，一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，A正确.对于B，由异面直线的定义，把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，分别位于两个不同平面内的两条直线可能异面，还可以平行、相交，B不正确.对于C，当四棱柱是正四棱柱时，其底面是正方形，侧面是矩形，C正确.对于D，作出圆锥的轴截面，如图所示，因为圆台的上､下底面积之比为，所以上､下底面圆的半径之比为，所以，由于被平行线所截的线段长成比例，则，即，即，所以，即圆台的母线长是，D正确.

故选：ACD11．在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由得，从而，整理即可判断A，B；设与交于点，则与相似，可得，，因为，，三点共线，，，三点共线，设，则，求得，求出即可判断C，D．【详解】在平行四边形中，，所以，则，A正确，B错误；设与交于点，则在平行四边形中，与相似，所以，则，即，，因为，，三点共线，，，三点共线，设，则，即，所以，C正确，D错误．故选：AC.12．正方体的棱长为分别是和的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．三棱锥的体积是定值B．平面截正方体所得的截面是梯形C．线段长度的最小值为D．是面积为的等腰三角形【答案】ABD【分析】求出三棱锥的体积判断；由，且，可得四边形是梯形判断B；根据当为的中点时，的长度最小，最小值是判断C；求得判断D.【详解】对于，点到平面的距离为，所以三棱锥的体积是定值，正确；对于，平面截正方体所得的截面是四边形，因为，且，所以四边形是梯形，B正确；

对于，当为的中点时，的长度最小，最小值是，C不正确；

对于D，是等腰三角形且面积为正确.

故选：ABD.三、填空题13．复数.【答案】/【分析】直接利用复数除法运算法则求解即可.【详解】.故答案为：.14．如图，一个水平放置的的斜二测直观图是以为斜边的直角，其中，则.

【答案】【分析】在直观图中求出、，再还原平面图形，由勾股定理计算可得.【详解】在直观图中，，，则，，所以，则，还原平面图如下图，

则，，所以.故答案为：15．位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖的仰角是，看塔尖的仰角是，又测量得，若塔尖到山脚底部的距离为米，塔尖到山脚底部的距离为米，则两塔塔尖之间的距离为米．【答案】【分析】先解直角三角形得AC=60米，米,再利用余弦定理解BC即可.【详解】在中，米，，则米．同理，在中，米，在中，米，米，，由余弦定理，得米．故答案为：.16．现有一个棱长为3的正方体，如果以这个正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，那么该球面被这个正方体的表面所截得的所有弧长的和为.【答案】【分析】画出图形，说明截面弧长，利用弧长公式求解即可.【详解】如图，以为球心，为半径的球面被正方体表面所截得的弧，即分别在平面､平面､平面上，以为圆心､3为半径的圆与所在平面形成的弧，弧，弧，三条弧所对圆心角都是，所以所求弧长的和为.故答案为：

四、解答题17．设，是两个不共线的向量．(1)若，，求；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式求夹角即可；（2）根据向量平行的充要条件计算参数即可.【详解】（1）因为，又向量夹角范围为[0,π]，所以.（2）因为，设，μ为实数，即，则，即，解得．18．已知分别是正方体中和的中点.(1)证明：四点共面.(2)证明：三条直线交于一点.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过证明，得到四点共面.（2）设和交于点P，证明点P在平面与平面的交线上.【详解】（1）连接，因为是正方体，分别是和的中点，所以.又，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以四点共面.（2）由（1）知，且，所以和必交于一点.设，因为平面，所以平面.因为平面，所以平面.又平面平面，所以，所以交于一点.19．在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）根据三角形的面积公式结合等面积法求出，即可得解.【详解】（1）因为，所以根据正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因为，所以；（2）由，得，解得，所以的面积为.20．在长方体中，是和的交点，与平面交于点.

(1)证明：三点共线.(2)若为长方体的一条高且，，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）证明平面，又平面，平面平面，可证，，三点共线．（2）连接，可得，可求四棱锥的体积．【详解】（1）因为平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，即三点共线.

（2）连接，则与相似，所以，所以，在中，作，交于点，则，所以.21．为了响应国家改善民生、给老百姓创造更好的生活环境的号召，某地的南湖公园准备再建一个花坛，种植花卉以供老百姓观赏．花坛的设计图如图所示，与的长均为20米，，．(1)如果，求的长；(2)新建花坛的周长的最大值是多少？【答案】(1)米(2)米．【分析】（1）连接，确定长，在中，利用正弦定理即可求得答案；（2）设，在中，由正弦定理表示出的长，结合三角函数恒等变换以及三角函数性质，即可求得答案。【详解】（1）连接，因为，，所以是等边三角形，所以米，而，在中，，，所以由正弦定理得即，所以米．（2）在中，设，由正弦定理得，即，所以米，同理，则米，所以，因为，所以当时，取得最大值，又与的长均为20米，所以花坛周长的最大值为米．22．已知一个底面半径是2的圆锥内接一个圆柱，圆锥的母线长是8.

(1)求圆柱侧面积的最大值；(2)当圆柱侧面积取得最大值时，圆柱与圆锥的母线交于点，一只蚂蚁从点处出发沿圆锥侧面爬行一周到点，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】(1)(2).【分析】（1）作出圆锥的半轴截面图求得圆锥的高，设圆柱的高为，底面半径为，则，进而得圆柱的侧面积表达