基于增量谐波平衡法的屈曲梁非线性振动分析

基于增量谐波平衡法的屈曲梁非线性振动分析

基于增量谐波平衡法的非线性振动分岔理论折叠梁结构的振动非常常见，尤其是在航空航天、土木工程、机械、电子等项目中。由于初始弯曲和中面伸长，屈曲梁的振动方程中同时包含2次和3次非线性项，表现出较为复杂的非线性特性增量谐波平衡法（IHB法）适用于解决强非线性振动问题本文采用增量谐波平衡法分析两端固定屈曲梁的非线性振动响应和分岔过程。先用线性化的方法计算梁的固有频率和模态函数，再通过Galerkin方法对梁的振动偏微分方程进行离散，使其转化为以时间为变量的常微分方程，然后运用增量谐波平衡法把此常微分方程再次转化为代数方程求解，得到系统振动的周期解，并通过Floquet理论1静态屈曲方程两端固定屈曲梁在轴向力的作用下的屈曲如图1所示，在基础简谐激励作用下，其振动方程为式中ρ为梁单位长度的质量，对于两端固定弯曲梁，其边界条件为对方程进行无量纲化，令代入方程（1）和边界条件（2）中可得：其中，“·”和“引入静态屈曲函数v(x），舍去方程中时间相关项可得到梁的静态屈曲方程及其边界条件：式中b为无量纲化跨中挠度。把方程（9）代入方程（7）中可解得令方程（4）的解为代入方程（4）及边界条件（5）可得：为了求模态函数，考虑方程（12）所对应的线性化自由振动方程，并令可得方程（15）的通解为其中，把式（17）代入方程（15）及边界条件（16）中可得到关于c可得各阶固有频率所对应的模态函数Φ用Galerkin方法求解方程，为此令将式（20）代入方程（12），在方程两边左乘Φ其中，取ξ为无量纲化的模态阻尼系数，令可将方程（21）化为2galiken方程把方程（25）写为矩阵形式，令式中m为自然数，则方程（25）可写为其中，字符上的点表示对τ求导。q=[q当为近似解的邻近状态，其中q其中，式中R为误差向量，当珔ω为了把方程（30）化为代数方程，需要运用Galerkin方法。以谐波函数为基函数，近似表示q其中，则有把式（35）代入方程（30），并运用Galerkin平均过程得积分可得代数方程其中，式（38）中各量的表达式为方程（37）的未知数数量比方程数量多1，在计算时应先指定一个增量。如以Δω为增量，先判断初值A是否能使R的值小于给定精度，如果不能，令式（37）中Δω为0，可求解得到ΔA，把ΔA加到原来的解A上，得到新的解A+ΔA，判断新解是否能使R的值小于给定精度，如果不能，把A+ΔA作为新的A值代入式（37），不断循环迭代直至找到符合精度要求的解。之后，给3转移矩阵与floquet乘子由IHB法计算得到的周期解都是振动方程的解，但是这些解不一定都能够在现实中出现。因为有一些解不稳定，随着时间的推移，不稳定解会演变为其他形式的解，因此有必要研究解的稳定性，Floquet理论就是研究解的稳定性的一种方法。设q把式（40）代入方程（27），化简并消去高于一阶的小量可得可将方程（41）重新写为其中式中0代表零矩阵，I代表单位矩阵。由于q根据常微分方程理论，方程（42）存在N=2n个线性无关的解X令Y=[XP为非奇异矩阵，称为转移矩阵，它的特征值称为Floquet乘子。根据Floquet理论，当所有Floquet乘子的模都小于1，则当τ→!时方程（42）的解趋近于0，因此q当矩阵P存在模大于1的Floquet乘子时，q(1）存在一个大于1的Floquet乘子，也称为Floquet乘子在复平面上从+1方向穿出单位圆。此时解q(2）存在一个小于-1的Floquet乘子，也称为Floquet乘子在复平面上从-1方向穿出单位圆。此时解q(3）存在一对模大于1的复共轭Floquet乘子，也称为在复平面上有一对复共轭Floquet乘子穿出单位圆。此时解q4计算与分析本文以文献本文考虑了两个不同跨中高度情形下梁的振动工况。工况1）当跨中高度b4.1ihb法计算时的风险在用IHB法追踪弯曲梁的振动响应之前，还需确定选取几个模态来离散运动方程。Emam和Nayfeh计算分析可看出，基础振动的外激励只加载在对称模态上而没有加载在反对称模态上。用IHB法计算应注意两种情况下模态数的选取，工况1）在非共振时，反对称模态未被激发，此时选取前两阶对称模态计算即可满足系统模态收敛的要求；工况2）在1∶1内共振条件下，反对称模态有可能被激发，此时应选取系统的前4阶模态来计算，而不能只取前两阶对称模态来计算。