山东省菏泽市九女中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省菏泽市九女中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）A．60 B．50 C．40 D．20参考答案：A【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．分析：把（1+）5按照二项式定理展开，可得（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数．解：（x2﹣2）（1+）5=（x2﹣2）[+?+?+?+?+?]，故展开式中x﹣1的系数为23?﹣2?2=60，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．48 B．32 C．16 D．参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，利用三视图的数据直接求解几何体的体积即可．解答：解：三视图复原的几何体是放倒的直四棱柱，底面是直角梯形，上底为3，下底长为5，高为2，棱柱的高为4．所以几何体的体积为：=32．故选：B．点评：本题考查三视图求几何体的体积，三视图复原的几何体的形状是解题的关键．3.双曲线x2－y2=4的两条渐进线和直线x=2围成一个三角形区域（含边界），则该区域可表示为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B4.阅读如下程序，若输出的结果为，则在程序中横线?处应填入语句为（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略5.（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3xB．y=±2xC．y=±（+1）xD．y=±（﹣1）x参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，∵|OF1|=c，∴B的纵坐标为，∴B的横坐标为﹣c代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．【点评】：本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6.已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）参考答案：C7.设的定义域为，若满足下面两个条件则称为闭函数：①是上单调函数；②存在，使在上值域为.现已知为闭函数，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设i是虚数单位，z=（3-i）（1+i），则复数z在复平面内对应地点位于第（

）象限A.一B.二C.三D.四参考答案：A因为z=（3-i）（1+i）=4+2i,所以z在复平面内对应点（4,2）位于第一象限9.函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.若复数为纯虚数，则实数的值是

（

）A．

B.

1

C.

0

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，是非零不共线的向量，设=+，定义点集M={K|=}，当K1，K2∈M时，若对于任意的r≥2，不等式||≤c||恒成立，则实数c的最小值为．参考答案：．【分析】由=+，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【解答】解：由=+，可得A，B，C共线，由=，可得||cos∠AKC=||cos∠BKC，即有∠AKC=∠BKC，则KC为∠AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得==r，即有K的轨迹为圆心在AB上的圆，由|K1A|=r|K1B|，可得|K1B|=，由|K2A|=r|K2B|，可得|K2B|=，可得|K1K2|=+=|AB|=|AB|，由r﹣在r≥2递增，可得r﹣≥2﹣=，即有|K1K2|≤|AB|，即≤，由题意可得c≥，故c的最小值为．故答案为：．12.若圆的半径为3,单位向量所在的直线与圆相切于定点,点是圆上的动点,则的最大值为___________参考答案：313.复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

．参考答案：14.已知函数，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则实数t的取值范围为．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解：当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=﹣ex（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1≤x＜0时，f′（x）≤0．∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）单调递减．∴函数f（x）=﹣xex在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=，作出函数f（x）的草图如图：设m=f（x），当m＞时，方程m=f（x）有1个解，当m=时，方程m=f（x）有2个解，当0＜m＜时，方程m=f（x）有3个解，当m=0时，方程m=f（x），有1个解，当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，则方程f2（x）+tf（x）+1=0等价为m2+tm+1=0，要使关于x的方程f2（x）+tf（x）+1=0恰好有4个不相等的实数根，等价为方程m2+tm+1=0有两个不同的根m1＞且0＜m2＜，设g（m）=m2+tm+1，则，即t＜﹣e﹣，∴实数t的取值范围为：．故答案为：．15.已知cos（+α）=，且﹣π＜α＜﹣，则cos（﹣α）=．参考答案：﹣考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由已知，且，可求，而=，从而可求解答：解：∵∴∵∴∵，∴==，故答案为：．点评：本题主要考查了综合应用同角平方关系，诱导公式求解三角函数值，主要考查了公式的应用，难度不大，到要求熟练掌握公式并能灵活应用．16.已知向量满足，，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是_____________.参考答案：略17.

已知：两个函数和的定义域和值域都是，其函数对应法则如下表：则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，△为等边三角形，为△内部一点，点在的延长线上，且．（1）证明：； （2）证明：平面平面；（3）若，，求二面角的余弦值．参考答案：（1）略

（2）略

（3）又，所以，平面平面．…………………9分（3）（法一）由（2）知平面，所以平面平面，且平面平面，过点作平面，且交的延长线于点，连接，因为，，由（1）同理可证，在△中，，所以，又因为，所以平面，所以为二面角的平面角，………11分在直角△中，，

………………12分由（2）知，所以△为等腰直角三角形，所以，所以，所以，二面角的余弦值为．……………14分（法2）如图6，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系．由（1）同理可证，设，则，，，，．设，其中，，．由，．由（2）知，且，，得．解之，得，．

……………11分所以，设平面的法向量为，由，，得．取，得，．由（2）知，平面的法向量为，…………13分记二面角的平面角为，由图可得为锐角，所以．所以，二面角的余弦值为．…………14分考点：空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．19.甲乙两位同学参加学校安排的3次体能测试，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．（Ⅰ）求甲同学第一次参加测试就合格的概率P；（Ⅱ）设甲同学参加测试的次数为m，乙同学参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．参考答案：解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是、，由题意知，，解得或（舍），所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为.

………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是、，由题意知，的可能取值为，由题意可知，，

，

，

，所以的分布列为：

……………………（12分）

略20.设，求证：，等号当且仅当时成立.参考答案：由柯西不等式，得．将上式两边同时乘以，再将两边同时加上，有，即，所以，．由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当时成立．21.已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．22.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点，（1）求证：BC1∥平面AB1D；（2）求二面角A1﹣AB1﹣D的大小．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）