天津市六校(静海一中、杨村一中、宝坻一中等)高三数学上学期期末联考试题理-人教版高三全册数学试题

2018高三数学（理）试卷注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目涂写在答题卡上。净后，再填涂。一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一符合题目的要求．（若集合

A yy

2x,x

R,B xx2

2x 3 0,x

A（R）.（

0,3

（

1,3（（0,1 3,（已知实数

x,y满足

x yz

2x y

1的最大值为（ ）.（3 （

1 （4 （52（阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x的值为则输出S的值为（ ）.（64 （73（512 （585（设

a 是首项大于零的等比数列，则“ a2 a2”是n 1 2“数列

为递增数列”的（ ）.（充分而不必要条件（必要而不充分条件（充分必要条件

第（题（既不充分也x

条件y2（已知双曲线 a2

a,b2b2

0)与抛物线y2

4x共焦点，双曲线与抛物线的一公共e点到抛物线准线的距离为 双曲线的离心率为 ，则

b2的值是（ ）.（2 1 （2 2 22（2 2 （42（已知函数

f(x

2cosx

f(2

), f(log12),232

f(log23)的大小关系是（ ）.（

f(log13

f(log2

f(22)（

f(log13

f(22

f(log23)（

f(log2

f(log13

f(22)（

f(22)

f(log2

f(log12)3（7）已知O是

△ABC

的外心，AB

6,AC

10，若AO

xAB

yAC，且2x 10

5(

0

的面积为（ ）.（24 （20 23

（18 （202（已知函数

f(x)

x 1 x2

1，函数

g(x)

ax2

x 1．若函数y

f(x)

g(x)恰好有2个不同零点，则实数 a的取值范围是（ （(0, )

（

(2, )（

, 12

)

（

,0)

(0,1)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题纸相应位置上．（在复平面内，复数

i 1 ix t

2i)2的共轭复数对应的点位于第3，

象限．（10）直线l的参数方程为y

(t为参数以直角坐标系 xOy中的原点O为极点，x轴3t，的非负半轴为极轴， 建立极坐标系，圆C的极坐标方程

2 4

3 ＞0 2 则圆心C到直线l的距离为 .（11）已知二项式

nx 3 的展开式中，各项系数的和与其各项x二项式系数的和之比为 64，则展开式中 x的系数等于 ．第（题（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为 r的半球拼接组成一几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 则r= .（13）

△ABC中，

a,b,c分别为角

BC所对的边，且

2csinA，c＝7，且

的面积为3 3，则2

b= ．（14）设函数

f(x)在R上存在导数

f(x)，对任意的 x

R，有f( x)

f(

x2，且在(0, )

(x)

x

f(2

f(m) 2 2m，则实数m的取值范围为 ．三、解答题：本大题共 6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（5（本小题满分 3分）已知函数

f(x) 3

xcosx

cos2x 1.2（Ⅰ）求

fx

x [ 6

2

f(x)的值域；（Ⅱ）当x

[ , 6 2

f(x)

8，求f5

)的值.12（6（本小题满分 3分）已知盒中共有 9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（Ⅰ）从盒中一次随机取出 2个球，求取出的2个球颜色相同的概率；（Ⅱ）从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记

,x2,，随机变量X表示

x2x3中的最大数，求X

E(X)．（7（本小题满分 3分）如图，四棱锥

ABCD

的底面ABCD为菱形，

ABC

60，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD．（Ⅰ）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥底面ABCD；（Ⅱ）求斜线 PD与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱 PC上存在一点M，使得二面角M值．（8（本小题满分 3分）

BD

CM的大小为求 的CPnnn1nn已知数列

an的前n项和

1 2(n2

N*)

，数列

b 2na．（Ⅰ）求证：数列

an 的通项公式；（Ⅱ）cn

nlog2an

2cncn

n

25(n 21

的n的最大值．（9（本小题满分 4分）已知椭圆

2C:x

2y

b 0的焦距为2

2x2 y

1有相同离心率，l:

a2 b2kx m与椭圆C

2A,B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若在椭圆 C上存在点Q，满足OA OB OQ（O为坐标原点），求实数 取值范围．（0（本小题满分 4分）已知函数

f(x)

x4ln

a(x4

，a R．（Ⅰ）求曲线y f x在点f

处的切线方程；（Ⅱ）若当

f x≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）f x的极小值为 a,当

0

1 11e4a14

4a1≤a0（≤a0

为自然对数的底）2017～2018高三数学（理）参考答案一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分．（．提示：A

