线性代数（经济管理类专业本科）PPT完整全套教学课件

线性代数矩阵与行列式向量与向量空间线性方程组特征值与特征向量二次型全套可编辑PPT课件第一章矩阵与行列式第一节矩阵的概念与运算第二节行列式第三节可逆矩阵第一章矩阵与行列式第四节分块矩阵第五节矩阵的秩第六节矩阵的初等变换第一章矩阵与行列式矩阵作为数学中一个重要的概念，也是线性代数的主要研究对象之一，其实质上就是一个矩形的数表.它在线性变换、向量的线性相关性及线性方程组等问题的研究过程中具有重要地位．本章主要介绍矩阵的概念与运算法则、方阵的行列式、可逆矩阵、分块矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换等内容.第一节矩阵的概念与运算矩阵的概念一、

矩阵在科学计算和日常生活中经常用到，首先看几个例子：第一节矩阵的概念与运算

设有线性方程组：【例1-1】第一节矩阵的概念与运算该方程组中每个方程的未知量x1，x2，x3，x4的系数及等号右端的常数项按方程组中的顺序可以组成一个4行5列的矩形数表,如下：第一节矩阵的概念与运算考虑产品的调运问题．设某种产品有3个产地A1，A2，A3和4个销地B1，B2，B3，B4，且从产地Ai（i=1,2,3）到销地Bj（j=1,2,3,4）的调运方案如表1-1所示：【例1-2】第一节矩阵的概念与运算则表中的数据按照原有位置可组成一个矩形数表：该数表简明地描述了从每个产地运往每个销地的产品数量，我们可以称其为产品的供销矩阵．第一节矩阵的概念与运算已知某厂生产m种产品需要n种材料．假设生产第i种产品（i=1，2，…，m）所需第j种材料（j=1，2，…，n）的数量为aij，则该厂生产过程中的耗材数量可以用一个矩形数表表示：【例1-3】第一节矩阵的概念与运算这个数表描述了生产过程中产出的产品与投入的材料之间的数量关系．由上述例子可以看出，这种矩形数表在现代管理、自然科学等领域中是会经常遇到的，其被称为矩阵．第一节矩阵的概念与运算定义1.1由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的矩形数表：我们称之为一个m行n列矩阵，简称m×n型矩阵，其中aij表示矩阵第i行第j列的元素，下标i与j分别为元素aij的行标与列标．第一节矩阵的概念与运算一般情况下，用大写字母A，B，C，…表示矩阵，为了表明矩阵的行数m、列数n，以及元素aij，定义中的矩阵也可记作Am×n或(aij)m×n．元素全为实数的矩阵称为实矩阵，元素含有复数的矩阵称为复矩阵．如无特别说明，本书所讨论的均为实矩阵．第一节矩阵的概念与运算几种特殊矩阵二、零矩阵1.所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记作O，如果要指明其行数与列数，则记为Om×n，即注意：行（列）数不同的零矩阵是不同的．第一节矩阵的概念与运算行（列）矩阵2.第一节矩阵的概念与运算n阶方阵3.矩阵的行数与列数都为n时，称为n阶矩阵或n阶方阵．注意：当m=n=1时，在逻辑上，我们把一阶方阵A=a视同为普通的数a.第一节矩阵的概念与运算对角阵4.除对角元以外，其余元素全为0的n阶方阵称为n阶对角阵，记为：第一节矩阵的概念与运算注意：当n阶对角阵Λ中对角元a11=a22=…=ann=a时，则称之为数量矩阵.特别地，当a=1时，该数量矩阵称为单位矩阵，一般记为En，在不引起混淆的情况下，简记为E（也有部分教材将n阶单位矩阵记为In或I），即第一节矩阵的概念与运算上（下）三角形矩阵5.主对角线下（上）方元素全为0的n阶方阵称为上（下）三角形矩阵．例如，分别是3阶上三角形矩阵和4阶下三角形矩阵．显然，对角阵既是上三角形矩阵，也是下三角形矩阵，但反之则不然．第一节矩阵的概念与运算矩阵的运算三、矩阵的意义不仅在于将一些数据排成阵列形式，还在于对它定义了一些有理论和实际意义的运算，从而使之成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具．由于构成矩阵的基本元素是数，从某种角度讲，我们可以运用数的运算来定义矩阵的运算，利用数的运算性质来研究矩阵的运算性质．为此，先给出两个矩阵同型和相等的定义．第一节矩阵的概念与运算定义1.2当两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称之为同型矩阵．如果有两个m×n型矩阵A=（aij），B=（bij）满足aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

