2023年第二十届中国东南地区数学奥林匹克高二年级组第一天试题（PDF版含解析）

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浙江·温州

高二年级第一天

2023年7月30日上午8:00-12:00

1.已知正数列{}满足：1=1，=2+√12√1+√1，为数列

{2}的前项和，求2023.

解：因a0，an=2+an121+an1=（1+a

2

nn1

1），

n+1

令bn=1+an，则bn=bn1，bn=2

2

，于是

2023202320232023

S2023=2

nan=2

n(bn1)

2=2n(b2n2bn+1)=2+2

n(bn12bn+1)

n=1n=1n=1n=2

2023

2022

=2+[2n(bn11)2

n+1(bn1)]=2+4(b11)2

2024(b202420231)=62(2

21)

n=2

2.对非空有限复数集合，定义的“陶模”为|∑∈|.给定整数≥3，设集合

22

={cos+isin|=0,1,…,1}.记为的陶模为0的非空子集的

个数，为的陶模为1的非空子集的个数.比较和2的大小.

解：对于1，2，…,n，将Un的陶模为0的j元子集的全体记为Ωj,U的陶模为

1的j元子集的全体记为Γj.

显然|Ω1|=|Ωn1|=0,|Ωn|=1,|Γn|=0，则

an=|Ω2|+|Ω3|++|Ωn2|+1，①

n=|Γ1|+|Γ2|++|Γn1|.②

下面证明

n|Ωj|≤|Γj1|+|Γj+1|(=2,3,…,2).③

22

记wk=cos()+sin()(=0,1,…,1).

对Ωj中的每个集合S，令S对应Γj1∪Γj+1中的n个两两不同的集合

Tk=\{},若wk∈;Tk=∪{},若wk(=0,1,..,1).

不同的S对应的集合没有重复的.事实上，若Γj1∪Γj+1中的一个集合T是按上

述方式被Ωj中的集合所对应,则当|T|=j1时，可唯一确定对应于T的集合为

S=T∪{Σz∈Tz},当|T|=j+1时，可唯一确定对应于T的集合为=

\{Σz∈Tz}.从而当S取遍Ωj中的所有集合时，可对应到Γj1∪Γj+1中的n|Ωj|个两

两不同的集合，从而③成立.

因此，结合①，②，并注意到|Γ1|=|Γn1|=，可知

22

nan=∑n|Ωj|+.

361836343336

(最后一个等号是一个经典的结果.)故我们完成了证明.

{#{ABTQIEogCgAABAABhCUQUiCkMQkBGCCKgGgFAIsAAASRNABAA=}#}第二十届中国东南地区数学奥林匹克

浙江·温州

yuying

高二年级第一天

2023年7月30日上午8：00-12：00

1.设a,b为正实数，证明：

(a3+63+b3)信+后+)+27≥26(a+b+后+日+8+8》

a

2.对非空有限复数集合A,定义A的“陶模”为∑zA2引.给定整数n≥3，设集合

Un={cos2+isin货k=0,1,n-1小，记an为Un的陶模为0的非空子集的

个数，bn为Un的陶模为1的非空子集的个数.比较nan和2b,n的大小

3.如图，在△ABC中，LBAC平分线上的点D满足∠DBA=∠ADC.点E,F在过A且

垂直于AD的直线上，满足AF=FC,AE=EB.设△EAC,△FAB的外接圆交于两点

A,K,记A关于BC的对称点为