弹性力学及有限元

弹性力学及有限元第1页，课件共160页，创作于2023年2月§2.1一点的应力状态、应力张量基本概念：外力、应力、形变、位移。1.外力体力、面力（材力：集中力、分布力。）(1)体力——弹性体内单位体积上所受的外力——体力分布集度（矢量）xyzOX、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的(如：重力，磁场力、惯性力等)(3)X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。第2页，课件共160页，创作于2023年2月(2)面力——作用于物体表面单位面积上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：(1)F是坐标的连续分布函数；(2)F的加载方式是任意的;(3)的正负号由坐标方向确定。第3页，课件共160页，创作于2023年2月2.应力(1)一点应力的概念ΔAΔQ内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑)P(1)P点的内力面分布集度(2)应力矢量.----P点的应力的极限方向由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度应力分量n(法线)应力的法向分量——正应力应力的切向分量——剪应力单位:与面力相同MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布的第4页，课件共160页，创作于2023年2月(2)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：第5页，课件共160页，创作于2023年2月用矩阵表示：其中，只有6个量独立。剪应力互等定理应力符号的意义：第1个下标x

表示τ所在面的法线方向；第2个下标y

表示τ的方向.应力正负号的规定：正应力——拉为正，压为负。剪应力——坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzO第6页，课件共160页，创作于2023年2月与材力中剪应力τ正负号规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力τ为正，反之为负。在用应力莫尔圆时必须用此规定求解问题xyzO第7页，课件共160页，创作于2023年2月考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其单位矢量为e1、e2、e3，相应的应力分量为xyze1e2e3z’x’y’e1’e2’e3’设ox’y’z’为新坐标，其单位矢量为e1’、e2’、e3’。相应的应力分量为3.应力张量第8页，课件共160页，创作于2023年2月数学上，对坐标变换时服从一定坐标变换式的9个数所定义的量叫二阶张量，应力张量通常表示为：第9页，课件共160页，创作于2023年2月作斜面abc垂直于x’轴，该斜面上的应力矢量为P。P在坐标系下的三个分量为Px，Py

和Pz

，则xyzz’x’y’PPxPyPz由斜面应力(Cauchy)公式4.斜面上的应力第10页，课件共160页，创作于2023年2月由此可见，过某点的任意斜面上的应力分量，都可以用过该点的平行于坐标面的微分面上的9个应力分量来表示。写成矩阵的形式，即：

斜面上的总应力为：斜面上的正应力为：第11页，课件共160页，创作于2023年2月设斜截面外法线方向为，它的方向余弦为应力矢量P在坐标轴上的投影为：将上式展开§2.2主应力与应力张量不变量第12页，课件共160页，创作于2023年2月当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向）称为主方向。上述方程为的齐次线性方程组，且常数项都为零。因为：，故不能同时为零，所以方程组的系数行列式应为零，即第13页，课件共160页，创作于2023年2月将行列式展开，得到求解主应力的三次方程，称为应力张量的特征方程。式中第14页，课件共160页，创作于2023年2月设特征方程的三个根为，则展开后有比较上两式，有对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，不随坐标系的变换而变化。故是不随坐标系的变换而变化的量，称为应力张量不变量。（特征方程）分别称为应力张量的第一、第二、第三不变量。第15页，课件共160页，创作于2023年2月主应力的重要性质1.主应力为实数；2.三个主应力相互垂直；即物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主平面，及对应的三个主应力。（1）当，有3个相互垂直的主应力；（2）当，与垂直的平面上的任意方向都为主应力方向，即该平面上任意方向都是主方向，且应力值相同。（3）当，空间任意方向都是主方向，且应力值相同。第16页，课件共160页，创作于2023年2月3.主应力的极值性；（1）最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上正应力的最大（或最小）值；设：，则（2）绝对值最大（或最小）的主应力是相应点处任意截面上全应力T的最大（或最小）值。第17页，课件共160页，创作于2023年2月最大剪应力主剪应力与主应力的数值关系为按代数值的大小，将3个主应力排序：则有第18页，课件共160页，创作于2023年2月现在主应力空间里，考察通过物体内任一点M这的一个微分面，该微分面的外法向n与三个应力主轴呈等倾斜。这样的微分面共有8个，它们可组成一个包含点M在内的无限小的正八面体，如图所示。这些微分面上的应力，就称为八面体应力。

