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文档简介
1§5-4、哈密顿方程一、保守系统的拉格朗日方程设：L＝T-V
（拉格朗日函数）j=
0, (
j
=
1,2,
,
k
)q
¶q
j
-
dt
¶d
¶L
¶L拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组xAmgqmg5
1
1
2
m
x
+
mLq
cosq
-
mLq
sin
q
=
02
2
21
mL
x
cosq
+
1
mL2q
+
1
mgL
sin
q
=
0B
2
3
22§5-4、哈密顿方程二、哈密顿方程简介jj,
(
j
=
1,2,
,
k
)¶q
j¶Hp
j
=
-,
(
j
=
1,2,
,
k
)¶p¶Hq
=其中：pkj
jj-
L(
j
=
1,2,
,
k
)¶q
j=
¶T
,H
=
p
q
j
=1=
H
(
p1,
,
pk
,
q1,
,
qk
,
t)哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组，对于定常约束的保守系统，哈密顿函数H就是系统的动能与势能的和，即：H
=
T
+V3§5-4、哈密顿方程z+
p+
p
]
+
mgzH
=
[
p2m12y2xpypx
pzx
=
,
y
=
,
z
=m
m
m例题：求自由质点在重力场中的哈密顿函数和哈密顿方程xyzmg1、系统的广义坐标：x
,y
,z2、系统的动能2T
=
1
m(x
2
+
y
2
+
z
2
)ypz
=
mz
2p
=
my
px
=
mx
系统的哈密顿函数H=T+V(
j
=
1,2,3)pj=
¶T
,¶q
jjj¶p
jp
=
-
¶H
,
(
j
=
1,2,
,
k
)¶q
jq
=
¶H
,
(
j
=
1,2,
,
k
)p
x
=
0,
p
y
=
0,
p
z
=
-mg4§5-4、哈密顿方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。杆与滑块用刚度系数为k1的扭簧连接．Θ＝π时扭簧无变形．求系统哈密顿方程。AB＝2Lxm1
gqm2
gABl0k
q
234
m
L22m2
L
cosq
x
]
m L
cosqT
=
1[x
,q
m1
+
m222
222221321
2q
cosq
+
m L
q+
m
x
LT
=
(m
+
m
)x
21222121(q
-p)q)
+
kx
+
kV
=
m gL(1-cosqT
=[x,q]
q
T
=[x
,q
]
324
m2
L2m1
+
m2
m2
L
cosqm L
cosqM
=2T
=
1
q
T
Mq
M是正定对称矩阵，是广义坐标的函数§5-4、哈密顿方程p
=
Mq
2T
=
1
q
T
Mq
¶q
p
=
¶T(
j
=
1,2)pj=
¶T
,¶q
jpT
M
-112H
=
T
+
V
=1
¶V2
¶qAT
f
+1p
=q
=
M
-1
p
=
f1系统的哈密顿函数H=T+VHj,
(
j
=
1,2,
,
k
)¶q
jp
j
=
-
¶¶p
jq
=
¶H
,
(
j
=
1,2,
,
k
)21222121q
-p)q)
+
kx
+
k
(p
+
m gL(1-cos
5¶M
¶M
¶MA
=
q
q
q
¶qk
¶q1
¶q2例题的数值仿真qx1m
g2m
gABl0k2.521.510.50-0.50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100t
/
s50
100
150
200
250
6300-106543210q
(t
)
/
radx
(t
)
/
m－－摆杆的运动－－滑块的运动现象：不同的初始条件，系统的动力学行为不同。7例题的数值仿真01
.02
.3-
1
.0p4
.0x
/
mq
/
rad不稳定区域8太阳系—哈密顿系统在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，其动力学方程可表示成：jj¶q
jp
=
-
¶H
,
(
j
=
1,2,
,
k
)¶p
jq
=
¶H
,
(
j
=
1,2,
,
k
)问题：如何精确地计算行星的运动轨迹，准确地预测行星位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。k=3n,
n为行星的个数(=9大行星+近百个小行星)9哈密顿系统的辛算法冯
康(1920.9～1993.8)
数学与物理学家、计算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理系。1951～1953年赴前苏联进修。曾任中国数学会理事，计算数学分会副理事长，中国计算机学会副主任等职。1980年被选为中国科学院学部委员(数学物理学部院士)。在拓扑代数、广义函数和计算数学等领域取得多方面首创性成就，并对我国计算机事业的创建和发展做出了重要贡献。20世纪80年代，提出了哈密顿系统的辛算法。该算法可保持长期数值计算的稳定性。10例题的数值仿真对角隐式辛RK算法显式RK算法CPU-time:142sCPU-time:7737s(变步长)xm1
gqm2
gBl0Ak第二类拉格朗日方程的总结对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，其中：L
=T
-VT：为系统的动能，V：为系统的势能'j=
Q
j¶L
-
dt
¶则系统的动力学方程为：
d
¶L
q
¶q
j(
j
=1,
,
k
)jQ'：为对应于广义坐标q
j的非有势力的广义力当系统为保守系统时，有：1：若系统存在循环坐标q
，则：
¶L
=
¶T
=
p
=
const.¶q
¶q
2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：T2
-T0
+V
=const1112第二类拉格朗日方程的总结例：系统如图所示，已知：m
,
k
,
w
=
const.
