新教材高中数学第四章指数函数与对数函数5.3函数模型的应用学案

函数模型的应用教材要点要点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数a≠0）反比例函数模型f（x）＝kx＋b（k，b为常数且k二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数型函数模型f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）对数型函数模型f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）幂函数型模型f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）要点二应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．3．求模——求解数学模型，得出数学模型．4．还原——将数学结论还原为实际问题．基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．（）（2）解决某一实际问题的函数模型是唯一的．（）（3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．（）（4）对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．（）2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示时间1234利润（千元）2现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（）A．y＝log2xB．y＝2xC．y＝x2D．y＝2x3.某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（）A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b4．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若这种动物第一年有100只，则到第15年会有只．题型1指数函数模型例1酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9方法归纳指数型函数在实际问题中的应用：解析式可以表示为y＝N（1＋p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．本节中，我们给出指数型函数模型y＝max＋b（a＞0，a≠1，m≠0），有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示．跟踪训练1某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为（）A．y＝360×（1.041.012）C．y＝360×1.04x1.012题型2对数函数模型例2有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝12log3x100－lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，（1）当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?（2）当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？方法归纳有关对数函数模型的应用题求解策略首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．跟踪训练2某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是600≈6，lg7≈0.845）①yx；②yx；③y＝1＋log7x；④y＝14000x2题型3建立拟合函数模型解决实际问题例3某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lgx＋kx＋5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）.（2）若采用函数f（x）＝15x-ax+8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数方法归纳函数拟合与预测的一般步骤（1）根据原始数据、表格，绘出散点图．（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．跟踪训练3某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：x1234f（x）若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：f（x）＝ax＋b，f（x）＝2x＋a，f（x）＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a.找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式．课堂十分钟1．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是（）A．10%B．15%C．18%D．20%2．某种高耗能产品今年的产量是a，如果保持5%的速度递减，那么经过x年（x∈N＋），该产品产量y满足（）A．y＝a（1－5%x）B．y＝a＋5%C．y＝a（1－5%）x－1D．y＝a（1－5%）x3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－1.0458）（）A.2025年B．2021年C.2020年D.2018年4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)X＋b，现已知该厂今年1月2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为5．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2Q10（单位：m/s），其中Q（1）求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？4．5.3函数模型的应用新知初探·课前预习[基础自测]1．(1)×(2)×(3)×(4)√2．答案：B3．答案：B4．答案：400题型探究·课堂解透例1解析：设他至少经过t小时才可以驾车，则0.6×100(1－10%)t＜20，即3×(910)t<1，即t×lg9所以t＞-lg所以t≥11，即至少经过11个小时即次日最早7点才可以驾车，故选B.答案：B跟踪训练1解析：设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，一年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为eq\f(360M（1＋4%）,M（1＋1.2%）)，2年后，人均占有粮食产量为eq\f(360M（1＋4%）2,M（1＋1.2%）2)，…，x年后，人均占有粮食产量为eq\f(360M（1＋4%）x,M（1＋1.2%）x)，即所求解析式为y＝360×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f,1.012)))eq\s\up12(x).答案：D例2解析：(1)由题意，x0＝2，x＝8100，得v＝12(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得0＝12log3x100(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2.5＝\f(1,2)log3\f(x1,100)－lgx0，,1.5＝\f(1,2)log3\f( x2,100)－lgx0，))两式相减可得1＝12log3(x1解得x1故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．跟踪训练2解析：由题意知，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，(ⅰ)函数为增函数；(ⅱ)函数的最大值不超过5；(ⅲ)y≤x·25%＝14x①中，函数yx，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；②中，函数yx，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；③中，函数y＝1＋log7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1000时，y取最大值1＋log71000＝1＋3lg7<5，且1＋log7x≤1④中，函数y＝14000x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足答案：③例3解析：(1)对于函数模型y＝lgx＋kx＋5(k为常数)，x＝100时，y＝9，代入解得k＝150，所以y＝lgx＋x50x∈[50，500]时，y＝lgx＋x50＋5是递增的，但x(2)对于函数模型f(x)＝15x-ax+8＝15－120+ax+8，a为正整数，函数在[50，500]上递增；f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；要使f(xx对x∈[50，500]恒成立，即ax2x，即x∈[50，500]恒成立，所以a≥315.综上所述315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数跟踪训练3解析：符合条件的是f(x)＝ax＋b，理由如下：若模型为f(x)＝log12x＋a，则f若模型为f(x)＝2x