§2.3八面体应力、应力强度第19页，课件共160页，创作于2023年2月于是得：由于这些斜面的法线的方向余弦的绝对值都相等：同时有：带入正应力的计算公式，可得八面体正应力为：

第20页，课件共160页，创作于2023年2月八面体剪应力对于塑性理论具有重要意义，为了使用方便，将它乘以，并称之为应力强度，用符号来表示，即

八面体剪应力为：第21页，课件共160页，创作于2023年2月§2.4应力球张量和应力偏张量描述一点应力状态的9个应力分量构成一个对称应力张量其中称为应力张量的分量。第22页，课件共160页，创作于2023年2月引入平均应力则应力张量可分解为两个张量之和第23页，课件共160页，创作于2023年2月简写为式中称为应力偏量，为应力球形张量，为单位张量。第24页，课件共160页，创作于2023年2月球形张量是代表各向均匀拉伸或压缩的应力状态。球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状不变。应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变而形状改变。静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到很大值，材料也不产生塑性变形。故：应力球形张量不产生材料的塑性变形；应力偏量是产生塑性变形的真正原因。第25页，课件共160页，创作于2023年2月3.形变形变——物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。PBCA——用线（正）应变ε度量——用剪应变γ度量（剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：(1)一点形变的度量应变的正负：线应变：伸长时为正，缩短时为负；剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；第26页，课件共160页，创作于2023年2月§2.5平衡(运动)微分方程

在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，棱边的长度分别为PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以连接六面体前后两面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程整理，并略去微量后，得同样可以得出剪应力互等定理第27页，课件共160页，创作于2023年2月列出x轴方向的力的平衡方程

由其余两个平衡方程和可以得出与之相似的两个方程。化简，除以dxdydz，得空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）第28页，课件共160页，创作于2023年2月如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理,在体力项中引入惯性力:运动微分方程第29页，课件共160页，创作于2023年2月第三章应变分析与几何方程第二节有关力学基本概念描述已知:

*在载荷作用下,物体的形状和位置要发生变化,

*力学中用应变来度量一点形状的改变;用位移来度量一点位置的改变.

如已知物体中每一点的位移,则受载物体的位置和形状均可确定.即位移与应变之间存在一定的关系.

描述位移与应变之间关系的方程称为几何方程第30页，课件共160页，创作于2023年2月

研究在oxy平面内投影的变形，PABCA’B’C’P’PA=dxPB=dyPC=dz一.几何方程第31页，课件共160页，创作于2023年2月一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；xyOP考察P点邻域内线段的变形：AdxBdyuv变形前变形后PABuv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。第32页，课件共160页，创作于2023年2月xyOPAdxBdyuvPA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化第33页，课件共160页，创作于2023年2月xyOPAdxBdyuv整理得：——几何方程第34页，课件共160页，创作于2023年2月同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也称柯西(Cauchy)方程几何方程第35页，课件共160页，创作于2023年2月（1）几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量)间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当位移分量u、v

、w已知，则6个应变分量可完全确定；反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）说明：（3）几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。第36页，课件共160页，创作于2023年2月二.连续性方程应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示；已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一确定的。反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。-------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯一的位移解。-------从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间必须满足一定关系。称为相容性。表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方程，也称为变形相容方程或变形协调方程。第37页，课件共160页，创作于2023年2月第1式对y求两阶偏导第2式对x求两阶偏导两式相加：将第4式代入得：第38页，课件共160页，创作于2023年2月同理：第39页，课件共160页，创作于2023年2月后三式分别对z、y、x求偏导得：第40页，课件共160页，创作于2023年2月同理：第41页，课件共160页，创作于2023年2月连续性方程第42页，课件共160页，创作于2023年2月连续性方程是单连体小变形连续的必要和充分条件。如应变分量满足连续性方程，可保证位移分量存在。第43页，课件共160页，创作于2023年2月第4章应力与应变关系——物理方程由材料力学已知，Hooke定律可表示为：单向拉压纯剪切E为拉压弹性模量；横向与纵向变形关系G为剪切弹性模量为泊松比一.各向同性材料的广义Hooke定律第44页，课件共160页，创作于2023年2月对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：考虑x方向的正应变：产生的x方向应变：产生的x方向应变：产生的x方向应变：叠加同理：第45页，课件共160页，创作于2023年2月剪应变：物理方程：说明：1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。2.方程组在线弹性条件下成立。第46页，课件共160页，创作于2023年2月二.体积应变与体积弹性模量令：则：令：sm称为平均应力;q称为体积应变第47页，课件共160页，创作于2023年2月三.物理方程的其他表示形式物理方程：第48页，课件共160页，创作于2023年2月用应变表示应力：或：

