2023年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰角俯角试题解析试卷

第第1页〔共79页〕2023年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰角俯角一．试题〔60小题〕12023•巴中如图点BC在边长为1的正方形网格格点上以下结论错误的选项是〔 〕A．sinB=1 B．sinC=2√532C．tanB=12

5D．sin2B+sin2C＝122023•桂林〕如图，在平面直角坐标系内有一点P〔4，连接O，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是〔 〕3 4A． B．4 3

3 4C． D．5 532023•淄博〕如图，在R△ABCAC90CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．假设BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为〔 〕3 √5 45B． C．55 5

2√5D．54〔2023•黑龙江〕ABCAC＝9°，点D在AB的延长线上，连接C，假设AB＝2BD，tan∠BCD=2，则𝐴𝐶的值为〔 〕3 𝐵𝐶1 3B．2 C． D．2 252023•宜宾〕如图，在ABC中，点O是角平分线A、BE的交点，假设BC＝12，则tan∠OBD的值是〔 〕1A． B．22

√6C．3

√6D．462023•玉林如图△ABC底边BC上的高为1PQR底边QR上的高为h则〔 〕h1＝h2C．h1＞h2h1＜h2D．以上都有可能72023•广东〕AB⊙O的直径，点CAABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为〔 〕A．√3 B．2√3 C．1 D．282023•宜昌〕如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则coABC的值为〔 √2 √2 4 2√23A．3 B．2 C． D．33492023•绍兴〕R△ABCBA＝9co=1，点D是边BC的中点，以4

𝐶𝐸

的值〔 〕𝐴𝐷．A 3 B．√3 C．√15．2 2

D．211〔2023•绵阳〕ABCC90°，

+ 1 =5𝑡𝑎𝑛𝐴

𝑡𝑎𝑛𝐵

，∠CAB2于点D，且CD＝2√2，斜边AB的值是 ．12023•海南〕ABC的顶点C的坐标分别是10√ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 ．1〔2023•乐山〕如图，点〔3，点B为直线＝2上的一动点，点0n，﹣2＜n＜3，AC⊥BCCABABx正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．1〔2023•广东〕如图，在RABC＝9°，作BC的垂直平分线交AC于点ACECE＝AB．AE＝1，求△ABD的周长；3AD=1BD，求tan∠ABC的值．351〔2023•上海〕ABDABB＝C4coAB=4BF为5AD边上的中线．AC的长；求tan∠FBD的值．1〔2023•长春〕如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．AB两点间的距为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度〔BC的长〕为〔 〕30A．30sinα米 B．

30米 C．30cosα米 D． 米𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼1〔2023•十堰〕如图，小明利用一个锐角是30旗杆之间的水平距离BC为1mAB为1.〔即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是〔〕22A〔1√3+〕m B．√m C．1√m D〔√3+3 m22〕1〔2023•随州〕如图，某梯子长10α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向5，则梯子顶端上升了〔墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，sinα＝cosβ=3 〕5，则梯子顶端上升了〔A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米1〔2023•温州〕图1是第七届国际数学教育大会ICM〕会徽，在其主体图案中选择2所示的四边形OABC．假设AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为〔 〕A．1 +1 B．sin2α+1 C．1

+1 D．cos2α+1𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼12023•遵义〕小明用一块含有6°〔DAE60°〕的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如以下图，假设小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为，则这棵树的高度约为〔结果准确到0.，参考数据：√3≈1.73〕22023•梧州〕某市跨江大桥马上竣工，某学生做了一个平面示意图〔如图，点A到桥的距离是40＝83°，则大桥BC的长度是〔结果准确到1米〔参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14〕2〔2023•娄底〕驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCDABBACB＝B作ADA点的视觉错觉点，sinα＝0.05，AB＝300mmAA′＝mm．第6页〔共79页〕第第10页〔共79页〕2〔2023•衢州〕图1是某折叠式靠背椅实物图，图2CEAD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可HHDHCD的中点，FA，EBFA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．CE的长度为cm．3，椅子折叠时，连杆HDHAD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD30°时，A，B两点间的距离为cm〔结果准确到0.c．〔参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27〕2〔2023•荆州〕如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图ABC可分别绕点B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 c〔结果保存小数点后一位，参考数据sin7°≈0.94，√3≈1.73〕2〔2023•金华〕如图1BC上的点P处安装一平面镜，BCMNDAP反射后，MNEAB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．ED的长为．将木条BC绕点B按顺时针方向旋转确定角度得到B′〔如图，点PP′，BCMNDAPMN上EDD′＝5EE′的长为．2〔2023•湘潭猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的构造．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进展了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，120BA60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点D的俯角为3AD的高度〔结果保存整数，√2≈1.41，√3≈1.73〕2〔2023•鄂尔多斯〕①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面构造示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板ABCCB＝35mmABCCDD转动，∠CDE＝60°．DC＝7°时，求点A到直线DE的距离〔计算结果准确到个位；〔1〕中∠DCB＝7090CDD逆时针旋转，BDECD旋转的角度．tan26.6°≈0.5，√3≈1.7〕2〔2023•永州〕ABC中，角BC的对边分别为a、、，边角总满足关𝑎系式：𝑠𝑖𝑛𝐴

