2023数学三考研试题和答案

2006年数学三试题分析、详解和评注

一、填空题：1一6小题，每题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

⑵设函数/(x)在x=2的某邻域内可导，且r(x)=e〃x)，/(2)=1,那么/"(2)=空

(3)设函数/(〃)可微，且/'(0)=g,那么z=/(4f—丁)在点a2)处的全微分

dz|(h2)=4dx-2dy.

(21、

(4)设矩阵A=1-1V,E为2阶单位矩阵，矩阵8满足84=6+2E,那么

(5)设随机变量X与y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，那么

P{max{X,y}<l}=.

(6)设总体X的概率密度为=oo<x<+oo),X1,X2，,X“为总体X的简

单随机样本，其样本方差为§2,那么成2=工

二、选择题：7—14小题，每题4分，共32分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7)设函数y=/(x)具有二阶导数，且/'(x)〉0,/"(x)>0,以为自变量x在点与处的

增量，Ay与dy分别为/(x)在点与处对应的增量与微分，假设©>0,那么

(A)0<dy<Ay.(B)0<Ay<dy.

(C)Ay<dy<0.(D)dy<Ay<0.[]

(8)设函数/(x)在x=0处连续，且盛华)=1,那么

(A)/(0)=0毗'(0)存在(B)〃0)=1月£⑼存在

(C)"0)=0且/；'(0)存在(D)〃0)=1比'(0)存在1]

(9)假设级数£%收敛，那么级数

”=1

(A)£同收敛.(B)£(一1)"。“收敛.

n=ln=\

00s/7+〃

(C)Z。汹用收敛.(D)Z""、收敛.I]

/l=l〃=l乙

(10)设非齐次线性微分方程y'+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y(x),%(x),C为任意常

数，那么该方程的通解是

(A)C[y(x)-必(x)].(B)y1(x)+C[y1(x)-y2(x)].

(C)C[y((x)+y2(x)].(D)x(x)+C[y(x)+%(x)]IJ

(11)设/(x,y)与双x,y)均为可微函数，且外'(x,y)7O,(尤0,y°)是/(x,y)在约束条

件°(x,y)=O下的一个极值点，以下选项正确的是

(A)假设工'(尤。,%)=0,那么-=

(B)假设工'(%),%)=0,那么<'(%,%)工0.

(C)假设工'(%,%)W0，那么<U0,%)=0.

(D)假设《(%,%)*(),那么£(小,％)工0

[]

(12)设名,。2，,%均为〃维列向量，A为加x〃矩阵，以下选项正确的是

(A)假设&],%，,4线性相关，那么Aa，A%,线性相关.

(B)假设线性相关，那么1Aq线性无关.

(C)假设%%，，4线性无关，那么Aa"%,,A%线性相关.

(D)假设名,。2,•，见线性无关，那么,Aa,线性无关.

[]

(13)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得8,再将8的第1列的-1倍加到第2

410、

列得C,记尸=010,那么

、001,

(A)C=P'AP.(B)C=PAP'.

(C)C=PyAP.(D)C=PAPr.[1

(14)设随机变量X服从正态分布N(〃1,of),y服从正态分布N(〃2，b；)，且

那么必有

(A)0<<T2(B)%>%

(C)从<出(D)必>出IJ

三、解答题：15—23小题，共94分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)］此题总分值7分)

1.7CX

1-ysm——

设/(X，>)=—------------—,X>0,y>0,求

1+xyarctanx

(I)g(x)=Hm

(II)limg(x).

(16)(此题总分值7分)

计算二重积分JJyly2-xydxdy，其中。是由直线y=x,y=l,x=0所围成的平面区域.

D

(17)(此题总分值10分)

证明：当0<4<匕<乃时，

bsinb+2cosb+7ib>asina+2cosa+7va.

(18)(此题总分值8分)

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(l,0),其上任意点尸(x,y)(x/0)处的切线

斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数”>0).

(I)求L的方程；

O

(II)当L与直线y=or所围成平面图形的面积为3时，确定。的值.