那么称同型矩阵A与B相等，记作A=B．第一节矩阵的概念与运算矩阵的加法1.定义1.3两个同型矩阵A=（aij）m×n与B=（bij）m×n对应位置的元素相加得到的矩阵C=（cij）m×n称为矩阵A与矩阵B的和，记作C=A+B，其中cij=aij+bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）应当注意，只有同型矩阵才能相加．第一节矩阵的概念与运算例如，第一节矩阵的概念与运算矩阵的数乘2.定义1.4以数k乘以矩阵A=（aij）m×n的每个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的乘积，记为第一节矩阵的概念与运算设矩阵A=（aij）m×n，则称-A=(－1)A=（－aij）m×n为A的负矩阵．根据矩阵的加法和数乘运算的定义，可定义矩阵A=（aij）m×n与B=（bij）m×n的差为A－B=A+(－1)B=（aij－bij）m×n第一节矩阵的概念与运算矩阵的加法和数乘运算统称为矩阵的线性运算．根据矩阵线性运算的定义容易证明其满足下列运算规律：（1）A+B=B+A．（2）A+B+C=A+(B+C)．（3）A+O=A．（4）1A=A，0A=O．（5）k(A+B)=kA+kB．（6）(k+l)A=kA+lA．（7）(kl)A=k(lA)=l(kA)．其中，A，B，C，O均为m×n矩阵；k，l均为常数．第一节矩阵的概念与运算求矩阵X，使3A-2X=B，其中【例1-4】第一节矩阵的概念与运算第一节矩阵的概念与运算矩阵的乘法3.定义1.5设矩阵A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，矩阵A与B的乘积为一个m×n矩阵C，C=（cij）m×n，记作C=AB，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）按此定义，矩阵C第i行第j列的元素cij等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列对应元素乘积之和．第一节矩阵的概念与运算应当注意，在矩阵的乘法中，只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，且乘积结果的行数等于第一个矩阵的行数，乘积结果的列数等于第二个矩阵的列数．第一节矩阵的概念与运算用矩阵表示线性方程组【例1-5】第一节矩阵的概念与运算解

用矩阵A=（aij）m×s表示方程组未知量的系数（称A为方程组的系数矩阵），用X=（xij）n×1表示未知量，用B=（bij）m×1表示常数项，即第一节矩阵的概念与运算一般地，n个变量x1，x2，…，xn与m个变量y1，y2，…，ym之间的线性关系式称为从变量x1，x2，…，xn到变量y1，y2，…，ym的一个线性变换．第一节矩阵的概念与运算其中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为常数，称为线性变换（1-1）的系数．第一节矩阵的概念与运算第一节矩阵的概念与运算图1-1向量Op第一节矩阵的概念与运算图1-2向量Op1第一节矩阵的概念与运算【例1-6】第一节矩阵的概念与运算矩阵的转置4.定义1.6将m×n型矩阵A=（aij）m×n的行依次变成列，则可得到一个n×m型矩阵B=（aij）n×m，称矩阵B为矩阵A的转置，记作B=AT．第一节矩阵的概念与运算一般地，矩阵的转置满足如下运算规律：（1）(AT)T=A.（2）(A±B)T=AT±BT.（3）(AB)T=BTAT.（4）(kA)T=kAT.第一节矩阵的概念与运算显然，上述运算规律（2）和（3）可以推广到多个矩阵的情形，即(A1+A2+…+An)T=AT1+AT2+…+ATn(A1A2…An)T=ATn…AT2AT1若n阶方阵A的元素满足aij=aji（i，j=1，2，…，n），则称A为对称矩阵．第一节矩阵的概念与运算【例1-8】第二节行列式行列式的概念源自线性方程组的求解问题，其作为研究矩阵的有效工具之一，实质上是一种特定的算式，它是对方阵按一定法则进行计算得到的一个数．第二节行列式二阶和三阶行列式一、在中学时已通过求解二元、三元一次线性方程组的问题引出了二阶、三阶行列式的定义.在此，再进行简单的复习．设有二元一次线性方程组第二节行列式上述结论可作为公式使用，但这种公式解的表达式比较复杂，应用起来也不方便，为方便记忆，我们引进新的记号来表示这个结果，就是行列式的概念．第二节行列式为二阶矩阵A的行列式，简称二阶行列式．其中aij（i，j=1，2）的第一个下标i表示元素所在行，称为行标，第二个下标j表示元素所在列，称为列标，则aij就是位于构成行列式的数表第i行与第j列交叉位置的数，称为行列式的元素．第二节行列式从式（1-2）可以看出，二阶行列式实际上是一个算式，即从左上角到右下角的对角线（主对角线）上两个元素相乘以后减去从右上角到左下角的对角线（副对角线）上两个元素的乘积，这就是计算二阶行列式的对角线法则．第二节行列式【例1-9】第二节行列式第二节行列式二阶行列式的概念可以推广至更高阶的情形．类似地，在三元一次线性方程组第二节行列式并称|A|为三阶矩阵A的行列式，简称三阶行列式．三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如图1-3所示．图1-3三阶行列式的对角线法则第二节行列式其中每条实线上三个元素的乘积带正号，每条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式．第二节行列式排列与逆序二、定义1.7由数字1，2，3，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列．例如，1234是一个4级排列，2143也是一个4级排列，而51324是一个5级排列．由1，2，3组成的所有3级排列共有3！=6个，由1，2，3，…，n组成的所有n级排列有n！个．其中，数字由小到大的排列123…n称为自然排列．第二节行列式定义1.8规定数字由小到大为排列的标准次序，若在一个n级排列i1，i2，…，is，…，it，…，in中，有两个数字is与it的先后次序与标准次序不同（is>it），则称is与it构成一个逆序，记作isit．一个排列中逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记作τ(i1，i2，…，in)．第二节行列式逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．例如，排列32514的逆序数τ(32514)=5，其为奇排列；自然排列的逆序数τ(123…n)=0，其为偶排列．在所有的n级排列中，奇排列与偶排列的个数相同．第二节行列式