= 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑐=𝑠𝑖𝑛𝐶．=〔1〕1a＝6，∠B＝45°，∠C＝75b的值；〔2某公园预备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥C〔如图2所示CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB=5√3CD的长度．22023•绥化实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60A＝32cBD75C84cD＝70c支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？〔用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.732〕22023•南京如图，为了测量河对岸两点AB之间的距离，在河岸这边取点DA，B，C，DA，B两点之间的距离．〔tan110.3，tan5°11.5〕3〔2023•盐城〕某种落地灯如图1AB为立杆，其高为8cBCB旋转，其中BC54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调整CD的长度．支杆BC与悬DE之间的夹角∠BCD60°．2BCCD50cmD距离地面的高度；在图2所示的状态下，将支杆BCB20°，同时调整CD的长〔如图3，此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为9c，求CD〔结果准确到1c，tan40°≈0.84〕3〔2023•山西〕某公园为引导游客观光巡游公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如以下图，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距〔结果准确到0.1csin7°≈0.9cos70.2tan73.7√2≈1.41．3〔2023•台州〕图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2杆AB垂直于地面CD固定在支撑杆上的点ED＝80c，求活动杆端点D离地面的高度D〔结果准确到csin4°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11〕32023•陕西〕一座吊桥的钢索立柱ADAB的长度．他们测得∠ABD30B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，觉察∠ACD45BC之间的距离约为1．B、DA⊥B．求钢索AB〔结果保存根号〕3〔2023•江西〕图12是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同始终线上，枪身BA与额头保持垂直．量得的长度，枪身B＝8.c．求∠ABC的度数；测温时规定枪身端点A与额头距离范围为～c2∠BMN＝68.650cmA与小红额头的距离是〔结果保存小数点后一位〕1.414〕3〔2023•临沂〕如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在CACM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70AC处的儿童〔结果保存整数〕？0.34，tan70°≈2.75〕3〔2023•嘉峪关如图1〔1535年，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数ADB在同一条直线上．AB两点的距离为问题解决：求宝塔CD的高度〔结果保存一位小数．tan58°≈1.60．依据上述方案及数据，请你完成求解过程．37〔2023•宁波〕我国纸伞的制作工艺格外奇异．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈DD”的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，BADBAC＝140AB的长．当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．〔参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75〕3〔2023•绍兴AB固定，AB50cmBC70cmCD60cmB，C是转动点，且AB，BCCD始终在同一平面内．转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长〔准确到1csin5°≈0.cos50.．lA110cmMBCCD，手DM？请说明理由．3〔2023•安徽AEFDB、CEF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．42023•连云港我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地AD1.2mDH＝1.2m．如图1BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海COHCABAD的夹角∠BAD＝22O到DH的距离；如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46mOODH的距离．5≈15，tan22°≈2〕

5 4 816 5第第16页〔共79页〕4〔2023•德州〕某商场预备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，原楼梯长为5米调整后的楼梯会加〔 〔参考数据sin3≈3cos3≈4tan3°5 54≈3．4A．6米 B．3米 C．2米 D．1米4〔2023•潍坊〕如图，一束水平光线照在有确定倾斜角度的平面镜上假设入射光线与出光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是〔 〕A．15° B．30° C．45° D．60°4〔2023•衡阳如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图AB的倾斜角为大厅两层之间的距离BC为6ABsin30.cos3°≈0.，tan3°0.7〔 〕A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米4〔2023•金华〕如图是一架人字梯，AA＝2米AC与地面BC的夹角为，两梯脚之间的距离BC为〔 〕4A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D． 米𝑐𝑜𝑠𝛼4〔2023•无锡〕一条上山直道的坡度为1，沿这条直道上山，每前进100米所上升高度为 米．4〔2023•山西〕太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2023年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12〔i为铅直高度与水平宽度的比．王教师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米秒的速度用时40秒到达扶梯顶B，则王教师上升的铅直高度BC为 米．4〔2023•巴中B的位置如以下图，AC＝12m，坡角α30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27C处，且与地面的夹角为60°，A、D在同一平面上〔结果准确到0.sin20.4cos2°≈0.8，tan20.5√3≈1.73〕AB的高度；CD的长度．第第18页〔共79页〕34〔2023•兴安盟〕如图，在山坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆A〔即A⊥M，为固CDBCBD，它们的长度相等，测得AC＝6米，tan∠BCA=4，∠PAN＝30DAB的距离．34〔2023•徐州〕如图，斜坡ABBA＝1ADDE，DE所在的直线垂直于ACF，EDFABAD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．求AE的长〔结果取整数；冬至日正午，经过点DAC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前HABEH的最小值为多少〔结果取整数〕？参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．A三角函数13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.6250〔2023•广安〕图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．跑步机手柄ABDE平行，踏板CD1.5m，CDDE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为AC＝7°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离〔0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73〕5〔2023•济南〕135m的A处测得试验N4340mB处，又测得试验田左侧边界M处俯角为3N〔〔tan40.sin4°≈0.，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保存整数〕A．188m B．269m C．286m D．312m52〔2023•日照〕ABB30mCECCE20mDDA30°，斜坡的斜面坡度1√ABCDEAB〔〕A〔1√3+20mB1√31mC．2√m D4m5〔2023•深圳〕如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为3°，向前走了15点E即E＝15E处看点D的仰角为6CD的长用三角函数表示〔〕A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°5〔2023•泰安〕如图，为了测量某建筑物BCBAAD130DD处EEC60°，建B45A、B、C、D、EADi＝1：2.4BC〔√3≈1.73〔A．136.6米B．86.7米 C．186.7米D．86.6米5〔2023•重庆〕如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和N．8CM60CMA的水平CB30mFFNDFE为50m，测得山坡DFi＝1：1.25．假设ND=5DE，点C，B，E，F在同一水平线上，8则两个通信基站顶端M与顶端N〔√2≈1.41√3≈1.73〔〕A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m5〔2023•重庆〕AB左侧距楼底B点水平距离150米的C坡CD的坡度〔或坡比〕为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米〔点A，B，CDE在同一平面内，在点D处测得建筑物顶A点的仰角为5°，则建筑物AB的高度约为〔 〕〔参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19〕A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米5〔2023•百色〕数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．无人机飞到点P处时与平台中心O点的水平距离为15米测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为 米．5〔2023•阜〕如图，甲楼高2，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是4°，看乙楼底的俯是3°，则乙楼高度约为 m〔结果准确到m√3≈1.7．5〔2023•赤峰〕某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头CA50B45C处的高度CD为238米，点AB在同始终线上，则雪道AB的长度为 米〔结果整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19〕60〔2023•烟台〕数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为 米．〔1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73〕2023年中考真题解直角三角形解直角三角形的应用坡度坡角仰角俯角一．试题〔60小题〕

