导数的几何意义（两课时）

导数的几何意义第1课时①平均变化率函数y=f(x)的定义域D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:②割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y③导数（瞬时变化率的概念）

由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.回顾问题1平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的割线或切线的呢？直线和圆有唯一公共点问题2如图直线l1是曲线C的切线吗?l2呢?l2l1AB0xy问题3

那么对于一般的曲线，切线该如何寻找呢？PQoxyy=f(x)割线切线T

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.探究一：动手拖动点，观察割线的变化趋势，即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.oxyPQy=f(x)割线切线T结论：

割线PQ切线PT，割线PQ的斜率

切线PT的斜率。

y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,f(1))处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.结论:圆是一种特殊的曲线，圆的切线的定义并不能适用于一般曲线的切线，如图中的虽然与曲线Ｃ有唯一的公共点，但我们不能认为它与曲线Ｃ相切。而另一条直线，虽然与曲线Ｃ有且不只一个公共点，我们还是认为它是曲线Ｃ在点A的切线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线，适用于各种曲线。所以这种定义才真正反映了切线的直观本质。l2l1师生活动--实验探索探究二:解决“问题2”

l2l1B0xAy例2、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。thot0t1t3

当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.

所以,在t=t0附近曲线比较平坦,

几乎没有下降.

当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率

h′(t1)<0.

所以,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率

h′(t2)<0.

所以,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结论?(1)以直代曲：大多数函数就一小段范围看，大致可以看作直线，某点附近的曲线可以用过该点的切线近似代替；(2)函数的单调性与其导函数正负的关系；(3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.导数的几何意义第2课时PQoxyy=f(x)割线切线T

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果趋近于确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.复习回顾：1.曲线y=f(x)在某点处的切线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为：2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．即:练习：根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状051510-55101520yx例1、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t=0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。作t=0.5处的切线,它的斜率约为0所以,作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5所以,因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时变化率分别为0和-1.5.函数的导函数即：

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。“函数f(x)在点x0处的导数”,“导函数”、“导数”之间的区别与联系。

（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也