n阶行列式三、注意观察二阶行列式（1-2）与三阶行列式（1-3），可以看出：

（1）二阶行列式的展开式是2！项乘积的代数和；三阶行列式的展开式是3！项乘积的代数和.（2）二阶和三阶行列式展开式中每一个乘积项中的元素都取自不同的行和不同的列.第二节行列式（3）当行列式展开式中乘积项元素的行标按自然数列排列时，若元素的列标为奇排列，则该乘积项取负号；元素的列标为偶排列时，该乘积项取正号．作为二阶、三阶行列式的推广，我们类似地给出n阶行列式的定义．第二节行列式定义1.9由排成n行n列的n2个元素aij（i，j=1，2，…，n）组成的记号称为n阶行列式，其中j1j2…jn为n级排列，∑j1j2…jn表示对所有的n级排列求和．第二节行列式容易看出，n阶行列式表示一个数值，这个数值是n！项的代数和，每一项是取自行列式中不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2…anjn，该项的符号在j1j2…jn为奇排列时取负号，为偶排列时取正号．当n=2，3时，这样定义的二阶和三阶行列式与之前用对角线法则定义的结果是一致的．当n=1时，一阶行列式为|a11|=a11，注意不要与绝对值符号混淆．第二节行列式根据二阶、三阶行列式的定义，我们发现式（1-4）还可以写成如下形式：(1-5）第二节行列式第二节行列式第二节行列式上式表明，一个三阶行列式等于它的第1行各个元素与其相应的代数余子式（都是二阶行列式）的乘积之和，这就意味着三阶行列式可化为二阶行列式来计算．利用这个特点可以类似定义四阶行列式、五阶行列式……以此类推，可以给出n阶行列式的另一种定义．第二节行列式定义1.10由排成n行n列的n2个数组成的n阶行列式记作第二节行列式第二节行列式【例1-11】第二节行列式行列式的性质四、由前面n阶行列式的定义我们可以计算一些低阶行列式，但对于较高阶行列式的计算来说仍相当烦琐，因此有必要讨论行列式的性质，使行列式的计算简化．利用对角线展开法可以证明三阶行列式具有下面的一些性质，这些性质对于n阶行列式也是成立的．第二节行列式性质1

行列式的行与相应的列互换，其值不变．换言之，任意方阵A的行列式等于其转置矩阵的行列式，即|AT|=|A|．例如，由此可知，对于行列式的行具有的性质，它的列也具有相应的性质，反之亦然．第二节行列式性质2

交换行列式的任意两行（列），行列式的值只改变符号．第二节行列式推论

如果行列式中某两行（列）的对应元素都相等，那么行列式的值为零．

证明

假设行列式D中的第i，j两行的对应元素相等，把这两行互换得到行列式D1，由性质2知D1=-D．此外，由于互换的两行相同，所以有D1=D．由此推得D=-D，即D=0．第二节行列式性质3用常数k乘以行列式的某一行（列）的各元素，等于用数k乘此行列式．第二节行列式推论1如果行列式某行（列）的各元素有公因子，公因子可提到行列式的外面．注意：若A为n阶矩阵，k为常数，则|kA|=kn|A|．第二节行列式推论2如果行列式的某一行（列）元素全为零，那么行列式的值为零．推论3如果行列式的两行（列）对应元素成比例，那么行列式的值为零．性质4如果行列式某行（列）的元素都是两项之和，那么这个行列式可拆分为两个相应行列式的和．第二节行列式性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘以常数k后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变．第二节行列式性质6行列式按行（列）展开性质：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积的和．第二节行列式性质7行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于零．即ai1Aj1+ai2Aj2+ai3Aj3=0，其中i≠j（i，j=1，2，3）．性质8设A，B都是n阶矩阵，则A，B乘积的行列式等于它们行列式的乘积，即|AB|=|A||B|.推论

设A1，A2，…，Ak都是n阶矩阵，则|A1A2…Ak|=|A1||A2|…|Ak|．值得注意的是，虽然在一般情况下AB≠BA，但|AB|=|BA|．第二节行列式行列式的计算五、上面介绍了行列式的定义及性质，下面我们利用它们来简化行列式的计算．由于行列式的计算过程变化较多，为了便于书写和复查，约定采用下列标记方法：（1）以r代表行，c代表列．第二节行列式（2）ri+krj(ci+kcj)表示把第j行（列）对应元素乘以k后加到第i行（列）的每一个元素．（3）ri←→rj(ci←→cj)表示互换第i行（列）和第j行（列）．（4）r(i)(c(i))表示按照第i行（列）展开．第二节行列式【例1-12】第二节行列式一般情况下，低阶行列式总是比高阶行列式容易计算，而按照行列式按行（列）展开的性质，高阶行列式的计算问题总是可以转化为若干个低阶行列式的计算问题．运用行列式的性质把行列式某行（列）的大部分元素化为零，再按该行（列）展开，将大大简化行列式的计算，这是计算行列式的主要方法．第三节可逆矩阵在第一节中，我们对矩阵定义了与数相仿的加法、减法和乘法运算．在实数的乘法运算中，如果一个数a≠0，那么一定存在唯一一个数b=1a=a－1，使得ab=ba=1，b称为a的倒数．在矩阵的乘法运算中，对于n阶矩阵A，是否能找到唯一的矩阵B，使得AB=BA=E成立？这就是我们要讨论的逆矩阵的问题．第三节可逆矩阵逆矩阵的概念一、定义1.11对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（1-8）

那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵．第三节可逆矩阵由定义知：（1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆.（2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵.（3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．第三节可逆矩阵因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义，有AB1=B1A=E，AB2=B2A=E于是B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆矩阵记作A-1，则有AA-1=A-1A=E第三节可逆矩阵【例1-17】第三节可逆矩阵【例1-18】若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出其逆阵．解

