机械制图教案2

第2章点、直线和平面的投影2.1投影法的基本知识

2.2点的投影

2.3直线的投影

2.4平面的投影2.1投影法的基本知识2.1.1投影法的基本概念

2.1.2投影法的分类

2.1.1投影法的基本概念PABCcba●S投影面投射线投射中心（光源）投影投影法：由投射中心发出的投射线通过物体，向选定的投影面进行投影，并在投影面上得到图形的方法。2.1.2投影法的分类中心投影法平行投影法正投影斜投影投影方法2.2点的投影Pa●A1●a●A2●A3●A●

点在一个投影面上的投影不能确定该点的空间位置。V2.2.1点的两面投影1、两投影面体系的建立HOX正立投影面V（简称正面）水平投影面H（简称水平面）1四个分角：两投影面把空间分为四个区域234互相垂直的两投影面投影轴（OX轴）：两投影面之间的交线2、点在两投影面体系中的投影绕OX轴向下旋转90º不动XOVH●A●a●a

axaa

●●HVOXaxXO●●aaxa

3、点的两面投影规律（1）点的两面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX。

（2）点的正面投影到OX轴的距离反映A点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离，即aaX＝Aa′

和aXa′＝Aa。2.2.2点的三面投影1.三投影面体系的建立HWVOXZY互相垂直的三投影面正立投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）侧立投影面（简称侧面或W面）投影轴OX轴（简称X轴）：V面与H面的交线OY轴（简称Y轴）：H面与W面的交线OZ轴（简称Z轴）：V面与W面的交线空间点A的三面投影HWVOXZYa

●a●a

●A●2．点在三投影面体系中的投影a'——点A的正面投影

a——点A的水平投影

a"——点A的侧面投影

ZHWVOXYAa

aa

●●●●axaYaZ保持不动向右旋转90º向下旋转90ºWVHZaa

axXYHYWO●aZa

aYHaYW●●Zaa

axXO●aZa

aYHaYW●●YHYW3.点的三面投影规律（1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。即：点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴：

aa'⊥OX；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴：a'a"⊥OZ；由于水平投影和侧面投影不能直接连线，需借助45º斜线实现联系，这时a、a"满足：aaYH⊥OYH、a"aYW⊥OYW。（2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离。即：a'aX

＝a"aY

＝A点到H面的距离aaX＝a"aZ

＝A点到V面的距离aaY＝a'aZ＝A点到W面的距离4.点的三面投影与直角坐标空间点到投影面的距离就等于点相应的空间坐标值，即：Aa"＝aXO＝XA，Aa'＝aYO＝YA，Aa＝aZO＝ZA。

例2-1

已知点A的坐标为（15、10、20），求点A的三面投影。1）画投影轴,建立三投影面体系；2）沿OX轴正方向量取15，得到aX；3）过aX作OX轴的垂线，并使aXa＝10，aXa'＝20，分别得到a和a'；ZXOYHYWax15●a●10a

●204）过a'点作OZ轴的垂线，并使aZa″＝10，得到a″。

利用45º斜线，求得a″。

或aYHaYWa

aZ●10例2-2

已知点A的两面投影（a'、a"），求作第三面投影a。

Za

XO●a

●YWYH2）自a"作OYW的垂线与OYW相交于aYW；1）过a′作OX轴的垂线，a必然在这条垂线上；axaYW3）以O为圆心、OaYW为半径作圆弧，与OYH轴相交于aYH；aYH4）过aYH作OYH的垂线与aaX相交，即得到a点。a●2.2.4两点的相对位置两点的相对位置就是指两点间左右、前后、上下的位置关系。1.两点相对位置的确定

两点间的相对位置可以通过投影图上各组同面投影的坐标差来确定。判断方法如下：两点间的左、右位置关系：由X坐标差来确定，坐标值大者在左边两点间的前、后位置关系：由Y坐标差来确定，坐标值大者在前边两点间的上、下位置关系：由Z坐标差来确定，坐标值大者在上边Zaa

XO●a

●●YHYW●●●bb

b

A点在B点的左、后、下方ZfXOf

●●YHYW●●●ee

2.重影点

当两点的两个坐标相等时，该两点位于同一投射线上，它们在投射线所垂直的投影面上的投影是重合的，这两个点就称为该投影面的一对重影点。重影点可见性的判断H面重影点根据Z坐标差确定其可见性，Z坐标大者可见，即“上遮下”；

V面重影点根据Y坐标差确定其可见性，Y坐标大者可见，即“前遮后”；

W面重影点根据X坐标差确定其可见性，X坐标大者可见，即“左遮右”。

e(f')e'可见f'不可见，不可见者用（）ZXYWOYH●aYH●aaX●●a

●aZa

●例2－3：如图所示为点A的三面投影，已知点B在点A的左方15mm、后方5mm、上方10mm，点C在点A的正后方10mm处，试求作B、C两点的三面投影。●●bXbYHbZ●●●●bb

b

作图步骤：

1、分别自aX、aYH、aZ沿OX、OYH、OZ轴量取15mm、5mm、10mm，得到bX、bYH、bZ；2、根据点的投影规律，作出B点的三面投影b、b′、b″。求C点三面投影的作图步骤