在1∶1内共振条件下，尽管在系统发生分岔前反对称模态未被激发（即IHB法计算得到反对称模态上的谐波项系数全为0），然而在发生分岔时，忽略反对称模态的计算会得到错误的结论。表1为在1∶1内共振条件下，选取不同模态数计算时发生分岔的频率，可以看到选取前4阶模态计算可满足振动模态收敛的要求。4.2非共振时，pe预防分岔产生的倍周期在工况1）中，梁的弯曲较小，第1阶固有频率小于第2阶固有频率。此时，由于各阶模态之间没有内共振，而外激励只加在了对称模态上，导致梁振动的反对称模态没有被激发。选用前两阶对称模态进行计算，取m=1,n图3(a）为外激励频率在前两阶固有频率附近时，系统的频率响应曲线图ω-A图3(a）中a点外激励的频率为30.6，从a点开始计算倍周期分岔之后产生的period-2周期解，令m=2,n图4和图5展示了从图3中a点到e点振动响应的变化。即非共振时，外激励频率接近梁的第1阶固有频率时振动响应的分岔演化过程。图4(a）与图5(a）分别为外激励频率为30.7处（图3中a点右侧）稳定的period-1周期解中q图3(a）中i点和j点外激励频率分别为49.2和55.5，在这个两个点，period-1周期解也会发生倍周期分岔变为period-2周期解。在k点外激励频率为46.3处，发生倍周期分岔变为period-4周期解。随后在外激励频率为45.94,45.8984处振动响应再次发生倍周期分岔，依次变为period-8,period-16周期解。在外激励频率为45.8936处，period-16周期解又发生倍周期分岔变为period-32周期解，此时得到的period-32周期解不稳定。在这个点处，不稳定的period-32周期解经过一段时间混沌运动后转化为period-3周期解，这个period-3周期解为混沌运动中的全局吸引子。由于篇幅所限，这部分的分岔响应过程没有用图表示出来。4.31pe预防分岔的周期运动分析在工况2）中，梁的第1模态与第2模态之间存在1∶1内共振，此时反对称模态会被激发，因此选用前4阶模态进行计算。式（32）变为图6为外激励频率在前两阶固有频率附近时，系统的频率响应曲线图ω-A追踪period-2周期解可发现，在图6中r点外激励频率为45.68处，period-2周期解不稳定。在这一点，Floquet乘子中有一对复共轭特征值与单位圆相交，因此，在这一点period-2周期解发生Hopf分岔导致准周期运动。经过一段稳定的准周期运动，在外激励频率为45.6处，准周期运动失稳，演变为混沌运动。与工况1）不同的是，此时产生的混沌运动并不会随着时间逐渐衰减为周期运动，而是会持续保持下去。图7-9反映了在1∶1内共振条件下，图6中q点附近外激励频率接近梁的第1阶固有频率时，梁的振动响应的分岔演化过程。其中图7(a）为外激励频率为45.9处（图6中q点右侧）稳定的period-1周期解的频谱图。图7(b）为外激励频率为45.7处（图6中r点右侧）稳定的period-2周期解的频谱图，可以看出，与图7(a）中period-1周期解相比，q当外激励频率接近梁的第2阶固有频率时，梁的振动响应的变化和外激励频率接近梁的第1阶固有频率。当外激励频率从44.68减小至43.68时（图6中s与t点之间），由period-1周期解发生倍周期分岔产生的period-2周期解稳定。此后随着外激励频率的减小，period-2周期解发生Hopf分岔，产生准周期运动。继续减小外激励频率，准周期运动将失稳变为混沌运动。5外激励频率对梁振动响应的影响本文用增量谐波平衡法追踪了在基础谐波激励作用下两端固定屈曲梁的振动响应随外激励频率的变化，并分析了振动响应的稳定性和分岔演化过程。研究发现，在仅有梁的弯曲程度不同的两种情况中，运动失稳的方式完全不同。在屈曲程度较小，非共振的条件下，屈曲梁的反对称模态的振动不会被激发，当外激励频率接近梁的第1阶固有频率或其2倍时，梁的对称模态振动响应不断发生倍周期分岔，从而依次得到period-2在屈曲程度较大，存在1∶1内共振的条件下，随着外激励频率接近梁的第1阶或第2阶固有频率，梁的振动响应也会发生倍周期分岔。但此时振动响应发生倍周期分岔的原因是反对称模态的振动被激发，而被激发的反对称模态的振动响应中所含有的频率成分均为