参考答案与试题解析12023•巴中如图点BC在边长为1的正方形网格格点上以下结论错误的选项是〔 〕3A．sinB=132C．tanB=12

sinC=2√55D．sin2B+sin2C＝15A=2+22=2A=2+12=B=2+32=√10，∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴sinB=𝐴𝐶=√2

=√5，sinC=𝐴𝐵=2√2=2√5，tanB=𝐴𝐶=

√2=1，sin2B+sin2C= 𝐵𝐶

√10

𝐵𝐶

√10

𝐴𝐵

2√2 2(√5)2+(2√5)2=1，5 5应选：A．22023•桂林〕如图，在平面直角坐标系内有一点P〔4，连接O，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是〔 〕3 4A． B．4 3

3 4D．5 5【解答】PA⊥xA，如右图．∵〔34，∴OA＝3，AP＝4，∴OP=√32+42=5，∴sinα=𝐴𝑃=4．𝑂𝑃 5应选：D．32023•淄博〕如图，在R△ABCAC90CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．假设BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为〔 〕3 √5 45B． C．55 5

2√55【解答】解：连接BF，∵CEAB上的中线，EF⊥AB，∴EFAB的垂直平分线，△ ∴SAFE＝SBFE＝5，∠FBA＝∠A△ ∴SAFB＝10=1AF•BC，△ 2∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF=√52−42=3，2∵CE＝AE＝BE=1AB，2∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，=5，∴sin∠CEF＝sin∠FBC=𝐶𝐹 3=5，应选：A．4〔2023•黑龙江〕如图，在ABC中，AC＝9°，点D在AB的延长线上，连接假设AB＝2BD，tan∠BCD=2，则𝐴𝐶的值为〔 〕3 𝐵𝐶1 3B．2 C． D．2 2DDM⊥BCCBM，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，𝐵𝐷∴𝐴𝐵

=𝐵𝑀𝐵𝐶

=𝐷𝑀，𝐴𝐶∵AB＝2BD，𝐵𝐷∴𝐴𝐵

=𝐵𝑀𝐵𝐶

𝐷𝑀 1=𝐴𝐶=2，=Rt

△tan∠MCD=2=𝐷𝑀DM＝2kCM＝3k，𝐵𝑀 1𝐵𝐶=2

3=𝐷𝑀，𝐴𝐶

𝐶𝑀∴BC＝2k，AC＝4k，𝐴𝐶∴𝐵𝐶

=4𝑘2𝑘

=2，应选：B．52023•宜宾〕如图，在ABC中，点O是角平分线A、BE的交点，假设BC＝12，则tan∠OBD的值是〔 〕1A．2【解答】解：如图：

√6C．3C．

√6D．4OF⊥ABF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴依据勾股定理得：AD=√100−36=8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．OD＝OF＝xAO＝8﹣x，在Rt△AOF中，依据勾股定理得：〔8﹣x〕2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．Rt△OBD中，tan∠OBD=𝑂𝐷=3=1．𝐵𝐷 6 2应选：A．62023•玉林如图△ABC底边BC上的高为1PQR底边QR上的高为h则〔 〕h1＝h2C．h1＞h2h1＜h2D．以上都有可能【解答】解：如图，分别作出△ABCBCADh1，△PQRQR上的PEh2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，应选：A．72023•广东〕AB⊙O的直径，点CAABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为〔 〕第27页〔共79页〕第第46页〔共79页〕A．√3 B．2√3 C．1 D．2【解答】DDT⊥ABT．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB=

𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠30°

=3=2√3，2解法二：AD＝2DT由此处开头，可以在Rt△ADTAT=√3，再由垂径定AB＝2AT得解．应选：B．82023•宜昌〕如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则coABC的值为〔 〕√2 √2 4 2√23A．3 B．2 C． D．33【解答】解：法一、如图，Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB=√𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=√32+32=3√2，∴cos∠ABC=𝐵𝐷=

3 2=√3√2 2．=√应选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，2．∴cos∠ABC＝cos45°=√22．应选：B．492023•绍兴〕R△ABCBA＝9co=1，点D是边BC的中点，以4AD

𝐶𝐸

的值〔 〕𝐴𝐷3 √152A． B．√3 C．22

D．2DEACT,EEH⊥CDH．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,4∴cos∠ECH＝cosB=1,4𝐶𝐻 1∴𝐸𝐶=4,𝐸𝐶∴𝐴𝐷

=𝐸𝐶𝐶𝐷

=2,应选：D．11〔2023•绵阳〕ABCC90°，于点D，且CD＝2√2，斜边AB的值是 3√5

1+𝑡𝑎𝑛𝐵=+

5，∠CAB2【解答】解：如图，∵∠C＝90°，∠CABDCD＝2√2，∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，∵tanA=

tanB=𝐴𝐶 1 + 1 =5𝐴𝐶，

， ，𝐵𝐶2𝑡𝑎𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐵𝐵𝐶2𝐴𝐶∴𝐵𝐶

𝐵𝐶 5+2𝐴𝐶= ，+22𝐴𝐶2𝐵𝐶 2=52即𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 ，又∵AC2+BC2＝AB2，𝐴𝐵2 5∴ = ，𝐴𝐶⋅𝐵𝐶 2Rt△ADE中，AE=

𝐷𝐸 = 2 ，Rt△BDF中，BF=

𝑡𝑎𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴𝐷𝐹 = 2 ，𝑡𝑎𝑛𝐵 𝑡𝑎𝑛𝐵∴AC•BC＝〔2