由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E由定义1.11可知A可逆，且A-1=E-A.第三节可逆矩阵矩阵可逆的充要条件二、在数的运算中，并不是所有的数都有倒数，只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先介绍一个转置伴随矩阵的概念．第三节可逆矩阵定义1.12对于n阶方阵第三节可逆矩阵显然，按照第二节性质6和性质7，可得第三节可逆矩阵即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足以下关系：AA*=A*A=|A|E由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必要条件及A-1的一种求解方法．第三节可逆矩阵定理1.1n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且A－1=1AA*证明

必要性：设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得|AA-1|=|E|于是|A||A-1|=1所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．第三节可逆矩阵第三节可逆矩阵这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵．则由定理1.1可知：A是可逆矩阵的充分必要条件是A是非奇异矩阵．第三节可逆矩阵【例1-19】第三节可逆矩阵【例1-20】第三节可逆矩阵第三节可逆矩阵一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例1-20】，求一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶行列式．第三节可逆矩阵可逆矩阵的性质三、可逆矩阵的运算满足以下性质：性质9设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A-1)-1=A．由逆矩阵的定义AA-1=A-1A=E可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．第三节可逆矩阵性质10设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1．由矩阵乘法的结合律，得(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E(B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1．第三节可逆矩阵此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆，且(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11第三节可逆矩阵性质11若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T．因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据矩阵的转置运算规律，有AT(A－1)T=(A－1A)T=ET=E则AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T．第三节可逆矩阵第三节可逆矩阵性质13若矩阵A可逆，则A－1=1A．因为A可逆，所以|A|≠0，且AA-1=E，于是有AA－1=AA－1=E=1所以A－1=1A方阵A可逆时，还可以定义A0=E，A－k=(A－1)k（k为正整数）这样，在A可逆时，就把矩阵的幂的概念推广到整数的范围，并有AlAs=Al+s，(Al)s=Als（l，s为整数）第三节可逆矩阵【例1-22】第三节可逆矩阵第四节分块矩阵为了计算简便或理论研究的需要，有时我们需要将一个行数和列数较多的大型矩阵划分为若干块小矩阵，使大矩阵的运算问题转化成小矩阵的运算问题，这种做法称为矩阵分块．它是矩阵运算中的一种简化技巧，也是处理阶数较高的矩阵的重要方法．第四节分块矩阵分块矩阵的概念一、定义1.13用若干条纵线和横线把矩阵A分割成若干小矩阵，每个小矩阵称为A的一个子块或子阵，以这些子块为元素的矩阵形式称为分块矩阵．第四节分块矩阵其中E3和E2分别表示3阶和2阶单位矩阵，而第四节分块矩阵矩阵的分块方式可以是任意的，但要根据原矩阵的结构特点和运算内容的需要来选择适当的分块方法，既要使子块在参与运算时有意义，又要为运算的方便考虑，这才是矩阵分块的目的．第四节分块矩阵分块矩阵的基本运算二、分块矩阵的运算与普通矩阵的运算类似.可以将每个子块当成矩阵的一个元素处理，子块与子块之间的运算仍然按照普通矩阵的运算进行．第四节分块矩阵分块矩阵的加法1.设A，B均为m×n矩阵，即A+B有意义．对A，B采用相同的分块法，有第四节分块矩阵数与分块矩阵的乘积2.第四节分块矩阵分块矩阵的乘积3.设A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，即AB有意义．在对A，B进行分块时，为使分块矩阵的乘积AB有意义，要使左乘矩阵A的列的分法与右乘矩阵B的行的分法相同，至于A的行的分法与B的列的分法则无任何要求．即第四节分块矩阵第四节分块矩阵分块矩阵的转置4.求分块矩阵的转置时，不但要把分块矩阵的行与列互换，同时每一个子块也要做转置．第四节分块矩阵第四节分块矩阵第四节分块矩阵上述对角分块矩阵具备下列运算规律：第四节分块矩阵（2）对角分块矩阵的行列式具有下述性质：第四节分块矩阵【例1-24】第四节分块矩阵第五节矩阵的秩对于n阶方阵A，当它为非奇异矩阵（|A|≠0）时我们可以探讨其可逆的相关性质，而m×n型矩阵则不存在通常意义上的逆矩阵．为了讨论一般矩阵的性质，需要引入矩阵的秩的概念．矩阵的秩作为矩阵的一个基本属性，在求解逆矩阵和线性方程组等问题中有重要应用．第五节矩阵的秩矩阵秩的定义一、为建立矩阵秩的定义，先引入矩阵的子式的定义．定义1.14在m×n型矩阵A=(aij)m×n中任取k行与k列(1≤k≤min{m,n})，位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来位置次序则构成一个k阶行列式，称之为矩阵A的一个k阶子式．第五节矩阵的秩第五节矩阵的秩注意：（1）矩阵的k阶子式是行列式而非矩阵.（2）m×n型矩阵的k阶子式共有CkmCkn个．有了子式的定义，就可以定义矩阵的秩．第五节矩阵的秩定义1.15设A是m×n型矩阵，如果A中有一个不为零的r阶子式D，而任何r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么称D为矩阵A的最高阶非零子式，称r为矩阵A的秩，记作R(A)=r．规定：零矩阵的秩为0．根据行列式的性质可知，如果矩阵A的所有r+1阶子式全为零，那么其所有高于r+1阶的子式也全为零.因此，矩阵的秩就是其不等于零的子式的最高阶数．第五节矩阵的秩第五节矩阵的秩矩阵秩的性质二、由定义1.15，矩阵Am×n的秩有如下性质：（1）R(A)=R(AT).（2）0≤R(A)≤min(m,n).（3）R(kA)=0，k=0R(A)，k≠0.对于n阶方阵A，若|A|≠0，则R(A)=n时，称方阵A为满秩矩阵；若|A|=0，则R(A)<n，称方阵A为降秩矩阵．