各种弹性常数之间的关系第49页，课件共160页，创作于2023年2月四.广义Hooke定律(物理方程)的一般表达式广义虎克定律(物理方程)描述应力与应变的关系,6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。第50页，课件共160页，创作于2023年2月 当自变量(应变)很小时，式（１）中的各表达式可用泰勒级数展开．略去二阶及以上的高阶微量，则式（１）中的第一式展开为：表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为零．故表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数第51页，课件共160页，创作于2023年2月故,式（１）可用一个线性方程组表示式（２）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式．式（２）中的系数称为弹性常数，共有３６个．第52页，课件共160页，创作于2023年2月由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然．因此为常数，其数值由弹性体材料的性质而定．式（２）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等．第53页，课件共160页，创作于2023年2月式(3)可用简写为称为弹性矩阵.式（２）可用矩阵表示第54页，课件共160页，创作于2023年2月物体内的任一点,沿各个方向的性能都不相同,则称为极端各向异性体.(这种物体的材料极少见)五.弹性常数1.极端各向异性体:由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系即使在极端各向异性条件下,式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立.36个弹性常数减少到21个.弹性矩阵是对称矩阵.第55页，课件共160页，创作于2023年2月弹性矩阵为第56页，课件共160页，创作于2023年2月极端各向异性体的特点:

(1)当作用正应力时,不仅会产生正应变,还会引起剪应变。(2)当作用正应力时,不仅会产生剪应变,也会引起正应变。第57页，课件共160页，创作于2023年2月2.正交各向异性体如在均匀体内,任意一点都存在着一个对称面,在任意两个与此面对称的方向上,材料的弹性性质都相同。称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面,垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。具有一个弹性对称面的各向异性体,弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。第58页，课件共160页，创作于2023年2月如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,这种物体称为正交各向异性体。如:煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为第59页，课件共160页，创作于2023年2月3.横观各向同性体如物体内任意一点,在平行于某一平面的所有各个方向都有相同的弹性性质,这类正交异性体为横观各向同性体。如不同层次的土壤、复合板材等。横观各向同性体只有五个弹性常数,弹性矩阵为第60页，课件共160页，创作于2023年2月物体内任意一点,沿任何方向的弹性性质都相同。4.各向同性体各向同性体只有两个独立的弹性常数,弹性矩阵为:第61页，课件共160页，创作于2023年2月可见:第62页，课件共160页，创作于2023年2月一.指标表示法1.指标符号 具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的字母表示：如：位移分量u、v、w表示为u1

、u2、u

3，缩写为ui（i=1,2,3）坐标x、y、z表示为x1、x2、x3，缩写为xi（i=1,2,3）。单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。第63页，课件共160页，创作于2023年2月应力分量：可表示为：缩写为：同理，应变分量可表示为：第64页，课件共160页，创作于2023年2月向量表示为三阶线性方程组可表示为缩写为第65页，课件共160页，创作于2023年2月2.爱因斯坦求和约定 在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标）例求和指标j求和指标i非求和指标称为自由指标第66页，课件共160页，创作于2023年2月说明：（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例：（2）哑标的有效范围仅限于本项。（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例：（4）哑标可局部地成对替换。（5）自由指标必须整体换名。（6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。例第67页，课件共160页，创作于2023年2月3.求导数的简记方法微分算符简记法例:求和约定第68页，课件共160页，创作于2023年2月第69页，课件共160页，创作于2023年2月4.克罗内克(Kroneker)符号第70页，课件共160页，创作于2023年2月具有如下性质(1)(2)也称换名算子同理:第71页，课件共160页，创作于2023年2月4.置换符号表示，有２７个分量。定义：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有两个以上的指标相同置换符号用于简化公式的书写．第72页，课件共160页，创作于2023年2月行列式：第73页，课件共160页，创作于2023年2月二.弹性力学方程的指数表示(1)平衡(运动)微分方程第74页，课件共160页，创作于2023年2月(2)几何方程第75页，课件共160页，创作于2023年2月(3)物理方程第76页，课件共160页，创作于2023年2月(4)边界条件力边界条件:位移边界条件:第77页，课件共160页，创作于2023年2月1.迭加原理:

弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时对应解的和.§2-8弹性力学的几个基本原理 (1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的.说明: (2) 对大变形问题,几何方程将出现二次非线性项,平衡方程将受到变形的影响,迭加原理不再适用。 (3) 对非线弹性或弹塑性材料,应力应变关系为非线性,迭加原理不成立。第78页，课件共160页，创作于2023年2月圣维南原理:

若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系 若作用在物体局部表面上的外力,用一个静力等效的力系(具有相同的主矢和主矩)代替,则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计.第79页，课件共160页，创作于2023年2月课件上传FTPIP:0Username:mechanicPassword:888888Port:210第80页，课件共160页，创作于2023年2月第5章弹性力学问题的求解要点——建立直角坐标下的平面问题基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等第81页，课件共160页，创作于2023年2月主要内容§5-1两类平面问题§5-2平面问题的基本方程和边界条件§5-3位移解法§5-4应力解法§5-5应力函数与应力函数解法§5-6多项式逆解法解平面问题§5-7几种平面问题的直角坐标求解第82页，课件共160页，创作于2023年2月应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则将该类问题称为平面问题。§4-1两类平面问题平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的二维问题。弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。第83页，课件共160页，创作于2023年2月1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——等厚薄平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z

方向不变化。第84页，课件共160页，创作于2023年2月xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。第85页，课件共160页，创作于2023年2月2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——近似认为无限长(2)外力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面第86页，课件共160页，创作于2023年2月水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。第87页，课件共160页，创作于2023年2月如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题第88页，课件共160页，创作于2023年2月3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数建立平面应力（或应变）条件下的基本方程：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；第89页，课件共160页，创作于2023年2月§4-2平面问题的基本方程和边界条件1.平衡微分方程空间问题的平衡微分方程（纳维叶方程）第90页，课件共160页，创作于2023年2月对平面应力问题对平面应变问题—仅为xy的函数。第91页，课件共160页，创作于2023年2月平面问题的平衡微分方程：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。第92页，课件共160页，创作于2023年2月2.几何方程平面应变平面应力第93页，课件共160页，创作于2023年2月注：平面应力问题的解为近似解！平面应力问题，但由有对薄板，可认为上两式近似为零，故平面应力问题的解为近似解。第94页，课件共160页，创作于2023年2月3.物理方程1.各向同性弹性体的物理方程其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为泊松比。(应力与应变的关系)第95页，课件共160页，创作于2023年2月（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中——

平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式第96页，课件共160页，创作于2023年2月（2）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中——

平面应变问题的物理方程注：(2)平面应变问题物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得（2-13）(1)平面应变问题中，但？第97页，课件共160页，创作于2023年2月（3）两类平面问题物理方程的转换：——

平面应变问题的物理方程——

平面应力问题的物理方程(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：第98页，课件共160页，创作于2023年2月4.边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）几何方程：（3）物理方程：未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。第99页，课件共160页，创作于2023年2月2.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。xyOqP是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界——三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us

、

vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：——

平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。第100页，课件共160页，创作于2023年2月——平面问题的应力边界条件(2)力的边界条件第101页，课件共160页，创作于2023年2月(1)边界面力为合力时，面力正负号的确定边界面力分量的矢量方向指向坐标轴的正向为正，反之为负(2)边界面力为合力矩时，力矩正负号的确定xyMs3.力的边界条件的具体化第102页，课件共160页，创作于2023年2月xyMs（+）右手法则，母指指向z轴的正向为负，反之为负xyMs（-）xyMs（+）Ms（-）xy第103页，课件共160页，创作于2023年2月例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说明：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：第104页，课件共160页，创作于2023年2月第4章内容回顾：1.两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征;受力特征;应力特征。几何特征;受力特征;应变特征。xyyztba水坝滚柱第105页，课件共160页，创作于2023年2月——位移边界条件2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）（4）边界条件：（1）（2）——应力边界条件——平面应力问题第106页，课件共160页，创作于2023年2月例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N第107页，课件共160页，创作于2023年2月例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：第108页，课件共160页，创作于2023年2月例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即AB边界：由应力边界条件公式，有（1）AC边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用第109页，课件共160页，创作于2023年2月例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例6第110页，课件共160页，创作于2023年2月例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：第111页，课件共160页，创作于2023年2月图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：N第112页，课件共160页，创作于2023年2月（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：——位移边界条件——应力边界条件图(b)：——位移边界条件——应力边界条件第113页，课件共160页，创作于2023年2月§4-3按位移求解平面问题第114页，课件共160页，创作于2023年2月1.弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v