2 〔2 2 〕＝4〔1＝4〔2＝18，

𝑡𝑎𝑛𝐴1 1 1〕𝑡𝑎𝑛𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐵52〕

𝑡𝑎𝑛𝐵𝐴𝐵2=5∴18 2∴AB2＝45，故答案为：3√5．12023•海南〕ABC的顶点C的坐标分别是10√ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 〔4，√3〕．AAG⊥xxG．∵、C的坐标分别是，0√，∴OC=√3，OB＝1，∴BC=√12+(√3)2=2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB=

𝐵𝐶

=2==2√3．3∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG=𝐴𝐺=𝑂𝐵=1，cos∠ABG=𝐵𝐺=𝑂𝐶=√3，𝐴𝐵

𝐵𝐶 2

𝐴𝐵

𝐵𝐶 2∴AG=√3，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是4√．1〔2023•乐山〕如图，点〔3，点B为直线＝2上的一动点，点0n，﹣2＜n＜3，AC⊥BCCABABx正半轴所夹的锐角为α，那么当1sinα的值最大时，n的值为 2 ．AAM⊥yMAN⊥BNN，y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα=𝐴𝑁= 5值最大，𝑁𝐵 𝑁𝐵BNBG最大时，tanα最大，BG最大时，sinα的值最大，BG＝y，AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，𝐶𝑀∴

𝐵𝐺

= 𝑦𝐴𝑀

𝐶𝐺，即4

𝑛2 ，∴y=

1〔n﹣3〔+2，44∵1＜0，44n=1〔3﹣2〕=1时，y取得最大值，2 22n=1，21故答案为：．21〔2023•广东〕如图，在RABC＝9°，作BC的垂直平分线交AC于点D，ACECE＝AB．AE＝1，求△ABD的周长；3AD=1BD，求tan∠ABC的值．3〕如图，连接B，设BC垂直平分线交BC于点，∴BD＝CD，△△＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝CE，△∴CABD＝AC+CE＝AE＝1，△故△ABD1．〔2〕AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，Rt△ABD中，AB=√𝐵𝐷2−𝐴𝐷2=√(3𝑥2−𝑥2=2√2𝑥．∴∠ = ∴∠ = 𝐴𝐵

4𝑥 =√2．2√2𝑥51〔2023•上海〕ABDABB＝C4coAB=4BF为5AD边上的中线．AC的长；求tan∠FBD的值．𝐴𝐵 〕AB，co∠AB=𝐶=4，B＝，𝐴𝐵 ∴AB＝10，Rt△ACB中，由勾股定理得，AC=√𝐴𝐵2𝐵𝐶2=√10282=6，AC6；〔2〕如图，CFFBDE，∵BFAD边上的中线，FAD的中点，2∴CF=1AD＝FD，2Rt△ACD中，由勾股定理得，AD=√𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=√62+42=2√13，CFD为等腰三角形，FE⊥CD，2∴CE=1CD＝2，2Rt△EFC中，EF=√𝐶𝐹2−𝐶𝐸2=√13−4=3，∴tan∠FBD=𝐹𝐸= 3 =3．𝐵𝐸 𝐵𝐶+𝐶𝐸 10解法二：∵BFAD边上的中线，∴FAD中点，∵FE⊥BD，AC⊥BD，∴FE∥AC，∴FE是△ACD的中位线，∴FE=1AC＝3，CE=1CD＝2，2 2∴在Rt△BFE中，tan∠FBD=𝐹𝐸= 3 =3．𝐵𝐸 8+2 101〔2023•长春〕如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．AB两点间的距为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度〔BC的长〕为〔 〕30A．30sinα米 B．

30米 C．30cosα米 D． 米𝑠𝑖𝑛𝛼【解答】解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα=𝐵𝐶=𝐵𝐶，

𝑐𝑜𝑠𝛼𝐴𝐵 30米．应选：A．1〔2023•十堰〕如图，小明利用一个锐角是30旗杆之间的水平距离BC为1mAB为1.〔即小明的眼睛与地面的距离，那么旗杆的高度是〔〕22A〔1√3+3〕m B．√m C．1√m D〔√3+3〕m22【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，3∴DA•ta∠EA＝1×35√m，3∴CCD＝√3应选：D．1〔2023•随州〕如图，某梯子长10α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向5，则梯子顶端上升了〔墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，sinα＝cosβ=3 〕5，则梯子顶端上升了〔A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【解答】解：如以下图，5在RABCA＝si×A=3×0〔米；55在R△DECD＝coβD=3×0=〔米E=𝐸2−𝐶2=√0−685〔米；∴AE﹣A8﹣＝〔米应选：C．1〔2023•温州〕图1是第七届国际数学教育大会ICM〕2所示的四边形OABC．假设AB＝BC＝1，∠AOB＝αOC2的值为〔〕A．1

+1 B．sin2α+1 C．1

+1 D．cos2α+1𝑠𝑖𝑛2𝛼【解答】解：∵AB＝BC＝1，

𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑂𝐵Rt△OAB中，sinα=𝐴𝐵，𝑂𝐵∴ = ，OB ∴ = ，𝑠𝑖𝑛𝛼Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，1∴OC2＝〔