因此，可逆矩阵（非奇异矩阵）又称满秩矩阵；不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．由此可得如下定理：第五节矩阵的秩定理1.2设A为n阶方阵，则R(A)=n的充分必要条件是A为可逆矩阵．第五节矩阵的秩【例1-25】第五节矩阵的秩一般地，利用定义求矩阵的秩，需检查多个子式的值，这对于低阶矩阵是方便的，但对于高阶矩阵，k阶子式的计算量较大，很不方便．在第六节，我们将介绍利用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法．第五节矩阵的秩【例1-26】第六节矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本的运算，它在求解可逆矩阵的逆矩阵、矩阵的秩及线性方程组等问题中有着广泛的应用．第六节矩阵的初等变换矩阵的初等变换与初等矩阵一、我们发现，在利用消元法求线性方程组的解时，经常用到如下三种同解变形：（1）交换两个方程的位置.（2）用非零常数乘以某一个方程.（3）用一个常数乘一个方程加到另一个方程上去．这三种运算称为线性方程组的初等变换，而且，线性方程组经过初等变换后其解不变．第六节矩阵的初等变换从矩阵的角度观察，这种对线性方程组进行初等变换的过程，我们可以归结为对相应矩阵的行进行初等变换，这就是矩阵的初等行变换．把定义中的“行”换成“列”即得到矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把r换成c）．矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换．第六节矩阵的初等变换定义1.16下面三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对调矩阵某两行的位置（对调i，j两行，记作rirj）.（2）以数k（k≠0）乘以矩阵某一行中的所有元素（k乘第i行，记作kri）.（3）把某一行所有元素的λ倍加到另一行的对应元素上（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj）．把定义中的“行”换成“列”即得到矩阵的初等列变换的定义（所用的记号是把r换成c）．矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为矩阵的初等变换．第六节矩阵的初等变换定义1.17由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．对应于矩阵的三种初等变换形式，有三种初等矩阵．（1）对调单位矩阵的任意两行（列）.例如，把单位矩阵E中第i，j两行（列）对调（ri←rj或ci←cj），得初等矩阵第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换（2）以任意常数k（k≠0）乘以单位矩阵的某行（列）.例如，以任意常数k（k≠0）乘以单位矩阵E的第i行（列）（kri或kci），得初等矩阵第六节矩阵的初等变换（3）以任意常数k乘以单位矩阵的某行（列）后加到另一行（列）上.例如，以数k乘以单位阵的第i行（列）加到第j行（列）上（rj+kri或cj+kci），得初等矩阵第六节矩阵的初等变换容易验证，初等矩阵具有以下性质：（1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵.（2）初等矩阵均是可逆矩阵.（3）初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，且第六节矩阵的初等变换定理1.3设A=(aij)是m×n型矩阵，则（1）对A每施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以一个相应的m阶初等矩阵.（2）对A每施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以一个相应的n阶初等矩阵．定理证明从略．下面通过实例来说明．第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换这说明交换矩阵的第2行与第3行相当于用初等矩阵E3(2,3)左乘矩阵A．将矩阵A的第2列与第3列互换，则有第六节矩阵的初等变换可见，交换矩阵A的第2列与第3列相当于用初等矩阵E4(2,3)右乘矩阵A．用同样的方法可以验证，对矩阵A每施行一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘以一个相应的初等矩阵．第六节矩阵的初等变换利用初等变换化简矩阵二、对矩阵进行初等变换的一个重要目的就是化简矩阵．下面介绍化简后的矩阵形式及化简方法．如果矩阵A的某一行各个元素均为零，那么称该行为矩阵A的零行，否则称该行为矩阵A的非零行．第六节矩阵的初等变换定义1.18满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：（1）非零行都在零行的上方（没有零行就认为已满足）.（2）每一非零行的非零首元所在列中，该元素下方的元素全为0．例如，矩阵第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换定义1.19如果行阶梯形矩阵还满足下列两个条件，那么称其为行最简形矩阵：（1）非零行的第一个非零元素都是1.（2）非零行的非零首元所在列的其他元素都是0．第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换定理1.4利用初等行变换可以把任意非零矩阵化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简阶梯形矩阵．第六节矩阵的初等变换定理1.5对于任意非零矩阵A(aij)m×n，都可经过有限次初等变换化为形如的矩阵，称此矩阵为矩阵A的等价标准形，其特点是左上角是一个r阶的单位矩阵，其余元素均为0．即对于任何矩阵Am×n，总可以经过有限次初等变换把A化成行阶梯形、行最简阶梯形及标准形矩阵．第六节矩阵的初等变换【例1-27】将矩阵A化为行阶梯形、行最简形及行标准形矩阵，其中第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换其中，矩阵B1，B2，B3分别是矩阵A的行阶梯形、行最简形及行标准形矩阵．注意：矩阵经初等变换后变成另外一个矩阵，运算过程中不能用等号．且矩阵的初等变换与行列式的三种基本运算方式要区别记忆．第六节矩阵的初等变换初等变换的应用三、求矩阵的秩1.定理1.6任意非零矩阵A=(aij)m×n在经过一系列初等行变换后秩不变，且矩阵A的秩等于其相应阶梯形矩阵非零行的行数．由此，我们可以得到一个求矩阵秩的方法：对矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，则矩阵的秩为此行阶梯形矩阵中非零行的行数．第六节矩阵的初等变换【例1-28】第六节矩阵的初等变换第六节矩阵的初等变换定理1.7设A与B为m×n型矩阵，那么，（1）A=rB的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得PA=B.（2）A=cB的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B.（3）A=B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=B.第六节矩阵的初等变换证明