为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v

表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量

为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分应力分量

为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。第115页，课件共160页，创作于2023年2月2.按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（a）将式(a)代入平衡方程，化简有（1）第116页，课件共160页，创作于2023年2月（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：（a）将式（a）代入，得式（1）、（2）、（3）构成按位移求解问题的基本方程说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）第117页，课件共160页，创作于2023年2月（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（1）（2）边界条件：位移边界条件：（2）应力边界条件：（3）第118页，课件共160页，创作于2023年2月§5-4按应力求解平面问题相容方程第119页，课件共160页，创作于2023年2月按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。第120页，课件共160页，创作于2023年2月显然有：——形变协调方程（或相容方程）即：必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得位移分量。1.变形协调方程（相容方程）将几何方程：作如下运算：第121页，课件共160页，创作于2023年2月（1）平面应力情形将物理方程（a）2.变形协调方程的应力表示代入相容方程得：第122页，课件共160页，创作于2023年2月利用平衡方程将两式相加：（b）将（a）式化简：第123页，课件共160页，创作于2023年2月将(b)代入(a)，得：将上式整理得：应力表示的相容方程（平面应力情形）第124页，课件共160页，创作于2023年2月（2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为：，得应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即第125页，课件共160页，创作于2023年2月3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件：（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。第126页，课件共160页，创作于2023年2月例下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）第127页，课件共160页，创作于2023年2月解（1）将式（a）——满足将式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一组可能的应力场。代入平衡方程：第128页，课件共160页，创作于2023年2月（2）解将式（b）式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。代入应变表示的相容方程：第129页，课件共160页，创作于2023年2月例图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：显然，平衡微分方程满足。第130页，课件共160页，创作于2023年2月式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？——满足——满足——近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：第131页，课件共160页，创作于2023年2月平衡方程:相容方程:边界条件:常体力下，满足的方程：(a)4.常体力下体力与面力的变换第132页，课件共160页，创作于2023年2月令：将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)表明：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；（2）变换后问题的边界面力改变为：第133页，课件共160页，创作于2023年2月结论：当体力X=常数，Y=常数时，可先求解无体力而面力为：问题的解：，而原问题的解为：第134页，课件共160页，创作于2023年2月xyxy例如：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用下的应力分析。原问题：体力：边界面力：所求应力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的问题：体力：边界面力：(1)当y=0时，(2)当y=–h时，(3)当y=–2h时，所求得的应力：原问题的应力第135页，课件共160页，创作于2023年2月常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原问题的求解方程变换后问题的求解方程常体力问题无体力问题作用：(1)方便分析计算（齐次方程易求解）。(2)实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：面力变换公式：与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。第136页，课件共160页，创作于2023年2月§5-5应力函数应力函数解法第137页，课件共160页，创作于2023年2月常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解=齐次方程通解1.平衡微分方程解的形式(1)特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齐次方程：(c)(d)的通解。第138页，课件共160页，创作于2023年2月将式(d)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得第139页，课件共160页，创作于2023年2月(i)(j)将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解(k)第140页，课件共160页，创作于2023年2月(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解：(k)——对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3)全解取特解为：则其全解为：(2-26)——

常体力下平衡方程（a）的全解。由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y)——平面问题的应力函数——Airy应力函数第141页，课件共160页，创作于2023年2月2.相容方程的应力函数表示(2-26)将式（2-26）代入常体力下的相容方程：有：注意到体力X、Y为常量，有将上式展开，有(2-27)——

应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。第142页，课件共160页，创作于2023年2月式（2-27）可简记为：或：式中：满足方程(2-27)的函数φ(x,y)称为重调和函数（或双调和函数）结论：应力函数φ应为一重调和函数第143页，课件共160页，创作于2023年2月按应力求解平面问题（X=常量、Y=常量）的归结为：（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。(2-28)（无体力情形）第144页，课件共160页，创作于2023年2月3.应力函数求解方法（1）逆解法（2）半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系