第22讲：线性回归方程讲义 高三艺考数学一轮复习

第22讲：线性回归方程【课型】复习课【教学目标】1.了解相关关系、散点图，会判断两变量是否成线性相关关系2.能利用最小二乘法求线性回归方程的两个系数【预习清单】【基础知识梳理】1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．2.散点图：在一个统计数表中,为了更清楚地看出x和y是否具有相关关系,常将x的取值作为横坐标,将y的相应取值作为纵坐标,在直角坐标中描点(xi,yi)(i＝1,2,…,n),这样的图形叫做散点图.3．两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．(3)回归方程为y＝bx＋a，其中b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))·eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))．（4）注意：①自变量每增加1个单位，函数值平均增加或减少个单位。②所以线性回归方程均过点（eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))）.（eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))）称为样本中心点。【引导清单】考向一：相关关系的判断例1：已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【解析】因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b>0，则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．考向二：线性回归方程及其应用例2：已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示：x246810y3671012(1)请根据上表数据在网络纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当x＝20时y的值．参考公式：b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).【解】(1)散点图如图所示：(2)依题意eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，xi2＝4＋16＋36＋64＋100＝220，xiyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5eq\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(272－5×6×7.6,220－5×62)＝eq\f(44,40)＝1.1，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝7.6－1.1×6＝1.所以线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.1x＋1，故当x＝20时，y＝23.x12345y2.93.33.64.45.1【训练清单】u12345v2520211513【变式训练1】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，得表1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，4，5)，得表2.由这两个表可以判断()A.变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y负相关，u与v正相关C．变量x与y负相关，u与v负相关D．变量x与y正相关，u与v负相关【解析】选D.由题可知，随着x的增大，对应的y值增大，其散点图呈上升趋势，故x与y正相关；随着u的增大，v减小，其散点图呈下降趋势，故u与v负相关．【变式训练2】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，计算得＝80，＝20，＝184，＝720.已知家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程为y＝bx＋a，判断变量x与y正相关还是负相关y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄是多少千元？【解析】（1）由题意，知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)＝8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)＝2，∴eq\o(b,\s\up14(^))＝eq\f(184－10×8×2,720－10×82)＝0.3，eq\o(a,\s\up14(^))＝2－0.3×8＝－0.4，∴eq\o(y,\s\up14(^))＝0.3x－0.4，∵0.3>0，∴变量x与y正相关．（2）当x＝7时，eq\o(y,\s\up14(^))＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．【巩固清单】1.下列两变量中不属于相关关系的是 ()A.产品的成本与产量B.家庭的收入与支出C.球的表面积与体积D.吸烟与健康【解析】球的表面积与体积是函数关系.2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是()A.y＝－10x＋200B.y＝10x＋200C.y＝－10x－200D.y＝10x－200【解析】选A.因为商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，所以eq\o(b,\s\up6(^))<0，排除B，D.又因为x＝0时，y>0，所以应选A.3．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()【解析】观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．4．改革开放以来，我国教育事业发展迅速，某省把近10年来农村、县城、地级市和省城每年考入大学的百分比作为因变量，把年份x作为自变量得到四条回归直线．省城y＝2.84x＋9.50，地级市y＝2.52x＋8.35，县城y＝2.31x＋6.76，农村y＝0.42x＋1.80，则四个区域中，大学入学率年增长率最快的区域是()A．省城B．地级市C．县城D．农村【解析】四条回归直线，斜率最大的是省城，故选A.x196197200203204y1367m5．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的回归直线方程为y＝0.8x－155.则实数m的值为()A.8B．8.2C．8.4D．8.5【解析】依题意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(1＋3＋6＋7＋m)＝eq\f(17＋m,5)，因为回归直线必经过样本点的中心，所以eq\f(17＋m,5)＝0.8×200－155，解得m＝8.收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.86．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))．据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【解析】由题意知，eq\x\to(x)＝eq\f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，所以当x＝15时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．7．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的回归直线方程：y＝0.245x＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】x变为x＋1，y＝0.245(x＋1)＋0.321＝0.245x＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．8．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))＝________．x0134y2.24.34.86.7【解析】由已知得x＝2，y＝4.5，因为回归方程经过点(x，y)，所以a＝4.5－0.95×2＝2.6.9．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2－eq\f(1,3)附近波动．经计算eq\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))xi＝11，eq\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))yi＝13，eq\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝21，则实数b的值为________．【解析】令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－eq\f(1,3)，此时t＝eq\f(\o(∑,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i),6)＝eq\f(7,2)，y＝eq\f(\o(∑,\s\up12(6),\s\do4(i＝1))yi,6)＝eq\f(13,6)，代入y＝bt－eq\f(1,3)，得eq\f(13,6)＝b×eq\f(7,2)－eq\f(1,3)，解得b＝eq\f(5,7).10．为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的