（1）依据A=rB的定义即初等矩阵的性质，有A=rBA经过有限次初等行变换变成B存在有限个m阶初等矩阵P1，P2，…，Pl，使Pl…P2P1=B存在m阶可逆矩阵P=Pl…P2P1，使PA=B.类似可证明（2）与（3）.第六节矩阵的初等变换下面介绍几种常用的矩阵秩的性质：（1）若A=B，则R(A)=R(B).（2）若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(B).（3）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B).（4）R(A+B)≤R(A)+R(B).（5）R(AB)≤min{R(A),R(B)}.（6）若Am×nBn×l=O，则R(A)+R(B)≤n．第六节矩阵的初等变换用矩阵的初等行变换求逆矩阵2.设A为n阶方阵，在A的右边同时写出与A同阶的单位矩阵E，构成一个n×2n的矩阵(A,E)，然后对(A,E)连续实施初等行变换，直至左边子块A化为单位矩阵E时，右边子块即为A-1，即A,E=rE,A－1第六节矩阵的初等变换【例1-31】第六节矩阵的初等变换【例1-32】第六节矩阵的初等变换拓展空间

行列式的由来

行列式的出现源于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨（Leibniz,1646—1716）和日本数学家关孝和（约1642—1708）发明的.1693年4月，莱布尼茨在写给洛必达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出了方程组的系数行列式为零的条件.同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中也提出了行列式的概念与算法.拓展空间1750年，瑞士数学家克拉默(G.Cramer,1704—1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖(E.Bezout,1730—1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究.拓展空间在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙德(A.T.Vandermonde,1735—1796).范德蒙德自幼在父亲的指导下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士.特别地，他给出了用2阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则.就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人.1772年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙德对行列式本身这一点提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法.拓展空间继范德蒙德对行列式本身这一点之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的是另一位法国大数学家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）.1815年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.其中主要结果之一是行列式的乘法定理.另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法;引进了行列式特征方程的术语;给出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等.拓展空间19世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆斯·西尔维斯特(J.Sylvester,1814—1897).他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待.西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个n次和一个m次的多项式中消去x的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明.拓展空间继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(C.Jacobi,1804—1851),他引进了函数行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式.雅可比的著名论文《论行列式的形成与性质》标志着行列式系统理论的建成.行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大的发展.整个19世纪都有行列式的新成果.除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.拓展空间矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展得很好了.从行列式的大量工作中明显地表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序却正好相反.拓展空间英国数学家凯莱(A.Cayley,1821—1895)被公认为矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，从剑桥大学三一学院毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文.凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号.拓展空间1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根(特征值)，以及有关矩阵的一些基本结果.拓展空间1855年，埃尔米特(C.Hermite,1822—1901)证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃尔米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831—1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.拓展空间在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849—1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅里叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的.拓展空间矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具，经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域.谢谢观看！线性代数第二章向量与向量空间第一节n维向量及其线性运算第二节向量组的线性相关性第三节向量组的秩第四节向量空间“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段，是一种带几何性质的量，除零向量外，都可以画出箭头表示方向，故向量又被称为矢量．很多物理量，如力、速度、位移及电场强度、磁感应强度等，都是向量．向量空间的概念是数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中具有广泛的应用．而向量及其线性运算则为向量空间这一抽象的概念提供了一个具体的模型.第二章向量与向量空间本章主要介绍n维向量的有关概念和向量空间的基本概念.先讨论向量的线性运算及向量组的线性相关性，然后引入极大无关向量组的概念，定义向量组的秩，并进一步讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.最后给出向量空间的概念.第二章向量与向量空间第一节n维向量及其线性运算n维向量一、在解析几何中，平面上的几何向量OP的坐标可用一个二元有序数组(x,y)表示，而空间里的几何向量OP的坐标则是一个三元有序数组(x，y，z).在研究其他问题时，也常遇见有序数组.例如，将组成社会生产的各个部门的产品或劳务的数量，按一定次序排列起来，就得到了国民经济各部门产品或劳务的有序数组.第一节n维向量及其线性运算定义2.1由n个数a1，a2，…，an组成的一个有序数组称为一个n维向量，记为其中，ai(i=1，2，…，n)称为该向量的第i个分量.向量所含分量的个数n称为向量的维数.分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量.本书只讨论实向量.第一节n维向量及其线性运算向量一般用希腊字母α，β，γ，…表示，其分量一般用小写的英文字母ai，bi，ci，…表示，例如，可以记第一节n维向量及其线性运算n维向量可写成一行或是一列，分别称之为n维行向量和n维列向量.我们可借助于矩阵转置的记号把列（行）向量写成行（列）向量的形式.例如，第一节n维向量及其线性运算可写成需要注意的是，按照定义2.1，α与αT应是同一个向量，但按照矩阵相等的定义，α与αT总被看作两个不同的向量.第一节n维向量及其线性运算【例2-1】对于m×n型矩阵我们将A按行分块，则其每一行都是一个n维行向量，即αi=ai1,ai2,…,ain（i=1，2，…，m）第一节n维向量及其线性运算我们将A按列分块，则其每一列都是一个m维列向量，即βj=a1j,a2j,…,amjT（j=1，2，…，n）若干个同维数的列向量（或是同维数的行向量）组成的集合称为向量组.第一节n维向量及其线性运算