(19)(此题总分值10分)

-12n+

-(-I)"x'

求哥级数——1的收敛域及和函数s(x).

“1n\2n-\)

(20)(此题总分值13分)

设4维向量组

q=(l+a,l,l,l)T,4=(2,2+a,2,2)T0=(3,3,3+4,3)，,4=(4,4,4,4+0),，问a

为何值时at,a2,a3,a4线性相关？当名,。2，。3，4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并

将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

(21)(此题总分值13分)

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量《=(-1,2,—1)二%(0,-1,1)T是

线性方程组Ar=0的两个解.

(1)求A的特征值与特征向量；

(II)求正交矩阵。和对角矩阵A,使得QTAQ=A；

(III)求A及(人一,6)，其中£为3阶单位矩阵.

(22)(此题总分值13分)

设随机变量X的概率密度为

-,-l<x<0

2

fx=<-,0<x<2,

0,其他

令y=x2,E(x,y)为二维随机变量(x,y)的分布函数.

(D求丫的概率密度人(y)：

(IDcov(x,y)；

(iii)T?4"

(23)(此题总分值13分)

设总体X的概率密度为

其中。是未知参数(0<6><1),X,,X2..„Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本

值玉,马…,X”中小于1的个数.

(I)求。的矩估计；

(II)求。的最大似然估计

1……【分析】将其对数恒等化N=emN求解.

"+1产’m|lim(-l)nInf—"I

【详解】lim——=lime

n—>co(〃Jw—>oo

H+l

而数列［(—1)"｝有界，limIn=0,所以lim(-l)〃ln=0.

()00\n)n

-0

场..fn+lV"0,

故lim----=e"=1.

“廿1nJ

【评注】对于基指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第1讲第2节【例23]，？数学复习指南?

(经济类)P.301例1.41].

2….【分析】利用复合函数求导即可.

【详解】由题设知，/'(x)=e/(6,两边对工求导得

/*(x)=ef(x}f(x)=e2/W,

两边再对x求导得fm(x)=2e2/W/，(^)=2e3/(A),又/⑵=1,

故尸⑵=2e3/(2)=2e3.

【评注】此题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第2讲第2节【例11】，【例12]，？数学复习

指南？(经济类)P.531例2.18](几乎一样).

3…【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.

【详解】方法一：因为||1.2)=/'(4——>2).8目“2)=4,

言|(1,2)=/'(4/-冷.(_2刈(],2)=-2,

dx

所以出|(i,2)=率h0+豆lamS=4dx-2dy.

方法二：对Z=/(4d-丁)微分得

dz=f'(4x2-y-)d(4x2-y2)=f'(4x2-y2)(8xdx-2ydy),

,

故dz|(u)=/(0)(8dx-2dy)=4dx-2dy.

【评注】此题为基此题型.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第9讲第1节【例12]，？数学复习指南？(经济

类)P.1621例6.13】，？考研数学过关基此题型？(经济类)P.621例6,例7】及练习.

4..…【分析】将矩阵方程改写为AX=6或X4=B或4X5=C的形式，再用方阵相乘

的行列式性质进行计算即可.

【详解】由题设，有

于是有忸||A—目=4,而|4一同=11=2,所以恸=2.

【评注】此题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.

完全类似例题见文登暑期辅导班?线性代数?第1讲【例61?数学复习指南？(经济

类)P.287【例2.12】.

5……【分析】利用x与y的独立性及分布计算.

【详解】由题设知，x与y具有相同的概率密度

0,其他

那么p{max{x,y}<i}=p{x<i,y<i}=p{x<i}p{y<i}

=(P{XWl})2=]；dx)=".

【评注】此题属几何概型，也可如下计算，如以下图：

那么P{max{X,y}<l}=P{X<l,y<l}=^=-.

S9

完全类似例题见文登暑期辅导班?概率论与数理统计?第3讲【例5],？数学复习指南?

(经济类)P.431【例2.31】P.4421例2.50】

.......【分析】利用样本方差的性质ES2=DX即可.