〕2+12= 1 +1．𝑠𝑖𝑛2𝛼应选：A．12023•遵义〕小明用一块含有6°〔DAE60°〕的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如以下图，假设小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为，则这棵树的高度约为8.5m〔结果准确到0.据：√3≈1.73〕【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，ABCD是矩形，∵BC＝4m，AB＝1.62m，∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，∴EA•tan6°×√3=4√〔m，∴CE＝ED+DC＝4√3+1.62≈8.5〔m〕8.5m．故答案为：8.5．22023•梧州〕某市跨江大桥马上竣工，某学生做了一个平面示意图〔如图，点A到桥的距离是40米，测得＝8°，则大桥BC的长度是 326 米〔结果准确到1米〔参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14〕【解答】解：由题意，在Rt△ABC中，∵AC＝40米，∠A＝83°，tanA=𝐵𝐶，∴BC＝tanA•AC≈8.14×40＝325.6≈32〔米．2〔2023•娄底〕驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCDABBACB＝B作ADA点的视觉错觉点，sinα＝0.05，AB＝300mmAA′＝15mm．【解答】解：∵BA”⊥AD，AD∥BC，∴A”B⊥BC，∴∠A”BC＝∠ABE＝90°，∴∠ABA”＝∠CBE＝α，∵sin∠A”BA＝sinα=𝐴𝐴′=0.05，∴A＝300×0.0＝1m，故答案为：15．2〔2023•衢州〕图1是某折叠式靠背椅实物图，图2CEAD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可HHDHCD的中点，FA，EBFA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．CE的长度为40cm．3，椅子折叠时，连杆HDHAD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD30°时，A，B两点间的距离为12.5cm〔结果准确到0.c．〔参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27〕〕CA，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，𝐵𝐸∴𝐶𝐸=

𝐴𝐹𝐴𝐵，45∴𝐶𝐸

=54，48∴C＝4〔c，故答案为：40；〔2〕2AD，BEN，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐴𝐵{𝐴𝐵=𝐴𝐵 ，∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐴𝐵𝑁=90°∴AB≌BA〔AS，∴BA＝5〔c，∴E＝〔c，∵tanN=𝐷𝐸=𝐴𝐵，𝑁𝐸 𝐵𝑁𝐷𝐸=48∴9 54，∴D8〔c，∴C32c，HCD的中点，∴CD＝1〔c，∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，𝐶𝑂∴𝑂𝐵

=𝐶𝐷𝐴𝐵

32 2=348= ，=33CDHHP⊥CDP，∵HC＝HD，HP⊥CD，2∴∠PHD=1∠CHD＝15°，CP＝DP，2∵∠ sin ∵∠ 𝐷𝐻

=sin15°≈0.26，∴P160.2＝4.1c，∴C2P＝8.3〔c，∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，𝐶𝐷∴𝐴𝐵

=𝐶𝑂=2，𝑂𝐵 3，=8.32 2=3∴𝐴𝐵 ，3∴A＝12.4≈12.c，故答案为：12.5．2〔2023•荆州〕如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图ABC可分别绕点B转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时点C到AE的距离为 6.3 c结果保存小数点后一位参考数据sin7°≈0.9，√3≈1.73〕B、CAEM、NCCD⊥BMD，Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，2∴B＝sin6°•A=316＝√〔c，2∠ABM＝90°﹣60°＝30°，Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴B＝sin7°80.98＝7.5〔c，∴CD＝B﹣B√3−7.52≈6.〔c，CAE6.3cm，故答案为：6.3．2〔2023•金华〕如图1BC上的点P处安装一平面镜，BCMNDAP反射后，MNEAB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．ED的长为13．将木条BC绕点B按顺时针方向旋转确定角度得到B′〔如图，点PP′，BCMNDAPMN上EDD′＝5EE′的长为11.5．〕AP＝EPB＝ED90°，∴△ABP∽△EDP，𝐴𝐵∴𝐷𝐸

=𝐵𝑃，𝑃𝐷∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，6.5 4∴ = ，𝐷𝐸 8∴DE＝13；故答案为：13．〔2〕2E′作∠E′FD′＝∠E′D′FEE′G⊥BCG，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，𝐴𝐵∴

=𝐵𝑃′即，6.5= 4，𝐸′𝐹

𝑃′𝐹 𝐸′𝐹 𝑃′𝐹P′F＝4mE′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，，∴cos∠BD′D=5，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D=∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，

𝐺𝐷′=5，𝐸′𝐷′ 13，∴4+4m+2.5m+2.5m＝13m＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．2〔2023•湘潭猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的构造．某数学小组为了测量万楼主楼高度，进展了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，120BA60°，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点D的俯角为3AD的高度〔结果保存整数，√2≈1.41，√3≈1.73〕【解答】解：由题意可得，Rt△ABE中，∵AB＝120米，∠ABE＝60°，∴B=1𝐵=1×060〔米A＝sin6°•A=√3×0=0√〔米，2 2 2Rt△CDE中，DCE30CB+C60+390〔米，3∴D＝tan3C=√3×030√〔米，3∴AAD＝6√3−√33√3≈52〔米．AD52米．2〔2023•鄂尔多斯〕①托板上，图②AB＝115mmCD＝70mm，板ABCCB＝35mmABCCD可绕点D转动，∠CDE＝60°．DC＝7°时，求点A到直线DE的距离〔计算结果准确到个位；〔1〕中∠DCB＝7090CDD逆时针旋转，BDECD旋转的角度．tan26.6°≈0.5，√3≈1.7〕〔〕过点C作C∥D，过点A作ACG于，过点C作C⊥DE于点F，∵∠ = ，在Rt△CDF中，∵∠ = ，𝐶𝐷2∴CC•sin6°＝7×335√3≈59.5mm．2∵∠DCB＝70°，∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．中，∵∠ = ，∵∠ = ，𝐴𝐶∴AA•siAC＝1135〕sin5°800.86m．∴点A到直线DE的距离为A+C59.5+6＝123.12m．〔2〕如以以下图所示，虚线局部为旋转后的位置，BB′，C的对应点为C′，B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．Rt△B′C′D中，∵tan∠B′DC′=𝐵′𝐶′=35=0.5，tan26.6°≈0.5，𝐷𝐶′ 70∴∠B′DC′＝26.6°．2〔2023•永州〕ABC中，角BC的对边分别为a、、，边角总满足关𝑎系式：𝑠𝑖𝑛𝐴