n维向量的线性运算二、按照第一章的定义，行向量和列向量分别就是行矩阵和列矩阵.因此，可按照矩阵的相关运算规则对向量运算进行定义.第一节n维向量及其线性运算定义2.2所有分量都是零的向量称为零向量，记为0=（0,0，…，0）由n维向量α=(a1，a2，…，an)各分量的相反数构成的向量，称为α的负向量.记为-α=（-a1，-a2，…，-an）第一节n维向量及其线性运算定义2.3如果n维向量α=(a1，a2，…，an)与β=(b1，b2，…，bn)对应的分量相等，即ai=bi（i=1，2，…，n），那么称这两个向量相等.记为α=β.第一节n维向量及其线性运算定义2.4设n维向量α=（a1，a2，…，an），β=（b1,b2,…,bn）α与β对应分量的和所构成的n维向量称为向量α与β的和,记为α+β.即α+β=（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）由向量的加法和负向量的定义，还可以定义向量的减法，记为α-β.即α－β=α+－β=（a1－b1,a2－b2,…,an－bn）第一节n维向量及其线性运算定义2.5设k为常数，数k与向量α=(a1，a2，…，an)的各分量的乘积所构成的n维向量，称为数k与向量α的乘积（简称数乘），记为kα，即kα=（ka1，ka2，…，kan）第一节n维向量及其线性运算向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.利用上述定义，不难验证向量的线性运算满足下述八条运算律：（1）α+β=β+α（加法交换律）.（2）α+(β+γ)=(α+β)+γ（加法结合律）.（3）α+0=α.（4）α+(-α)=0.（5）k(α+β)=kα+kβ（数乘分配律）.第一节n维向量及其线性运算（6）(k+l)α=kα+lα（数乘分配律）.（7）(kl)α=k(lα)（数乘结合律）.（8）1·α=α.其中，α，β，γ是n维向量，0是n维零向量，k和l是任意实数.第一节n维向量及其线性运算定义2.6设n维向量α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，…，bn)，则向量α与βT的乘积为一阶方阵，即一个数，即第一节n维向量及其线性运算向量αT与β的乘积为n阶方阵，即第一节n维向量及其线性运算【例2-2】设向量α1=(2,5,1,3)T，α2=(10,1,5,10)T，α3=(4,1,-1,1)T，α满足3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α)求向量α.第一节n维向量及其线性运算第一节n维向量及其线性运算【例2-3】用向量表示线性方程组第一节n维向量及其线性运算第一节n维向量及其线性运算反之，若是给出向量组（2-2），作向量方程（2-3），可得线性方程组（2-1）.通常将向量方程（2-3）称为线性方程组（2-1）的向量形式.第二节向量组的线性相关性线性组合一、两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量α与β成比例，即存在一个数k使得β=kα.也就是说，向量β可以由向量α经过线性运算得到.多个向量之间的比例关系，表现为线性组合.例如，向量α1=（1，0，1），α2=（0，1，0），α=（3，2，3）.很容易看出α1的3倍加上α2的2倍就等于α，即

α=3α1+2α2第二节向量组的线性相关性定义2.7对于给定向量β，α1，α2，…，αn，如果存在一组数k1，k2，…，kn，使得关系式

β=k1α1+k2α2+…+knαn（2-4）

成立，那么称向量β是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表示.第二节向量组的线性相关性【例2-4】任何一个n维向量α=(a1，a2，…，an)都是n维向量组e1=1,0,0,…,0，e2=0,1,0,…,0，…，en=0,0,0,…,1的线性组合.这是因为，根据向量的线性运算，显然有α=a1e1+a2e2+…+anen其中，n阶单位矩阵E=e1,e2,…,en的列向量组e1,e2,…,en称为n维单位坐标向量组.第二节向量组的线性相关性【例2-5】零向量是任何一组向量α1,α2,…,αn的线性组合.这是因为0=0α1+0α2+…+0αn

总是成立.第二节向量组的线性相关性【例2-6】第二节向量组的线性相关性线性相关与线性无关二、对于任意一个向量组α1,α2,…,αn，一定有0α1+0α2+…+0αn=0.这就是说，任何一个向量组，它的系数全为零的线性组合一定是零向量.而有些向量组在系数不全为零的情况下，其线性组合也可以是零向量.例如，α1=1,－1,0,α2=3,2,－5,α3=2,3,－5，显然有α1－α2+α3=0.即存在一组不全为零的数1，-1，1使得α1,α2,α3的线性组合为零向量.具有这种性质的向量组称为线性相关的向量组.第二节向量组的线性相关性定义2.8给定向量组α1,α2,…,αn，如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn使得k1α1+k2α2+…+knαn=0(2-5)那么称向量组α1,α2,…,αn线性相关，否则，称它们线性无关，即仅当k1=k2=…=kn=0时，式（2-5）才成立，那么α1,α2,…,αn线性无关.由此可见，线性相关的向量组与线性无关的向量组是性质相反的两类向量组.第二节向量组的线性相关性【例2-8】由一个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=0.证明