【详解】因为

EX=J：V(x)dx=J]e'^dx=0,

=-2xe-'|苜+2j^e-'dx=-Ze]/=2,

所以DX=£X2-(EX)2=2-0=2,又因S?是。X的无偏估计量，

所以ES,=DX=2.

【评注】此题利用了样本方差是总体X的方差DX的无偏估计量，最好能熟记样本均值

和方差的性质和运算.

完全类似例题见文登暑期辅导班?概率论与数理统计?第5讲【例1】和【例2】，？数

学复习指南？(经济类)P.4871例5.1]P.488【例5.2]，？考研数学过关基此题型？(经济

类)P.2471例4]及练习.

7….…【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.

【详解】由/'(%)>0,7"(%)>0知，函数/O)单

调增加，曲线y=/(x)凹向，作函数y=/(x)的图形如

右图所示，显然当以>0时，

Ay>dy=f(x0)dx=f(x0)/\x>0,故应选(A).

【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解

此题的首选方法.此题还可用拉格朗日中值定理求解：

因为/〃（x）>o,所以/‘（X）单调增加，即rc）>r（xo）,又一>0,

,

那么Ay=/（x0）Ax=d^>0,即0<dy<Ay.

定义一般教科书均有，类似例题见?数学复习指南？（经济类）P.129【例5.1]，P.151

[1（3）].

8......【分析】从我541=1入手计算/（0）,利用导数的左右导数定义判定

f'（o）,《（o）的存在性.

【详解】由斑邛1=1知，屈;/（川）=0.又因为/（X）在x=0处连续，那么

/（0）=lim/（x）=lim/（/?）=0.

人，厂现人../（川）「r，小

令t=h，那么1=lim———=lim——-------=f（0）.

5人2-0+f八一

所以九'（0）存在，故此题选（C）.

【评注】此题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基此题型.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第2讲第1节【例2】，？数学复习指南？（经济

类）P.461例2.2].

9……【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.

【详解】由“收敛知用收敛，所以级数收敛，故应选（D）.

n=lw=ln=l2

或利用排除法：

取凡=（一1）"工，那么可排除选项（A）,（B）；

n

取4=（一1）"；,

那么可排除选项（C）.故（D）项正确.

yjn

【评注】此题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基此题型.

完全类似例题见?数学复习指南？（经济类）P.232习题八（2（3）题〕，？考研数学过

关基此题型？（经济类）P.741例1,例2】及练习.

10..…【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.

【详解】由于y（x）-%（x）是对应齐次线性微分方程y'+P（x）y=0的非零解，所以

它的通解是y=C[x（x）-%（x）]，故原方程的通解为

y=x（x）+y=%（%）+0［凹（%）-%（切，故应选（B）.

【评注】此题属基此题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

y=y*+Y•

其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，y是对应齐次微分方程的通解.

相关性质和定理见?数学复习指南？（经济类）P.219.

11【分析】利用拉格朗日函数［0,丫,4）=/（”,丁）+加（”,丁）在（%0，%，4）（%

是对应X。,方的参数;I的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】作拉格朗日函数F（x,y,A）=/（%,y）+九叭x,y）,并记对应x0,%的参数/l的

值为％，那么

F：（九0,%，4）=。an［f,'（/，为）+4）化,（X。，为）=0

＜,即，

£'（公,为‘4）=o［f'（/,为）+（/，为）=。

消去儿,得

于:（%，%）%'（与，为）-K（%,%）加（如为）=°，

整理得f'（的,为）=—于：（%,%）9；（%,%）.（因为y）工o）,

外（如为）

假设工'（%,为）。0,那么刀'（%%）K0.应选（D）.

【评注】此题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.

此题属基此题型，相关定理见?数学复习指南？（经济类）P.170定理1及P.171条

件极值的求法.

12.…【分析】此题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.

【详解】记6=（四,%,.,as）,那么,Aas）=AB.

所以，假设向量组%%，，%线性相关，那么"8）＜s,从而«A8）«r（B）＜s,向量组

Aat,Aa2,,Aa,也线性相关，故应选（A）.