= 𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵

𝑐=𝑠𝑖𝑛𝐶．=〔1〕1a＝6，∠B＝45°，∠C＝75b的值；〔2某公园预备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥C〔如图2所示CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB=5√3CD的长度．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵𝑎 = 𝑏 = 𝑐 ，𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶∴6 = 𝑏 ，𝑠𝑖𝑛60° 𝑠𝑖𝑛45°∴b＝2√6；〔2〕∵

𝐴𝐵

= 𝐴𝐶，𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐵10∴ 5√314

14𝑠𝑖𝑛𝐵，2，∴sinB=√32，∴∠B＝60°，𝐵𝐷∴tanB=𝐶𝐷=√3，𝐵𝐷3∴BD=√3CD，3∵AC2＝CD2+AD2，3∴196＝CD2+〔10−√3CD〕2，3∴C√，C＝√〔舍去，∴CD8√3米．22023•绥化实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60A＝32cBD75C84cD＝70c支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？〔用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√31.732〕【解答】解：方法一：如图1DDM⊥EFMDDN⊥BABA延长N，在RABCAB60A＝3〔c，2∴BA•cos6°3×1=16〔c，2∵D84c，∴BDB＝84+110〔c，∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，∴DM∥FN，∴∠MDB＝∠ABC＝60°，𝐵𝐷，Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°=𝐷𝑁𝐵𝐷，2∴D=3×100＝5〔cm，2∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，MFND是矩形，∴DN＝MF＝50√3，∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，∵D70〔c，∴M＝D•si∠ED7sin1°18.〔c，∴E＝M+M＝53+18.2104.≈10〔c，EEF105cm．G，在RABCAB60A＝3〔c，2∴BA•cos6°3×1=16〔c，2∵D84c，∴BDB＝84+110〔c，DB•sin6°5〔c，∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，∴∠BDH＝30°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，∴D＝D•sin1°18.〔c，∴G＝DD＝18.2+5√3≈104.≈10〔c，∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，∴EG≈10c，EEF105cm．22023•南京如图，为了测量河对岸两点AB之间的距离，在河岸这边取点DA，B，C，DA，B两点之间的距离．〔tan110.3，tan5°11.5〕BBE⊥CDEAAF⊥BEF，如图：∵∠BCD＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，CE＝xBE＝x，∵CD＝80m，∴DE＝〔80﹣x〕m，∴tan56°19”=𝐵𝐸，即

=1.5，𝐷𝐸 80𝑥解得＝4m，∴BE＝CE＝48m，𝐶𝐷，即∴tan19°17”=𝐴𝐶 𝐴𝐶𝐶𝐷，即80AC＝28m，

=0.35，∵∠ACD＝90°，BE⊥CDE，AF⊥BE，ACEF是矩形，∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，∴BF＝BE﹣EF＝20m，R△ABFA=𝐹2+𝐹2=2+2=52〔，答：A，B52m．3〔2023•盐城〕某种落地灯如图1AB为立杆，其高为8cBCB旋转，其中BC54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调整CD的长度．支杆BC与悬DE之间的夹角∠BCD60°．2BCCD50cmD距离地面的高度；在图2所示的状态下，将支杆BCB20°，同时调整CD的长〔如图3，此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为9c，求CD〔结果准确到1c，tan40°≈0.84〕〕过点D作DBC于F，∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，2∴FC×cos6°5×12〔c，2∴AAB﹣C84+5﹣2＝11c，D113cm；〔2〕3CCGG，过点BBN⊥CGN，过点DDM⊥CGM，∵BC＝54cm，∴CB×cos2°5×0.9＝50.7c，∴M＝C+MC＝50.76+9﹣50.7﹣8＝c，∴C＝CM＝44.7cm，∴CD=

𝐶𝑀𝑐𝑜𝑠40°

6 58c，= 0.77= 答：CD58cm．3〔2023•山西〕某公园为引导游客观光巡游公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如以下图，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，DEFGDE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点AEF的距〔结果准确到0.1csin7°≈0.9cos70.2tan73.7√2≈1.41．BP⊥AHPBNMPDEHM均为矩形，如以下图：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，=𝐴𝑃，2∴AP＝AB•sin45°＝100×√2=50√2cm，2𝐵𝐶，=𝐵𝐶，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝50√2+77.6+5≈153.1cm．AEF153.1cm．3〔2023•台州〕图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2杆AB垂直于地面CD固定在支撑杆上的点ED＝80c，求活动杆端点D离地面的高度D〔结果准确到csin4°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11〕【解答】DDG⊥AEGGBFD，∴DF＝GB，在Rt△GDE中，DE＝80cm，∠GED＝48°，∴GD×cos4°≈80.6＝53.〔c，∴GGB＝53.6+11＝163.≈16c．∴DG＝16c．答：活动杆端点D离地面的高度DF为164cm．32023•陕西〕一座吊桥的钢索立柱ADAB的长度．他们测得∠ABD30B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，觉察∠ACD45BC之间的距离约为1．B、DA⊥B．求钢索AB〔结果保存根号〕【解答】解：在△ADC中，设AD＝xm，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝xm，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，3∴AD＝BD•tan30°，=3解得：x＝〔8√3+8〕m，∴AB＝2AD＝2×〔8√3+8〕＝〔16√3+16〕m，AB的长度为〔16√3+16〕m．3〔2023•江西〕图12是其侧面示意图，其中枪柄BCMC始终在同始终线上，枪身BA与额头保持垂直．量得MN＝28cm，MB＝42cmMA25.3cm〔即MP的长度，枪身B＝8.c．求∠ABC的度数；测温时规定枪身端点A与额头距离范围为～c2∠BMN＝68.650cmA与小红额头的距离是〔结果保存小数点后一位〕1.414〕〔1〕过点B作BM，垂足为H，过点M作MF，垂足为，过点PPK⊥DEK，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴M＝MH＝25.﹣8.＝16.c，Rt△BMH中，∠ = = cos BMH 𝑀𝐻 16.8 0.4∠ = = 𝐵𝑀 42∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；〔2〕∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°=

