生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例高二数学选修2-1

第一章导数及其应用

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。例1、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？2dm2dm1dm1dm解：设版心的高为xdm，则版心的宽dm，此时四周空白面积为类型一：求面积、容积的最大问题x(0，16)16(16，+∞)S'(x)0S(x)-+减函数↘增函数↗极小值列表讨论如下：∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm，宽为8dm时，S(x)最小答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的空白面积最小。例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积

V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0<x<l由问题的实际意义可知：方法与技巧：在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数求最值，应该注意自变量的取值范围。问题2:

饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

题型二、利润方面最值

规格（L）21.250.6价格（元）5.14.52.5例：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料的利润：解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0它表示f(r)单调递减，

即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大例3：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则令

解得，，类型二：用料最省、费用最低问题解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积Rh答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值当时，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大

类型二、求利润最大问题

课堂小结：1、用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时