1、从A的水平投影a沿aaX方向量取10mm，得到c；2、由aXc=cYH

，根据投影关系求出c″；3、c'与a'重合，其中a'可见，c'不可见。●c●c

（c

）2.3直线的投影2.3.1直线投影的基本性质2.3.2直线的三面投影图

2.3.3各种位置直线的投影特性2.3.4直线上的点2.3.5两直线的相对位置2.3.1直线投影的基本性质（1）显实性平行于投影面时其投影反映实长

（2）积聚性（3）类似性PABabPABa(b)●垂直于投影面时其投影积聚为一点

PABab倾斜于投影面时其投影仍为直线，但小于实长

2.3.2直线的三面投影图ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

根据“两点确定一条直线”，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影。2.3.3各种位置直线的投影特性正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）投影面平行线：平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线：垂直于某一投影面水平线（平行于Ｈ面）一般位置直线：同时倾斜于三个投影面的直线特殊位置直线ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

1．投影面平行线βγαγαβ①在直线平行的投影面上的投影反映实长，且反映直线与另两投影面倾角。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。α、β、γ分别为直线对H面、V面、W面的倾角

水平线投影特性正平线侧平线ZXYWOYH●a

a

●●●●b(a)b

b

ZXYWOYH●a●a

●●●bb

b(a")ZXYWOYH●a●a(b')a

●●●bb

铅垂线2．投影面垂直线正垂线侧垂线投影特性①在直线垂直的投影面上，投影具有积聚性。②另外两个投影，反映线段实长，且同时平行于一根投影轴。3．一般位置直线ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

投影特性三面投影都是直线，且同时倾斜于三个投影面,即不反映实长，又不反映实际夹角。HWVOXZYAb

aa

●b●●●●●b

a

Bαγ●●β求一般位置直线段的实长和直线与投影面的夹角

方法1：过b点作ab的垂线bB0，在此垂线上量取bB0＝zB－zA，则aB0即为所求直线AB的实长，∠B0ab即为倾角α。方法2：过a'

作X轴的平行线，与b'b相交于b0（b'b0＝zB－zA），量取b0A0＝ab，则b'A0也是所求直线段的实长，∠b'A0b0即为倾角α。

2.3.4直线上的点从属性

直线上的点的投影必然在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。定比性

点分线段成定比，其投影也成同样的比例。

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

●●●k

k

k判断点属于直线的方法

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

●●●dd

d

点K在直线AB上，满足ak：kb＝a'k'：k'b'＝a"k"：k"b"由于d"不在a"b"上，所以点D不属于直线AB。2.3.5两直线的相对位置空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种情况。

1．两直线平行若空间两直线平行，则它们的各组同面投影必然互相平行；反之，如果两直线的各组同面投影互相平行，则空间两直线必平行。ZXYWOYHaa

a

bb

d

b

c

c

d

cdZXYWOYHaa

a

bb(d")d

b

c

c

dc平行不平行2．两直线相交ZXYWOYHaa

a

bb

b

●●●cdc

c

d

kkk

k

若两直线相交，则两直线的各组同面投影必相交，交点同时属于两直线，为两直线的共有点，且符合点的投影规律。ZXYWOYHaa

b

bb

a

●cdc

c

d

●d

●●哪个是交点？两直线不相交3．两直线交叉既不平行，又不相交的两条直线称为交叉两直线。

★同面投影可能相交，但投影的“交点”不满足点的投影规律。★投影的“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。d

b

a

abcdc

OX1

(2

)3(4)●12●●投影特性

●3

4

●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点2.4平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2平面的投影特性

2.4.3各种位置平面的三面投影及特性2.4.4平面上的点和直线的投影2.4.1平面的表示法●●●●●●abca

b

c

●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●●●●●●●abca

b

c

直线及该直线外一点两平行直线两相交直线平面图形不在同一直线上的三个点2.4.2平面的投影特性显实性积聚性类似性平面平行于投影面时其投影反映实形平面垂直于投影面时其投影积聚为一条直线平面倾斜于投影面时其投影为原形的类似形CPABacbPACBacbPACBacb2.4.3各种位置平面的三面投影及特性

正平面（平行于Ｖ面）侧平面（平行于Ｗ面）正垂面（垂直于Ｖ面）侧垂面（垂直于Ｗ面）铅垂面（垂直于Ｈ面）投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面投影面垂直面垂直于某一投影面倾斜于另两个投影面水平面（平行于Ｈ面）一般位置平面与三个投影面都倾斜特殊位置平面1.投影面平行面a

b

c

a

b

c

abcZXYWOYH投影特性1、在平面所平行的投影面上的投影反映实形；2、另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。反映实形积聚成直线且平行于OX积聚成直线且平行于OY2.投影面垂直面投影特性1.在平面所垂直的投影面上的投影积聚成直线；2.另两个投影面上的投影分别为原形的类似形。积聚成直线原形的类似形原形的类似形a

b

c

a

b

c

abcZX