,
l0
为弹簧原长。求滑块的拉格朗日方程首次积分。解：系统（滑块）的广义坐标为ql0qkmw2a2T
=
mvT2
-T0
+V
=const2拉格朗日函数L
=T
-V
=L(q
,q)中不显含时间t则Lagrange方程有广义能量积分V
=
1
kq
221
122
2+
q
))
=
m(q
w212r2e+
v=
m(v1
mq
2
-
1
m(q2w
2
)
+
1
kq2
=
C2
2
2-T2为牵连惯性力的势能13第二类拉格朗日方程的总结例：系统如图所示，求系统动力学方程；维持AB匀角速w转动所需的控制力偶M。已知：m
,k
,J
z
,l
0
为弹簧原长。l0kmJ
z
xqABMg122
2
22
m(x
J
qz+
x
q
)+解：系统的广义坐标为x,qQ''Qx
=
0,
q
=
M'x-
=
Q
d
¶L
¶Ldt
¶x
m
x
-
mxq
2
+
kx
=
0'q¶q-
=
Q
¶xd
¶L
¶Ldt
¶q
z(J
+
mx2
)q
+
2mxx
q
=
M当q
=w
时M
=
2mxx
w22121T
=V
=
kx问题：该题还可以用什么方法求解？14第二类拉格朗日方程的总结例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。初始时，杆水平，系统静置。求系统在图示位置时，杆的角速度、角加速度以及A点的速度和加速度。AB=LxAqmgB
q
AvcCAv2
221
1
12
2
2212C
ABA
A
CAwJ
w
+
mv
+
JT
=
mv
+解：系统的主动力均为有势力4
6
2=
5
mx
2
+
1
mL2q
2
+
1
mx
Lq
cosqV
=
0.5Lmg(1-
cosq)
L
=
L(x
,q
,q)¶T
5
1
¶x
=
2
mx
+
2
mLq
cosq
=
C5
mx
2
+
1
mL2q
2
+
1
mx
Lq
cosq
+
0.5Lmg(1-
cosq)
=
E4
6
2x
=
?
x
=
?mgq
=
?q
=
?15第二类拉格朗日方程的总结¶T
=
5
mx
+
1
mLq
cosq
=
C¶x
2
25
mx
2
+
1
mL2q
2
+
1
mx
Lq
cosq
+
0.5Lmg(1-
cosq)
=
E4
6
2C
=
0,
E
=
0.5mgcosq202
g
2L
6
1
-
1
cos2
q
q
=
当：q
=900,
q
=
0,
x
=
0q
5x
=
-1
Lq
cosq
(1)
sinqqcosq
sinqq
q
11
1
222
g
2L=
-
20
10
6
-
cos
q
+q
上式对时间求导得：代入（1）式求x
55
x
=
-1
Lq
cosq
+
1
Lq
2
sinq
x
16第二类拉格朗日方程的总结例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。图示瞬时系统静止。求该瞬时地面的约束力。AB=L，RxABqmg解：系统的主动力均为有势力5
m
x
+
1
mLq
cosq
-
1
mLq
2
sin
q
=
02
2
22
3
21
mL
x
cosq
+
1
mL2q
+
1
mgL
sin
q
=
0mgq
=
450
315
2
q
=-
17L
g,
x
=17gq
=
450q
=
02
221
1
12
2
2212A
A
C
C
ABAJ
w
+
mv
+
J
wT
=
mv
+4
6
2=
5
mx
2
+
1
mL2q
2
+
1
mx
Lq
cosqV
=
0.5Lmg(1-
cosq)
L
=
L(x
,q
,q)17第二类拉格朗日方程的总结y
:
mat
sin
450
=
F
-
2mgCA
N求摩擦力:研究圆盘a
AR
=
x
J
Aa
A
=
-FR求地面的法向力:
研究整体mAaA
+
mABaC
=
F
+
FN
+
2mgABmgqmgq
=
450xFNF15
2
3=-
17Lg,
x
=
g17q
CACAaC
=
aA
+
a
t
+
anCA\
aC
=
a
A
+
a
tCAatAaA
Am
a
+
mAB
(aA
+
a
t
)
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