广西壮族自治区南宁市星星学校高三数学文模拟试卷含解析

广西壮族自治区南宁市星星学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋，称得重量如下条形图S1、S2、S3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检重量的标准差，则有（）A．S2＞S1＞S3 B．S1＞S3＞S2 C．S3＞S1＞S2 D．S3＞S2＞S1参考答案：C【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；图表型；概率与统计．【分析】解：根据题意，计算甲、乙和丙的平均数，方差和标准差，比较即可得出结论．【解答】解：根据题意，计算甲的平均数是=（5×7+5×8+5×9+5×10）=8.5，方差是=[5×（7﹣8.5）2+5×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+5×（10﹣8.5）2]=1.25，标准差是s1=；乙的平均数是=（4×7+6×8+6×9+4×10）=8.5，方差是=[4×（7﹣8.5）2+6×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+4×（10﹣8.5）2]=1.05，标准差是s2=；丙的平均数是=（6×7+4×8+4×9+6×10）=8.5，方差是=[6×（7﹣8.5）2+4×（8﹣8.5）2+4×（9﹣8.5）2+6×（10﹣8.5）2]=1.4，标准差是s3=；所以，s3＞s1＞s2．故选：C．【点评】本题考查了利用图表计算数据的平均数、方差与标准差的应用问题，是基础题目．2.已知，函数在同一坐标系中的图象可能是参考答案：C当时，A,B,C,D都不正确；当时，C正确，选C.3.已知为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点满足条件，则动点的轨迹一定通过的（

）

A．重心

B．垂心

C．外心

D．内心

参考答案：C略4.若复数是纯虚数，则的值为 （

）A．

B． C． D．参考答案：B5.椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（

）A．

B．

C．D．参考答案：D试题分析：由题意可设该弦所在直线的斜率为，若不存在则不合题意，则可设该所在的直线方程为，直线与椭圆的交点为、，则、，，，又，，两式作差化简得，当时直线与轴平行，不合题意，所以有，解得，由点斜式可求得该弦所在直线方程为，所以正确答案为D.考点：直线与椭圆关系6.抛物线的焦点坐标为(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：D抛物线的开口向左,且,.选D.7.=（）A．2 B．2 C． D．1参考答案：C【考点】复数求模．

【专题】计算题．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解：===．故选C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．8.不等式ax2+ax﹣4＜0的解集为R，则a的取值范围是(

)A．﹣16≤a＜0 B．a＞﹣16 C．﹣16＜a≤0 D．a＜0参考答案：C【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】由于不能确定原不等式的二次项系数的符号，故对a进行分类讨论：当a=0时，不等式恒成立；当a≠0时，由题意可得△＜0，且a＜0，将这两种情况下的a的取值范围取并集，即为所求．【解答】解：当a=0时，不等式即﹣4＜0，恒成立．当a≠0时，由题意可得△=a2+16a＜0，且a＜0，解得﹣16＜a＜0．综上，实数a的取值范围是﹣16＜a≤0，故选C．【点评】本题考查二次函数的性质、函数的恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类讨论思想，注意检验a=0时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．9.椭圆的离心率大于的充分必要条件是（

）A.

B.

C.

D.或参考答案：D10.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，则角A等于A．

B．

C．

D．参考答案：D∵，∴（a﹣b）（a+b）=c（c+b），∴a2﹣c2﹣b2=bc，由余弦定理可得cosA=∵A是三角形内角，∴A=故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公切线，则a的取值范围为．参考答案：[，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=ex，得y′=ex，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=ex2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．12.若函数是偶函数，则函数的最小值为

.参考答案：略13.在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是

.参考答案：略14.计算：=．参考答案：【考点】极限及其运算．【分析】先利用排列组合公式，将原式化简成的形式，再求极限．【解答】解：===．故答案为：．15.椭圆若直线则该椭圆的离心率等于

.参考答案：-116.一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品．用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受．抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品（抽检后不放回），只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：设ξ表示该用户抽检次数，ξ的取值可能为1，2，3．利用古典概型的概率计算公式和概率的性质、随机变量的分布列和数学期望即可得出．解答：解：设ξ表示该用户抽检次数，ξ的取值可能为1，2，3．若抽到第一件产品为次品即停止检查，则P（ξ=1）=．若抽到第一件产品为正品，第二件品为次品即停止检查，则P（ξ=2）==．第3次无论抽到正品还是次品都停止检查，则P（ξ=3）=1﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=2）=．故ξ的分布列为∴Eξ==．故答案为．点评：熟练掌握古典概型的概率计算公式和概率的性质、随机变量的分布列和数学期望是解题的关键．17.已知，则的大小关系为____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，

（1）若抛物线上有一点到焦点的距离为，求此时的值；

（2）是否存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：解：（1）抛物线的焦点，---------------------------2分，得。------------------------------6分

（或利用得，或（舍去））

（2）联立方程，消去得，设，

则（），---------------------------------8分是线段的中点，，即，，--------------------------------10分得，若存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形，则，-----11分即，结合（）化简得，即，或（舍去），存在实数，使是以为直角顶点的直角三角形。--------------14分

19.设f（x）=ex﹣a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由f（x）=ex﹣a（x+1），知f′（x）=ex﹣a，故f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，再由f（x）≥0对一切x∈R恒成立，能amax．（2）由f（x）=ex﹣a（x+1），知g（x）=f（x）+=．由a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g′（x）=ex﹣﹣a≥2﹣a=﹣a+2=m，（a≤﹣1），由此能求出实数m的取值范围．（3）设t（x）=ex﹣x﹣1，则t′（x）=ex﹣1，从而得到ex≥x+1，取，用累加法得到．由此能够推导出存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜?（an）n．【解答】解：（1）∵f（x）=ex﹣a（x+1），∴f′（x）=ex﹣a，∵a＞0，f′（x）=ex﹣a=0的解为x=lna．∴f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，∴﹣alna≥0，∴alna≤0，∴amax=1．（2）∵f（x）=ex﹣a（x+1），∴g（x）=f（x）+=．∵a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，∴g′（x）=ex﹣﹣a≥2﹣a=﹣a+2=m，（a≤﹣1），解得m≤3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．（3）设t（x）=ex﹣x﹣1，则t′（x）=ex﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为t（0）=0，故ex≥x+1，取，得，累加得．∴1n+3n+…+（2n﹣1）n＜?（2n）n，故存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜?（an）n．20.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且.（1）求角C的大小；（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值.参考答案：解：（1）由，结合正弦定理得，所以，即，因为，所以；（2）因为，，所以由余弦定理可得：，因为△ABC的面积为，解得，所以，解得.

21.已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.(1)求椭圆的方程；(2)若(为坐标原点)，求的值；(3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：解(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，

故圆与轴交与两点，.所以，在椭圆中或，又，所以，或(舍去，∵),于是，椭圆的方程为.（3分）

(2)设，；直线与椭圆方程联立,

化简并整理得.∴，,∴，.∵，∴,即得

∴，，即为定值（7分）

(3)∵，,∴直线的方程为.令，则

,

∴

当且仅当即时等号成立.故的面积存在最大值.(或:,

令，

则.

当且仅当时等号成立，此时.故的面积存在最大值.解法二：.点到直线的距离是.

所以，.令，

,当且仅当时，此时,故的面积存在最大值，其最大值为.（12分）略22.如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2VA﹣BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