实对称矩阵的标准型课件

§9.6实对称矩阵的标准形（一）

引言§9.6实对称矩阵的标准形（一）引言1一、实对称矩阵的一些性质引理1

设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．证：设是A的任意一个特征值，则有非零向量满足一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征2其中为的共轭复数，令又由A实对称，有其中为的共轭复数，令又由A实对称，有3由于是非零复向量，必有故

考察等式，由于是非零复向量，必有故考察等式，4引理2

设A是实对称矩阵，在

n

维欧氏空间上定义一个线性变换如下：则对任意有

或引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间上定义一个线5证：取的一组标准正交基，则在基下的矩阵为A，即任取证：取的一组标准正交基，则在基6即于是又是标准正交基，即于是又是标准正交基，7即有又注意到在中

二、对称变换1．定义则称为对称变换．设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

即有又注意到在中二、对称变换1．定义则称为对称变81）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：

2．基本性质①

实对称矩阵可确定一个对称变换．

一组标准正交基．事实上，设为V的定义V的线性变换：则即为V的对称变换．1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是9②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，事实上，设为n维欧氏空间V上的对称变换，为

在这组基下的矩阵，即或②对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准10于是即所以A为对称矩阵．由是对称变换，有于是即所以A为对称矩阵．由是对称变换，有112）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间．对任取即证明：设是对称变换，W为的不变子空间．

要证即证由W是子空间，有因此故也为的不变子空间．2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间121．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于的特征向量．

则

三、实对称矩阵的正交相似对角化是正交的．

正交基下的矩阵，证：设实对称矩阵A为上对称变换的在标准是A的两个不同特征值，由1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量分别是属于13又即正交．(定理7)对总有正交矩阵T，使有即２．又即正交．(定理7)对总14证：设A为上对称变换在标准正交基下的矩阵．由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有n个特征向量作成的标准正交基即可．n=1时，结论是显然的．

对的维数n用归纳法．

有一单位特征向量，其相应的特征值为，即假设n－1时结论成立，对设其上的对称变换证：设A为上对称变换在标准正交基下的矩阵．由实对称矩15设子空间显然W是子空间，则也是子空间，且

又对有所以是上的对称变换．由归纳假设知有n－1个特征向量构成的一组标准正交基．设子空间显然W是子空间，则也是16从而就是的一组标准正交基，又都是的特征向量．即结论成立．3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设

(i)

求出A的所有不同的特征值：其重数必满足;

(ii)

对每个，解齐次线性方程组

从而就是的一组标准正交基，又都是17求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间的一组基．正交基把它们按正交化过程化成的一组标准(iii)因为互不相同，且就是V的一组标准正交基．所以求出它的一个基础解系：它是A的属于特征值的特征子空间18则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，使为对角形．例1．设

求一正交矩阵T使成对角形．则T是正交矩阵，且将的分量依次作矩阵T的第1，2，…，n列，19解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）,解：先求A的特征值．A的特征值为（三重）20其次求属于的特征向量，即求解方程组得其基础解

其次求属于的特征向量，即求解方程组得其21把它正交化，得

再单位化，得把它正交化，得再单位化，得22这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间的一组标准正交基．这是特征值(三重)的三个单位正交特征向量，也23再求属于的特征向量，即解方程组得其基础解

再求属于的特征向量，即解方程组得其基础解24再单位化得

这样构成的