yy 0,B

xx 或x 1（

x y y 1

相交于点

A(2,1)∴y 2 2 1 1 4．（

x 1,S

x

2,S

9;x

4,S

73 50．（（

F得到a2 b2

1.①设公共点

P(x,y), x 1 2, x 1，代入到抛物线方程得到 y 4，20 0 0 0 0 02从而1 4 1.②a2 b由①②可得到

2 a 3 2 2,b

2 2 2．

2 e ca

2 1

2e b2 4．（

f x x2 2cosx是偶函数，

f(x) 2x

2sin

x在(0,2

)上恒大于零，2所以f x x2 2cosx在(0,22

)单调递增.∵f(log13

f( log3

f(log32),0 log32 1，1 log23 2，2 2 2 ,f(log13

f(log2

f(2

2).（．提示：取O是

的外心，则DO

AC.AO

DO,

AO

AD

DO

AD

5

50.

xAB

yAC，AOAC

(x

yAC)

AC=xAC

yAC

2=60xcos

100

50．2

10y 5

6xcos

2x,cos

1, sinA 2 2．3 31 2 S 6 102 3

20 2．（

f(x) (ax2

x 1) 0

f(x)

x 1 ax2．f(x)

xx 1 2x

2 (x1(

1),x 1),x(x 1).作函数

y f(x)

x 1

y ax2的图象，当a 0时，两个函数图象恒有两个公共点；当a 0时, 两个函数图象仅有一个公共点；2当a 0时，22222

a 1，此时函数

ax图象与函数

y f(x)

x

1，此时函数

ax图象与函数

2x 1相切，函数

ax与函数y f(

x 1的图象仅有一个公共点；

1时，此时函数y

ax2

y f(x)

x 1的图象无公共点．所以a

,0)

(0,1)．二、填空题：本大题 6小题，每小题 5分，满分30分．（三． 提示：z

5 9i,z2 2

5 9i．2 2（10）5 2

．提示：圆C和直线l的直角坐标方程分别是

x2 y2 4x

3 0，2 3 3 3 5 33x y 33 0，则圆心C到直线l的距离d ．（11）135．提示：令x

nn1，由已知4 :2nn

64,

3 1 2r6rrn 6,T C( x) (3)，r6rrr1 6x6 r r2 2

2,

135x．（12）2时的情形，其表面积S

r2 2r

2r 2

2r2

16

，得到r 2．（13）5．提示：由正弦定理得

3sinA

2sinCsinsinA

0 sinC

32 ．又三角形是锐1 3 3角三角形，∴C ．S absinC

ab 6．再由余弦定理223 2 222c2

b2 2abcosC

7 (a

12 6

(a

25,a b 5．2 2（14）m

1．提示：令

gx

(x)

x ,g( x)

f( x)

( x).得到g(x)

g( x) 0

2 2g(x)为奇函数．又∵在(0, )

g(

f(x)

x 0，g(x)在(0, )单调递增．而由奇函数性质得到

g(x)在R上单调递增.已知f(2

fm) 2 2m

2

(2 m2 m2 2 22 2有f(2

(2

≥f(m)

m ，即g(2

g(m)≥0．2 2∴2 m m．解得m 1．三、解答题：本大题 6小题，满分80分．（15）本题满分13分．2 1 3 1 cos2x 1Ⅰ)

f(x) 3sinxcosx

cosx

sin2x2 2 2 2sin(2x2

) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分6 ，T ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分2又x [ , ]，所以2x6 2

7, 2 6

y fx)在

，]上单调递减．6 2又f( )

1f( ) ，6 2 2

(x)

[1]． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分2()

f(

8，则sin(2x ) 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分5 6 5又x [ , ], 2

7 , cos(2x

4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分6 2 2 6 6 6 5又f

) sin

1 sin[(2

) ]

33 7

⋯⋯⋯⋯⋯13分12 6 6 10 5（16）本题满分13分．解：(Ⅰ) 取到的2个颜色相同的球可能是 2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P

2 2 C C C C 2C9

6 3 1 536 18

． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）随机变量X所有可能的取值为 2，3，44x 4) C444

1；126C3C1

C3C1 13P(x

4 5 3 6C49 63C4；11；于是P(x

2)

3) P(

) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分14所以随机变量X的概率分布列如下表：23234111311463126因此随机变量 X的数学期望11 13 1 20＝2×14＋3×63＋4×