=𝑀𝐼𝑀𝑁 28，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PKI﹣M﹣M＝5﹣19.8﹣25.4.9≈4.c，A与小红额头的距离是在规定范围内．3〔2023•临沂〕如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在CACM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70AC处的儿童〔结果保存整数〕？0.34，tan70°≈2.75〕【解答】解：∵CM＝3m，OC＝5m，∴O=𝐶2−𝑀24m，∵∠CMO＝∠BDO＝90°，∠COM＝∠BOD，∴△COM∽△BOD，𝐶𝑀∴𝐵𝐷

=𝑂𝑀3𝑂𝐷

4=3，𝐵𝐷4∴B=92.25m，4𝐷𝑂∴tan∠AOD＝tan70°=𝐴𝐷，𝐷𝑂=𝐴𝐵𝐵𝐷 𝐴𝐵2.25=即𝐷𝑂 3

≈2.75，解得：AB＝6m，A6C处的儿童．3〔2023•嘉峪关如图1〔1535年，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数ADB在同一条直线上．AB两点的距离为问题解决：求宝塔CD的高度〔结果保存一位小数．tan58°≈1.60．依据上述方案及数据，请你完成求解过程．【解答】解：设CD＝xm，在Rt△ACD中，AD=

=

=𝑥，=𝑡𝑎𝑛∠𝐶𝐴𝐷 𝑡𝑎𝑛42° 0.9=∵AD+BD＝AB，

𝐶𝐷𝑡𝑎𝑛∠𝐶𝐵𝐷

𝑥==

𝑥1.6，𝑥∴0.9

+ 𝑥

=58，解得，x≈33.4．33.4m．37〔2023•宁波〕我国纸伞的制作工艺格外奇异．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈DD”的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，BADBAC＝140AB的长．当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．〔参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75〕〕B为A′中点，2∴AB=1AD′,2∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；〔2〕BBE⊥ADE,∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,2∴∠BAE=1∠BAC＝70°,2Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm),∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.4(cm)．D26.4cm．3〔2023•绍兴AB固定，AB50cmBC70cmCD60cmB，C是转动点，且AB，BCCD始终在同一平面内．转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长〔准确到1csin5°≈0.cos50.．lA110cmMBCCD，手DM？请说明理由．〕过点C作CAE于点，过点B作BCP于点，如图：∵∠ABC＝143°，∴∠CBQ＝53°，Rt△BCQ中，CQ＝BC•sin53°≈70×0.8＝56cm，∵CD∥l，∴DE＝CP＝CQ+PQ＝56+50＝106cm．〔2〕B,C,D共线时，如图：BD＝60+70＝130cm，AB＝50cm，在Rt△ABD中，AB²+AD²＝BD²，∴AD＝120cm＞110cm．DM．3〔2023•安徽AEFDB、CEF、DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC＝6cm．求零件的截面面积．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60．【解答】解：如图，AEFD为矩形，∠BAD＝53°，∴AD∥EF，∠E＝∠F＝90°，∴∠BAD＝∠EBA＝53°，Rt△ABE中，∠E＝90°，AB＝10cm，∠EBA＝53°，∴∠ = ≈ = sin EBA 𝐴𝐸 0.80，cos∠EBA ∴∠ = ≈ = 𝐴𝐵 𝐴𝐵∴AE＝8cm，BE＝6cm，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠EBA＝37°，∴∠BCF＝90°﹣∠FBC＝53°，Rt△BCF中，∠F＝90°，BC＝6cm，∴sin∠BCF=𝐵𝐹≈0.80，cos∠BCF=𝐹𝐶≈0.60，𝐵𝐶5 5 5 ∴EF＝6+24=54cm，5

𝐵𝐶∴S四边形

EFD＝A•E×4=2〔c2，5 SAB=1⋅𝐸⋅𝐸=1×8×＝2〔c2，5 △ 2 2SBC=1•BC=1×4×8=6〔c2，△ 2 2 5 5 25∴截面的面积＝S

﹣S

=22−6=539c．四边形EFDA

△ABE

△BCF 5

25 2542023•连云港我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地AD1.2mDH＝1.2m．如图1BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海COHCABAD的夹角∠BAD＝22O到DH的距离；如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46mOODH的距离．516 ≈15，tan22°≈2〕16

5 4 81〕过点B作BC，垂足为，延长AD交BF于，垂足为E，则AE⊥BF，由 ∠ = ，cos BAE 由 ∠ = ，𝐴𝐵∴cos22°=𝐴𝐸，=15 𝐴𝐸=16∴ 4.816

，即AE＝4.5m，𝐴𝐵，∴DA﹣A＝4.﹣0.＝4.〔，sin∠BAE=𝐵𝐸𝐴𝐵，4.8∴𝑠𝑖𝑛22°=𝐵𝐸，4.8=3 𝐵𝐸=8∴ 4.88

BE＝1.8m，𝐶𝐹，∴BB+E1.8+1.3m，又𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝐶𝐹=𝐵𝐹𝐶𝐹，∴𝑡𝑎𝑛37°=

3 CF 4m，即 ＝，，即 ＝，∴CCHCD＝4+4.8.〔，即点O到岸边DH的距离为8.m；𝐴𝐵，〔2〕BBN⊥OHNADBNMM，=𝐴𝐵，4.8，∴𝑐𝑜𝑠53°=𝐴𝑀4.8，=3 𝐴𝑀=5∴ 4.8，5∴D＝AA＝2.8﹣0.＝2.4m，由 ∠ = ，sin BAM 由 ∠ = ，𝐴𝐵4.8∴𝑠𝑖𝑛53°=𝐵𝑀，4.8=4 𝐵𝑀=5∴ 4.85

