2022-2023学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设复数z=1+2iA.−1+3i B.3−i2.为了调查某地高中“课外阅读”的实施情况，某报采用分层抽样的方法从该地的甲，乙，丙三所高中共抽取80名学生进行调查，已知甲，乙，丙三所高中分别有2400，3360，1920名学生，则从甲校中应抽取的人数为(

)A.20 B.25 C.30 D.353.已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45°，上底长为1，下底长为2的等腰梯形A′BA.322 B.3244.已知向量a=(−1,2)，b=(A.−25 B.12 C.−5.一组数据27，12，15，14，31，17，19，23的第70百分位数是(

)A.17 B.19 C.23 D.316.在△ABC中，A=π4，B=A.263 B.3627.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中至多有一次反面朝上”，事件B=“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法不正确的是(

)A.当n=2时，P(AB)=14 B.当n=2时，A与B不独立

C.当n8.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1A.96 B.180 C.252 D.280二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=A.A与B互斥 B.A与D互为对立事件

C.P(C)10.在△ABC中，AD=34AB+A.BD=3DC B.AC=2

C.11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2A.直线AE和直线CC1始终异面 B.直线AC与平面BEF所成角为90°

C.△A12.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，体现了中国人民的劳动智慧：图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形AA.OA+OG=2DO

B.CE在AB方向上的投影向量为−三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，a，b，12，13，19，20(a,b∈N)14.已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且3asinB−b15.已知圆锥的高为2，体积为8π，若该圆锥顶点和底面圆周上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为______．16.甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命中率分别为23和p，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为56.则p的值为______，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为______四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z218.(本小题12.0分)

在一场文艺比赛中，8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．

下面是两组评委对同一名选手的打分：

小组A 44 46 55 47 49 55 51 45

小组B 55 19.(本小题12.0分)

如图，在四面体A−BCD中，平面ABC⊥平面ACD，∠ABD=∠BCD=90°，∠BCA为锐角，E是AB的中点，P是20.(本小题12.0分)

如图，已知O为平面直角坐标系的原点，A(4,0)，点B，C在第一象限，且满足OC=3AB，OA⋅AB=AB⋅BC=21.(本小题12.0分)

记△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知2b=a+c，点D在边AC，BDsinA+bsinC=22.(本小题12.0分)

如图，在正三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=6，AA′=8，动点P在AB′上，动点Q在A′C上，且满足A′Q=2AP=2t，t∈[0,5

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵z=1+2i，

∴z−=1−2i2.【答案】B

【解析】解：∵抽样比为802400+3360+1920=196，

∴从甲校中应抽取的人数为2400×13.【答案】A

【解析】解：根据斜二测画法可知，原图形为直角梯形，其中上底为1，下底为2，高为2，

所以四边形ABCD的面积为12×(1+2)×2=34.【答案】D

【解析】解：由于知向量a=(−1,2)，b=(3,4)，c=2a−λb=5.【答案】C

【解析】解：将数据从小到大排列可得：12，14，15，17，19，23，27，31共8个数，

则8×70%=5.6，则该组数据的第70百分位数是第六个数，即23．

故选：C．6.【答案】A

【解析】解：由于在△ABC中，A=π4，B=5π12，

所以：C=π−π4−5π12=π3，

7.【答案】D

【解析】解：当n=2时，所有基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4种，

A中基本事件有：(正，正)，(正，反)，(反，正)，共3种，

B中基本事件有：(正，正)，(反，反)，共2种，

A∩B中基本事件有：(正，正)，共1种，

∴P(A)=34，P(B)=12，P(AB)=14，故A正确；

∵P(AB)≠P(A)P(B)，∴事件A与事件B不独立，故B正确；

当n=3时，所有基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种，

A中基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共4种，

B中基本事件有：(正，正，正)，(反，反，反)，共2种，

A∩B中基本事件有：(正，正，正)，共1种，

A∪B中基本事件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(8.【答案】C

【解析】解：由题意，分别过A1，B1，C1，D1作平面ABCD的垂线，垂足分别为A2，B2，C2，D2，

在平面AA1B1B内，过A1作AB的垂线，垂足为O，连接OA2，如图，

∵A1A2⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴A1A2⊥AB，

∵A1O⊥AB，A1O∩A1A2=A1，∴AB⊥平面A1A2O，

∵A2O⊂平面A1A2O，∴AB⊥A2O，

在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上下底面相似，设其相似比A1B1AB=λ，

设AB=a9.【答案】AB【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子一次，

事件A=“出现点数为偶数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为奇数”，

对于A，A与B不能同时发生，是互斥事件，故A正确；

对于B，A与D不能同时发生，不能同时不发生，是对立事件，故B正确；

对于C，P(C)=26=13，故C错误；

对于D，10.【答案】BD【解析】解：由题意，可作图如右图：

对于A，设BD=λDC，则BD=λDC，BD=λ1+λBC，

∴AD=AB+BD=AB+λ1+λBC

=AB+λ1+λ(AC−AB)

