宣城市重点中学2023年数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则的值为（）A． B．1 C． D．02．如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积是（）A． B． C． D．3．从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是()A． B． C． D．4．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为A． B．C． D．5．若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C．这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D．这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.95456．已知函数，则此函数的导函数A． B．C． D．7．已知函数，则函数的大致图象是（）A． B．C． D．8．的展开式中，系数最小的项为（）A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项9．在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A． B． C． D．10．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若240，则展开式中x的系数为（）A．300 B．150 C．－150 D．－30011．若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（）A．10 B．20 C．30 D．12012．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点（在轴上方），延长交抛物线的准线于点，若,，则抛物线的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，且，则的最小值是______________．14．定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次记为，则________15．函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是______．16．已知向量，，若，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.（1）证明：平面.（2）求与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C：x2（1）若直线l的斜率为k，求k的取值范围；（2）若以PQ为直径的圆经过点E（1，0），求直线l的方程．19．（12分）将下列参数方程化为普通方程：（1）（为参数）；（2）（为参数）.20．（12分）已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当，时，对任意，都有成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.22．（10分）设函数，其中实数是自然对数的底数.(1)若在上无极值点，求的值；(2)若存在，使得是在上的最大或最小值，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

求出的导函数，代入即得答案.【详解】根据题意，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查导函的四则运算，比较基础.2、B【解析】

根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。【详解】由定积分的几何意义可知：阴影部分面积故选B.【点睛】本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．3、C【解析】分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为.故答案为:C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；③代公式=.4、B【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：输出．，故选B．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．5、A【解析】

先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.【详解】∵，，∴，，所以，，∴.故选：A【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、D【解析】分析：根据对应函数的求导法则得到结果即可.详解：函数，故答案为：D.点睛：这个题目考查了具体函数的求导计算，注意计算的准确性，属于基础题目.7、A【解析】

根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．【详解】由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C．故选A．【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．8、C【解析】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C。9、B【解析】

由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果.【详解】因为的二项展开式的通项为：，因此二项式系数的最大值为：，令得，所以，含项的系数为，因此.故选：B.【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.10、B【解析】

分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入，解出的值，进而求得展开式中的系数.【详解】令，得，故，解得.二项式为，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.故选B.【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.11、B【解析】试题分析：根据二项式的展开式的二项式系数是14，写出二项式系数的表示式，得到次数n的值，写出通项式，当x的指数是0时，得到结果．解：∵Cn°+Cn1+…+Cnn=2n=14，∴n=1．Tr+1=C1rx1﹣rx﹣r=C1rx1﹣2r，令1﹣2r=0，∴r=3，常数项：T4=C13=20，故选B．考点：二项式系数的性质．12、C【解析】分析：先求得直线直线AB的倾斜角为，再联立直线AB的方程和抛物线的方程求出点A,B的坐标，再求出点C的坐标，得到AC||x轴，得到，即得P的值和抛物线的方程.详解：设=3a,设直线AB的倾斜角为，所以直线的斜率为.所以直线AB的方程为.联立所以，所以直线OB方程为，令x=-所以故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和抛物线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答圆锥曲线题目时，看到曲线上的点到焦点的距离（焦半径），要马上联想到利用圆锥曲线的定义解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

有错，可以接着利用基本不等式解得最小值.【详解】∵，∴，，当且仅当时不等式取等号，∴，故的最小值是．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键.14、【解析】

首先设，由二项式定理展开可知，然后利用赋值法令求解.【详解】设设中只有1个元素，中有2个元素，中有3个元素，中有4个元素，由二项定理可知令，,.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理和集合子集的综合问题，意在考查转化与计算能力，本题的关键是将所求乘积的和转化为二项式定理问题，属于难题.15、【解析】

首先将题意转化为函数与恰有两个交点，当和时，利用函数的图象易得交点个数.当，利用表示直线的斜率，结合图象即可求出的范围.【详解】由题知：函数恰有两个零点.等价于函数与恰有两个交点.当时，函数与恰有一个交点，舍去.当时，函数与恰有两个交点.当时，如图设与的切点为，，，，则切线方程为，原点代入，解得，.因为函数与恰有两个交点，由图知.综上所述：或.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，分类讨论和数形结合为解决本题的关键，属于中档题.16、【解析】

由得到，计算得到答案.【详解】已知向量，，若所以答案为：【点睛】本题考查了向量的计算，将条件转化为是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）先连接，，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出直线的的方向向量与平面的法向量，由向量夹角公式求出向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】（1）证明：如图，连接，.在三棱柱中，为的中点.又因为为的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，令，得.记与平面所成角为，则.【点睛】本题主要考查线面平行的判定、以及线面角的向量求法，熟记线面平行的判定定理以及空间向量的方法即可，属于常考题型.18、（1）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（2）x=0或y=-7【解析】试题分析：（1）由题意设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程后由判别式大于求得的取值范围；（2）设出的坐标，利用根与系数的关系得到的横坐标的和与积，结合以为直径的圆经过点，由EP·EQ=0求得值，则直线l方程可求.试题解析：（1）依题意，直线l的方程为y=kx+2，由x23+y2=1y=kx+2,消去y得(3k2+1)x（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,则P(0,1),Q(0,-1),此时以为直径的圆过点E(1,0)，满足题意.直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2EP=(k2+1)因为以直径的圆过点E(1,0)，所以EP·EQ=0，即12k+143k2故直线l的方程为y=-76x+2.综上，所求直线l的方程为x=0考点：1.直线与椭圆的综合问题；2.韦达定理.【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了设而不求的解题思想方法，是中档题，本题（1）问主要是联立直线与椭圆方程，化成一元二次方程的判别式大于求出的取值范围，（2）利用EP·EQ=0求出值，进而求出直线方程,因此解决直线与圆锥曲线位置关系时应该熟练运用韦达定理解题.19、（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）分别分离处参数中的，根据同角三角函数的基本关系式，即可消去参数得到普通方程；（2）由参数方程中求出，代入整理即可得到其普通方程.试题解析：（1）∵，∴，两边平方相加，得，即.（2）∵，∴由代入，得，∴.考点：曲线的参数方程与普通方程的互化.20、（1）见解析；（2）.【解析】

1通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；2原问题等价于，成立，可得，可得，即，设，，可得在单调递增，且，即可得不等式的解集即可．【详解】1函数的定义域为．当时，，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，令，解得：，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．综上所述，当，时，函数在上单调递增；当，时，函数在上单调递减，在上单调递增．2对任意，，有成立，，，成立，，时，．当时，，当时，，在单调递减，在单调递增，，，，设，，．在递增，，可得，，即，设，，在恒成立．在单调递增，且，不等式的解集为．实数b的取值范围为．【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数研究函数的单调区间，恒成立问题，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．21、（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析【解析】

（1）求出，然后分和两种情况讨论（2）由（1）中的结论，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0（3）由（1）知，当时，，即，然后可得，由此可证明，然后两边同时取对数即可【详解】（1）当时，，从而在上单调递增；当时，，从而在上单调递