BM＝3.84m，∴BBM＝3.84+1.＝5.0m，∴𝑁=𝐵2−𝑁2=2−42=√1=m，∴O＝O+H＝OD＝4.5m，O4.58m．4〔2023•德州〕某商场预备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，原楼梯长为5米调整后的楼梯会加〔 〔参考数据sin3≈3cos3≈4tan3°5 54≈3．4A．6米 B．3米 C．2米 D．1米5【解答】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，则BA•siBA≈×3=3〔米，5∴B＝B6〔米，﹣＝〔米应选：D．4〔2023•潍坊〕如图，一束水平光线照在有确定倾斜角度的平面镜上假设入射光线与出光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是〔 〕A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】CDGD．∵EF⊥平面镜，∴CD∥EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，依据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGC=1∠AGB=1×60°＝30°，2 2∴α＝30°．应选：B．4〔2023•衡阳如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图AB的倾斜角为大厅两层之间的距离BC为6ABsin30.cos3°≈0.，tan30.7〔〕A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，∵sin∠BAC=𝐵𝐶=sin37°≈0.6=3，𝐴𝐵 5∴A≈5B=5×6＝1〔米，3 3应选：D．4〔2023•金华〕如图是一架人字梯，AA＝2米AC与地面BC的夹角为，两梯脚之间的距离BC为〔 〕4A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D． 米𝑐𝑜𝑠𝛼【解答】AAD⊥BCD，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα=𝐷𝐶=𝐷𝐶，𝐴𝐶 2∴D2coα〔米，∴B＝D2×2co＝4co〔米应选：A．4〔2023•无锡〕一条上山直道的坡度为1，沿这条直道上山，每前进100米所上升高度为 10√2 米．【解答】x米，1：7，7x米，由勾股定理得：x2+〔7x〕2＝1002，＝1√，2＝1√〔舍去故答案为：10√2．4〔2023•山西〕太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2023年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯ABi＝5：12〔i为铅直高度与水平宽度的比．王教师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米秒的速度用时40100B，则王教师上升的铅直高度BC为 13 米．AC9A＝0.4＝2〔米，ABi＝5：12=𝐵𝐶，BC＝5aAC＝12a米，+22=0〔负值已舍去，∴B=0〔米，10013．4〔2023•巴中B的位置如以下图，AC＝12m，坡角α30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27C60°，A、D在同一平面上〔结果准确到0.sin20.4cos2°≈0.8，tan20.5√3≈1.73〕AB的高度；CD的长度．〕延长BA交CG于点BE⊥CG，Rt△ACE中，∠ACE＝30°，AC＝12m，∴A=1A=1×12＝CACcoα＝1×36√m，2 2 2Rt△BCE中，∠BCE＝60°，∴BC•taBC√3×√318〔，∴AB﹣A18﹣＝1m；〔2〕在Rt△BDE中，∠BDE＝27°，∴CD＝DE﹣CE=

𝐵𝐸𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝐷𝐸

√3≈24.9m．34〔2023•兴安盟〕如图，在山坡AP的坡脚A处竖有一根电线杆A〔即A⊥MCDBCBD，它们的长度相等，测得AC＝6米，tan∠BCA=4，∠PAN＝30DAB的距离．3DDE⊥ABE，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，tan∠BCA=𝐴𝐵=4，𝐴𝐵=4

𝐴𝐶 3则6 3，A＝〔米，B=𝐶2+𝐵2=2+8210〔米，由题意得：BD＝BC＝10米，∵AB⊥MN，DE⊥AB，∴DE∥AN，∴∠EDA＝∠PAN＝30°，AEx米，Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠EDA＝30°，tan∠EDA=𝐴𝐸，∴DE=

𝐴𝐸𝑡𝑎𝑛∠𝐸𝐷𝐴

=√〔米，Rt△BDE中，BE2+ED2＝BD2，即〔8﹣x〕2+〔√3x〕2＝102，，+√，2−√〔舍去，∴DE=√3x＝〔2√3+√39〕米，DAB的距离为〔2√3+√39〕米．4〔2023•徐州〕如图，斜坡ABBA＝1ADDE，DE所在的直线垂直于ACF，EDFABAD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．求AE的长〔结果取整数；冬至日正午，经过点DAC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前HABEH的最小值为多少〔结果取整数〕？参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．A三角函数13°28°32°sinA0.220.470.53cosA0.970.880.85tanA0.230.530.62𝐴𝐷〕在RADF中，coDA=𝐹，𝐴𝐷𝐴𝐸∴AA•co∠DA＝10cos2°10×0.88〔c，Rt△AEF中，cos∠EAF=𝐴𝐹，𝐴𝐸∴AE=

=

=88

91c；𝑐𝑜𝑠∠𝐸𝐴𝐹 𝑐𝑜𝑠13° 0.97〔2〕DGABMAAN⊥DGN，如以下图：∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，𝐹𝐺，，在RADFDAsi∠DA＝10sin2°10×0.4＝4〔c，Rt△DFG中，tan∠DGA=𝐷𝐹𝐹𝐺，，∴tan32°=

47𝐹𝐺∴FG=

47

47==

≈75.8〔c，∴AAF＝88+75.＝163.〔c，在RAGNAAsi∠DG＝163.×sin3°163.0.586.〔c，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴A=√2A≈1.4×86.≈122.〔c，∴E＝A﹣A122.91≈31.c，M、H重合时，EH的值最小，∴EH32cm．50〔2023•广安〕图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．跑步机手柄ABDE平行，踏板CD1.5m，CDDE的夹角∠CDE＝15°，支架AC长为AC＝7°，求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离〔0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，√3≈1.73〕【解答】CFG⊥ABFDEG．∵CDDE的夹角∠CDE15°，∠ACD75°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+15°﹣75°＝30°，∴∠CAF＝60°，2Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF=√3m，2Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE＝1.5•sin15°