【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有

无非零解进行讨论.

完全类似例题及性质见?数学复习指南？（经济类）P.309【例3.7］，几乎相同试题见

文登2006最新模拟试卷（数学一）P.2（11）.

13【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.

【详解】山题设可得

口10、

B=010A,

、001,

U-10、

而p-'010,那么有C=PApT.故应选(B).

、00"

【评注】（1）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A施行一个初等行（列）

变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.

（2）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.

完全类似例题及性质见文登暑期辅导班?线性代数?第2讲【例12]，？数学复习指南?

（经济类）P.2901例2.19].

14.…【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.

【详解】由题设可得

pRj]〉pg<』，

（y।cy।cr-y

（1⑴（1}⑴

那么2①一一1>2①一-1,即①—>中一.

dI%JI。JI%,

其中①（x）是标准正态分布的分布函数.

又①（X）是单调不减函数，那么即0<b2.

巧力

应选（A）.

【评注】对于服从正态分布N（〃,b2）的随机变量X,在考虑它的概率时，一般先将X

标准化，即日二幺.

a

完全类似例题见文登暑期辅导班?概率论与数理统计?第2讲【例7】和【例8】，？数

学复习指南？（经济类）P.417【例2.7].

15……【分析】第（I）问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含史,0-8型未定式极限;

00

第（H）问需利用第（I）问的结果，含8—8未定式极限.

1-ysin——

【详解】（I）g（x）=lim/（x,y）=lim—------------L

y-yA01+xyarctanx

7

.....fl\-nx、..arctanx-x+...

(H)hmg(xA)=hm--------------=hm-----------------------(通分〕

』-()+XTO"(Xarctanx)工一0*xarctanx

1___1+2x

arctanX—X+TTX1i2-x2+27rx(l+x2)

=lim-----------：---------=limr-------------=lim---------------------二

*->(rx.“0+2Xx-o+2x

【评注】此题为基此题型，注意利用洛必达法那么求未定式极限时，要充分利用等价

无穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第1讲第2节【例2。，？数学复习指南？

经济类P.32【例1.45(1)1P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例340],?考研数学过关基

此题型？(经济类)P.81例14],P.9[例16].

16【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.

【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x的一

次函数，“先x后y”积分较容易，所以

=一|华旨-孙部dy=g

【评注】计算二重积分时，首先画出积分区域的图形，然

后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第10讲第2节[例8],?数学复习指南？

(经济类)P.181【例7.2]，？考研数学过关基此题型？(经济类)P.65【例1】，P.66【例3】

及练习.

17….・【分析】利用“参数变易法"构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.

［详解］令/(%)=xsinx+2cosx+乃x—asina—2cosa—na,Q<a<x<b<7r,

那么/'(x)=sinx+xcosx—2sinx+»=xcosx—sinx+7，且/'(万)=0.

又/B(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,(0<x<xsinx>0),

故当0<aWxW匕</时，/'(x)单调减少，即/'(x)>/'(乃)=0,那么/(x)单调增

加，于是/S)>/(a)=0,即

bsinb+2cosb+7rb>asina+2cosa+/ra.

【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0〃，

另一端即为所作辅助函数/（X）,然后求导验证/（%）的增减性，并求出区间端点的函数值（或极

限值），作比拟即得所证.此题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第8讲第2节【例4】，？数学复习指南?

（经济类）P.2421例10.18],?考研数学过关基此题型？（经济类）P.98【例11】，P.991例

13）及练习.

18【分析】（I）利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；（II）利用定积分计算平

面图形的面积，确定参数.

【详解】（I）设曲线L的方程为y=/（x）,那么由题设可得

了一上=依，这是一阶线性微分方程，其中P（x）=-',Q（x）=at,代入通解公式得

XX

y=eXJoxe+C=x（ar+C）=（zx2+Cx,

又/（l）=0,所以C=—a.

故曲线L的方程为y=ax2-ax（x^0）.

（II）L与直线y=ax[a>0）所围成平面图形如右图所示.

所以

=4（2x-x2）dx=；a=g,

故a=2.