=11+λAB+λ1+λAC，

又AD=34AB+14AC，则11+λ=34λ1+λ=14，解得λ=13，故A错误；

对于11.【答案】BD【解析】解：对A选项，如图，当E为A1C1与B1D1的交点时，

直线AE和直线CC1共面，∴A选项错误；

对B选项，由正方体的性质易知AC⊥对角面BDD1B1，

故直线AC与平面BEF所成角为90°，∴B选项正确；

对C选项，∵△AB1D1是边长为22的正三角形，

∴A到EF的距离为32×22=6，又B到EF的距离为2，

12.【答案】AC【解析】解：如图所示：以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，

设正八边形边长为a，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠GOH=∠HOA=π4，

在△OAB中，由余弦定理可得：4=a2+a2−2a2×cosπ4，解得a2=4+22，

又A(0,−a)，B(22a,−22a)，C(a,0)，D(22a,22a)，

E(0,a)，F(−22a,22a)，G(−a,0)，H(−22a,−22a)，

对于A，∵OA=(0,−a)，OG=(−a,0)，

∴OA+OG13.【答案】10.2

【解析】解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为1，4，4，7，a，b，12，13，19，20(a,b∈N)，且样本的中位数为11，

所以a+b2=11，

解得a+b=22，

14.【答案】3或6

【解析】解：因为3asinB−bcosA=0，所以由正弦定理得3sinAsinB=sinBcosA，

因为B∈(0,π)，所以sin15.【答案】2563【解析】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的高为h

因为圆锥的高为2，体积为8π，所以13πr2h=8π，

即13π×r2×2=8π，解得r=23，

当圆锥顶点与底面在球心O的两侧时，如图，

圆锥SO1的底面半径O1A=23，高SO1=2，

设球O的半径为R，则(2−R)2+(23)2=R2，

解得R16.【答案】34

9【解析】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，

则P(A)=23，P(B)=p，

∵甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为56，

∴P(AB)+P(A−B)+P(A−B−)=P(A)P(B)+P(A−)P(B)+P(A−)P(B−)=56，

∴23p+13p+17.【答案】解：(1)复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，因为复数z1所对应的点位于第二象限，

所以m<04−m2>0，解得：−2<m<0，

故m的取值范围为【解析】(1)由复数z1所对应的点位于第二象限，则m<04−m2>018.【答案】解：(1)易知在这16个分数中，出现最多的是55，其中最高分为68，最低分为40，

所以众数为55，极差为68−40=28，

则xA−=44+46+55+47+49+55+51+45【解析】(1)由题意，根据众数、极差和平均数的定义及计算公式进行求解即可；

(2)因为专业评委给分更符合专业规则，相似程度更高，可以用方差来衡量每一组评委打分的相似性，方差越小，分数越集中，相似程度越高，利用方差公式求出A，B19.【答案】解：(1)取BD中点F，在BC上取点M，满足BM=3MC，

因为P为DE中点，F为DB中点，

所以PF/​/BE，PF=12BE，

因为CQCA=CMCB=14，

所以QM/​/AB，OM=14AB，

从而PF//QM，PF=QM，

所以四边形PFMQ是平行四边形，

所以PQ//FM，

又PQ⊄面BCD，FM⊂面BCD，

所以PQ/​/平面BCD．

(2)过B作BH⊥AC，垂足为H，

因为∠BCA为锐角，【解析】(1)取BD中点F，在BC上取点M，满足BM=3MC，可证得四边形PFMQ是平行四边形，所以PQ//FM，进而证得结论；

(220.【答案】解：(1)设B(a,b)，则AB=(a−4,b)，

∴OC=3AB=(3a−12,3b)，即C(3a−12,3b)，

又OA=(4,0)，则OA⋅AB=4a−16+0⋅b=4，

解得a=5，故B(5,b)，C【解析】(1)根据数量积的坐标表示，建立方程，可得答案；

(2)21.【答案】证明：(1)∵2b=a+c，

∴a=2b−c，

由正弦定理及BDsinA+bsinC=2bsin∠ABC，

得BD⋅a+bc=2b2，

∴BD=2b2−bca=b(2b−c)2b−c=b，

∴BD=b；

解：(2)选①：由余弦定理得：b2=a2+c2−2accos∠ABC=a2+c2−118ac，

∵2b=【解析】(1)由正弦定理和条件式化简即可证明；

(2)选①：由余弦定理和题中条件可得a=2c,b=32c，设ADDC=t(t>0)，再在22.【答案】解：(1)以A′为原点，A′与B′C′中点连线为x轴，AA′所在直线为z轴，过点A′与B′C′平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系：

A′(0,0,0)，B(33,−3,8)，C′(33,3,0)，A(0,0,8)，B′(33,−3,0)，C(33,3,8)，

所以AB′=(33,−3,−8)，A′C=(33,3,8)，

因为AP=t，AB′=62+82=10，

所以AP=t10AB′=