若α线性相关，则由定义2.8知，存在数k≠0，使得kα=0，由此得α=0；反之，若α=0，不妨取k=2≠0，有kα=0成立，故α线性相关.由此可知：一个向量α构成的向量组线性无关的充要条件是α≠0.第二节向量组的线性相关性【例2-9】由两个向量α，β构成的向量组线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.证明(略）第二节向量组的线性相关性【例2-10】含有零向量的向量组必定线性相关.事实上，对于向量组0,α1,…,αs，任取数k≠0，即得一组不全为零的数k,0,…,0，使得k0+0α1+…+0αs=0故向量组0,α1,…,αs线性相关.第二节向量组的线性相关性向量组线性相关性的有关结论三、定理2.1向量组α1,α2,…,αn(n≥2)线性相关的充要条件是α1,α2,…,αn中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示.证明

必要性：由于α1,α2,…,αn线性相关，所以必存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0第二节向量组的线性相关性第二节向量组的线性相关性则显然有k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1－αn=0即存在一组不全为零的数k1，k2，…，kn-1，-1使α1,α2,…,αn的线性组合为零向量，因此，α1,α2,…,αn线性相关.第二节向量组的线性相关性定理2.2如果向量组α1,α2,…,αn线性无关，而向量组α1,α2,…,αn,β线性相关，那么向量β可由向量组α1,α2,…,αn唯一地线性表示.证明

由于向量组α1,α2,…,αn,β线性相关，所以存在一组不全为零的数k1,k2,…,kn,k，使得k1α1+k2α2+…+knαn+kβ=0第二节向量组的线性相关性第二节向量组的线性相关性由向量组α1,α2,…,αn线性无关知k1－l1=k2－l2=…=kn－ln=0.故ki=lii=1,2,…,n，这就证明了表达式的唯一性.判断一个向量组是否线性相关，最基本的方法是利用定义进行判断.为了更加便捷地判断向量组之间的线性关系，我们不加证明地给出以下几个定理.第二节向量组的线性相关性定理2.3（1）若向量组的某一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关.反言之，若整个向量组线性无关，则其任一部分组也线性无关.（2）向量组α1,α2,…,αn线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=（α1,α2,…,αn）的秩小于向量的个数n；向量组α1,α2,…,αn线性无关的充要条件是RA=n.第二节向量组的线性相关性（3）由m个n维向量组成的向量组，当n<m，即向量的维数小于向量的个数时，向量组一定线性相关.特别地，n+1个n维向量一定线性相关.第二节向量组的线性相关性【例2-12】讨论n维单位坐标向量组的线性相关性.解

n维单位坐标向量组构成的矩阵E=e1,e2,…,en

是n阶单位矩阵，由E=1≠0知RE=n，即RE等于向量组中向量的个数，故知此向量组是线性无关的.第二节向量组的线性相关性【例2-13】设向量组判断向量组α1,α2,α3,α4是否线性相关，如果线性相关，试将其中一个向量表示为其余向量的线性组合.第二节向量组的线性相关性解

以α1,α2,α3,α4为列向量构造矩阵A=α1,α2,…,αn，并对之进行初等行变化，将A化为行最简形矩阵.第二节向量组的线性相关性第二节向量组的线性相关性由RB=3<4知向量组β1,β2,β3,β4线性相关，且β4=β1－2β2+0β3.则向量组α1,α2,α3,α4线性相关，且有α4=α1－2α2+0α3.第三节向量组的秩在上一节讨论向量组的组合和线性相关性时，矩阵的秩起到了重要作用，为使讨论进一步深入，本节把秩的概念引进向量组.为了用向量组的部分组表示其整体，我们引进极大线性无关组的概念.我们知道，线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示，逐个去掉被表示的向量，直到得到一个线性无关的部分组，归纳出这个部分组的特征，就得到向量组的极大无关组的概念.第三节向量组的秩向量组的极大无关组与秩一、定义2.9如果一个向量组α1,α2,…,αn的某个部分组αi1,αi2,…,αir(r≤n)满足下述条件：（1）αi1,αi2,…,αir线性无关.（2）向量组α1,α2,…,αn中的任意一向量都可以由αi1,αi2,…,αir线性表示.第三节向量组的秩那么称部分组αi1,αi2,…,αir是向量组α1,α2,…,αn的一个极大线性无关组，简称极大无关组.显然，任何一个含有非零向量的向量组一定存在极大无关组，而线性无关的向量组的极大无关组就是自身.第三节向量组的秩根据定理2.4，我们很容易得到一个求向量组α1,α2,…,αn的极大无关组的方法：以向量组的向量αii=1,2,…,n为列向量构造矩阵A，对A施行初等行变换，将A化为行最简形矩阵B=β1,β2,…,βn，然后根据β1,β2,…,βn向量之间的线性关系得到α1,α2,…,αn之间的线性关系，从而求得α1,α2,…,αn的极大无关组.第三节向量组的秩定义2.10设有两个向量组A=α1,α2,…,αs，B=β1,β2,…,βt如果向量组A的每一个向量都可以由向量组B线性表示，那么称向量组A可以由向量组B线性表示.特别地，如果向量组A和向量组B可以互相线性表示，那么称向量组A和向量组B等价.记作

α1,α2,…,αs=β1,β2,…,βt

第三节向量组的秩例如，对于向量组α1,α2,α3和向量组e1,e2,e3，已知由α1=e1+0e2+0e3，α2=e1+2e2+0e3，α3=e1+2e2+3e3可知，向量组α1,α2,α3可以由向量组e1,e2,e3线性表示.第三节向量组的秩第三节向量组的秩定理2.5任一向量组与它的极大无关组等价.推论

向量组中任意两个极大无关组之间等价.上面的结论说明，在讨论向量组之间的一些关系时，可以用它们的极大无关组代替，从而使问题的讨论更加方便和简捷.第三节向量组的秩定义2.11