圆的方程（精讲）

2.4圆的方程（精讲）考点一圆的方程【例1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为，关于对称的点为，圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，因此所求的圆的方程为.故选：D【例1-2】（2023春·河南开封）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A【例1-3】（2022秋·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．【例1-4】（2023·高二课时练习）求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意得，圆的半径，所以圆的方程为，所以圆的一般方程为.故选：C.【例1-5】（2023秋·高二课时练习）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（

）A．m<1 B．m>1C．m< D．<m<1【答案】A【解析】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式，表示圆的条件是，解得．故选：A【一隅三反】1（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，解得.故选：B2．（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根据二元二次方程表示圆的条件，对于A中，方程，可得，所以方程是圆的一般方程；对于B中，方程，可得，所以方程不是圆的一般方程；对于C中，方程中，和的系数不相等，所以方程不是圆的一般方程；对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.故选：BCD.3．（2023·北京延庆）根据下列条件，求圆的标准方程：(1)圆心在点，且过点；(2)过点和点，半径为2；(3)，为直径的两个端点；(4)圆心在直线上，且过点和点．【答案】(1)(2)或；(3)(4)【解析】（1）由题意可得，所以圆的标准方程为；（2）设圆的标准方程为，因为圆过点和点，所以，解得或，所以圆的标准方程为或；（3）因为的中点坐标为，即圆心为，半径，所以圆的标准方程为；（4）设圆的标准方程为，由题意可得，解得，所以圆的标准方程为考点二点与圆的位置关系【例2-1】（2023甘肃）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，，点在圆内；对于B，，点在圆外；对于C，，在圆上；对于D，，在圆内.故选：ACD【例2-2】（2022秋·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D【一隅三反】1．（2023·四川宜宾）若点在圆的内部，则实数a的取值范围是_____.【答案】【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得故答案为：2．（2023云南）若点在圆上,则实数___.【答案】或【解析】因为点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即，得解得：或.故答案为或.3．（2023春·上海浦东新）若点在圆外，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】点在圆外，，且，解得或．实数的取值范围为．故答案为：.考点三圆过定点【例3】（2023·上海徐汇）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【解析】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.2．（2023·山西晋中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【解析】将代入圆方程，得，解得或0，当时，，满足题意；当时，，不满足题意.故选：C．3．（2023湖北）已知方程表示的曲线恒过第三象限内的一个定点，若点又在直线：上，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】方程可化为.曲线恒过定点，，解得或.点在第三象限，，代入直线的方程，可得.故选：.考点四动点的轨迹方程【例4】（2023·河南濮阳）已知圆C过三个点．(1)求圆C的方程：(2)已知O为坐标原点，点A在圆C上运动，求线段的中点P的轨迹方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：设圆的方程为，因为圆过三个点，所以，解得，所以圆的方程为，即．（2）设动点P的坐标为，A的坐标是．由于P为线段OA的中点，所以，，所以有①A是圆上的点，所以A坐标满足：②将①代入②整理，得，所以P的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆，方程为．【一隅三反】1．（2023·山东）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【答案】(1)；(2)．【解析】（1）由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，解得,又点E在圆C：上，所以有，化简得：,故所求的轨迹方程为．2．（2023·江西宜春）已知方程表示圆，其圆心为.(1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；(2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）方程可变为：由方程表示圆，所以，即得，.圆心坐标为.（2）当时，圆方程为：，设，又为线段的中点，的坐标为则，由端点在圆上运动，即线段中点的轨迹方程为考点五综合运用【例5-1】（2023·宁夏吴忠）若直线经过圆的圆心，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】D【解析】圆的圆心为，则，，当且仅当时等号成立，故选：D【例5-2】（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，记点，则，如下图所示：当点为直线与圆的交点，且点在线段上时，取最大值，即，因此，的最大值为.故选：B.【一隅三反】1．（2023·江苏·高二假期作业）（多选）若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是()A． B．-C． D．2【答案】ABC【解析】由题可知直线过圆心，有，即，则，故ABC符合题意．故选：ABC．2．（2023山西）已知实数满足，则的最大值为．【答案】36【解析】实数满足，即表示以为圆心、1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离的平方，则最大值为圆心与点距离加上半径后的平方，故的最大值为．故答案为：363．（2022秋·浙江宁波·高二校考期中）若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为.【答案】【解析】圆：，圆心为（-