【评注】此题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基此题型.

完全类似例题见?数学复习指南？（经济类）P.1361例5.131,P.1491例5.34】，？考研

数学过关基此题型？（经济类）P.2721例15]及练习8.2.

19….【分析】因为基级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并

结合函数的基级数展开式计算和函数.

（一D'l无2"+1

【详解】记/（尤）=-—,那么

n（2n-1）

(—1)"一+3

”“+iQ)(n+l)(2n+l)

limlim2

“TOO〃“(无)w-

〃(2/一l)

所以当k「<i,即w<i时，所给基级数收敛；当N>I时，所给暴级数发散;

(-1尸(-1)"

当兀=±1时，所给幕级数为均收敛,

n(2n-l)'〃(2〃-1)

故所给幕级数的收敛域为［-1,1］

8/_IX/J-ly2〃+1.(-l)n-'x2n

在(-1,1)内，s(x)=E(；>1「=2/=2町(x)，

Zl=l1)H=1(2n-l)(2n)

，/(幻=1；(—1尸”-21

而M(x)=Z—；——

n=l2〃-1n=l1+x2

1

所以s：(x)-s：(0)=fs：(r)df=[ydf=arctanx,又s：(0)=0,

JOJ()*

于是M'(X)=arctanx.同理

[*-vt.1</

rarctanrX----xarctan%——In1+xf

0lo1+r2'

2

又心(0)=0,所以s,(x)=xarctanx--ln(l+x;

2'

故5(x)=2x2arctanx-xln(l+x2)

由于所给基级数在x=±l处都收敛，且s(x)=2x2arctanx-xln(l+x2)在

X=±l处都连续，所以5。)在》=±1成立，即

.y(x)=2x2arctanin(1+x2),xe［—1,1］.

【评注】此题基级数是缺项幕级数，那么应采用函数项级数求收敛域的方法，属基此题

型.

完全类似例题见文登暑期辅导班?高等数学?第11讲第2节【例12】，【例15］，？数学复习

指南？(经济类)P.2041例8.131,P.2091例8.18】，？考研数学过关根底题型？(经济类)

P.78［例6］,P.81［例9］及练习.

20.........【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵

的行列式为零来确定参数。；用初等变换求极大线性无关组.

【详解】记以%,a2,%%为列向量的矩阵为A,那么

1+a234

12+a34

同==(10+a)a’.

123+a4

1234+a

于是当|A|=0,即a=0或a=-10时，%%%线性相关.

当。=0时，显然四是一个极大线性无关组，且%=2%乌=3',%=4%；

当a=—10时,

234

-834

12-74

、123-6,

—923

由于此时A有三阶非零行列式1-83=-400H0,所以q,《2，%为极大线性无

12-7

关组，且4+%+%+&=0,即4=一«—%-%•

【评注】此题属常规题型.91年，00年和04年均考过.

完全类似例题见文登暑期辅导班?线性代数?第3讲【例1,例2】，？数学复习指南？（经济类）

P.306【例3.2］，？考研数学过关基此题型？（经济类）P.134【例3】.

21….…【分析】由矩阵A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A的一个特征值

和对应的特征向量；由齐次线性方程组Av=0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是

0特征值所对应的特征向量.将A的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q；由

(3T

QTAQ=A可得到A和A--E

\2;

【详解】（I）因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以

3

A13

那么由特征值和特征向量的定义知，4=3是矩阵A的特征值，a=（l,l,l）T是对

应的特征向量.对应;I=3的全部特征向量为ka,其中攵为不为零的常数.

又由题设知Aax-0,Aa2=0,即4四=0-%，A4=。。2，而且四,见线性无

关，所以2=0是矩阵A的二重特征值，％是其对应的特征向量，对应4=0的全

部特征向量为ki%+k1,其中匕,总为不全为零的常数.

（II）因为A是实对称矩阵，所以a与四,％正交，所以只需将四,a2正交.

取B\=a、,

0-12

-3

-12

~60

1-1

再将。，片〃单位化，得

1)

11

?3

.正

a1A

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