＝126

9. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分（17）本题满分13分．（Ⅰ）证明：∵侧面 PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ AB．∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB 底面ABCD AB，PQ 侧面PAB，∴PQ⊥底面ABCD． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分（Ⅱ）连接AC，设AC BD O，以O为原点，分别以OB,OC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系

O xyz，则O(0,0,0),B(

3,0,0),D(

P( 3,2

1, 3),PD2

( 3 2

,1,2

3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分设平面PBC的法向量u

(x,y,z)uBC uBP 0

y 33x 12 2

3z

3,1)．⋯⋯⋯⋯6分sin |

uPD

6． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分5另解：可求得四棱锥的体积

V

，三棱锥P BCD的体积=，△6

15，进而可得2三棱锥D PBC的高

6 15

10

hsinPD

15 6．10 5（Ⅲ）设

CM tCP

( 3t, 3t, 3tt<1)

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分2 2 ，则M( 3t, 32 2

)，BM ( 32

33, 2

)，

(2 ，设平面MBD的法向量为n (x,y,，由n

nDB

0, x 0．由n MB nMB 0，可取z

3，得

6t(0, , 2

． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分又平面ABCD的法向量m

(0,0,1)，mn m n

cos60 1．23 1．解得

22(舍)或t ．3 ( 6t )2 2 52所以，此时CP

2． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分5（18）本题满分13分．解在S a

1n1 2

a 1 2 a a 1n n ( 2

中，令可得1 1 1，即1 ．( （( （n1n当时，S n1n

1n211

2

n n 1n n n 1n

1n11

1n2( ( 2a

2nn1nn( ) ．即2a 2

2n

2 2，∴b b 1．n n12

n n

n n n n1

1 1

1，∴数列

{}是首项和公差均为 1的等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分

1 (n

1) 1=n

2na，∴a

n． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分n n n n2c log n log 2n

2 2 1 1（Ⅱ）∵ n 2a 2

，∴cc n(n 2) n n 2

．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分n nn2∴

（

1) (1 1) (1 1)

1 1 ) (1 1 ) 1 1 1 13 2 4 3

n 1 n 1 n n 2 2

n 1 n 2

25，得1 1 1 1 25

，即1 1 13

⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分21

n 1

2

n 1 n 2 42又∵f(n)

1 1

f

11 13,f(5) 13，n 1 n 2 30 42 42∴n的最大值为⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分（19）本题满分14分．2c 2 a 2解I）由已知可 ca

2 解得2

, b 1． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分1化简得

4m2

2k2

(12

2k2)所求椭圆C的方程x所求椭圆C的方程x222y1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分（II）由xy2kx2y2m22k)x224kmx2m22 0，Δ16k2m22k2)(2m22)2m2)．由直线直线l与椭圆C交于不同的A,B两点，由Δ0,21 2k2m①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分x1x2设点x,yx,y)，则12，1 12 22xx1 22m 2.12k2于是y1y2k(x1x)22m12m2k2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分m0时，易知点A,B关于原点对称，则0；⋯⋯⋯⋯⋯9分m0时，易知点A,B不关于原点对称，则0．xQ1(x1x),2xQ由OA OBOQ，得即4km2(1 2k)2m(1 2k),．⋯⋯⋯⋯⋯11分yQ1(y1y),2yQ2.Q点在椭圆上，∴[]22m]22．⋯⋯⋯⋯⋯12分2

(1 2k2)1 2

4m2

2

22k)． ②2由①②两式可得

2 2

2且 0．综上可得实数 的取值范围是 2 2． ⋯⋯⋯⋯⋯14分（20）本题满分14分．

f(

3 3 3

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分4xlnx x ，则f(1) 1 4a. 又f(1) 0，所以，曲线

y f(x)

(1,f(1))

y (1 4a)(x

1 ⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）

(x)

(4lnx

1 4.因为y

4ln

1 4a

x 1时，4ln

1 4

4ln1 1 4

1 4a，

1时，4

f(x) 0，当且仅当

1，且x4

1时等号成立.所以f(在[1, )上为增函数.因此，当

x 1

f(

f(1) 0.所以，a

1满足题意． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分4②当a 1时，4

f(x)

x3(4lnx

1 4a) 0

lnx a 1. 4

a1e 4.因为a 1，所以a 4

a10，所以e 4

1.a当x (