随机过程答案2007作业第三章习题

3- E[Y2]=E[(X- )2]=E[X2+X2-2X =E[X2]+E[X2]-2E[X E[XkXk-1]=E[E[XkXk-1|X0X1"Xk-1 E[X|XX ]]=E[X2 E[Y2]=E[X2 于是Var(Y)(E[X2E[X2E[X2]=Var(X 主要利用性质：E[Xn+kXn]=E[E[Xn+kXn|X1X2"Xn=E[X |XX"X]]=E[X2]；n 对任意ij，可设i>j1，则有E[YiYj]=E[(Xi-Xi-1)(Xj-Xj-1)]=E[XiXj+Xi-1Xj-1-Xi-1Xj-XiXj-1]=E[Xi-1Xj-1-XiXj-1再利用：若j=1，X00；若j>1，E[Xi-1Xj-1-XiXj-1 同理可得j>i14=E[X |XX"X]]=E[X2]；n =E[Xk(E[Xm|Y1Y2"Yk]-E[Xl|Y1Y2"Yk])]=E[Xk(Xk-Xk)]5q q首先，E[|)n|]=E)n q q q q q qE[()n+1 )1,()2,",()n]=E[()n+1|X1X2"Xn]]=E[()n+1|X nqX qX qnn

q ) ) n qn{(p

又E[XkYk-1]=E[E[XkYk-1|Z0,Z1"Zk-1]]=E[Yk-1E[Xk|Z0,Z1"Zk-1]]=E[Xk-1Yk-1E[Xk-1Yk]=E[E[Xk-1Yk|Z0,Z1"Zk-1]]=E[Xk-1E[Yk|Z0,Z1"Zk-1]]=E[Xk-1Yk-1n7 (1)E[|Yn|]=E[|log3(1Xk

3(1Xkn

3(1Xk)]n(0.5

n33E[Yn+1|X1,X2"Xn]=E[(Yn+log3(1Xn))|X1,X2"Xn33=Yn+E[log3(1Xn)|X1,X2"Xn]=Yn+E[log3(1XnYn+(0.5

33+0.5log31)Yn+1(2首先有E[|Zn|]E[Zn+1|X1,X2"Xn]E[(Znlog3(1Xn+1))|X1,X2"Xn=ZnE[(log3(1Xn+1))|X1,X2"Xn]=ZnE[log3(1Xn+1Zn(0.5

33+0.5log31)事件{T=n}仅取决于（X1,X2"Xn）,T验证性说明：假设停时定理成立，则E[ZT]=E[Zk]=E[log但由T=min{n:Zn=0}知ZT=0，即E[ZT]=0，推出矛盾。

3(1Xk T

条件2：E[|ZTE[Z2]条件3：E[|ZE[Z2][(22[(22)nP(X=2)P(X

)|]∵ (1X))2]

[(22[(22)n(12)n 2；因而limE[|Z |]条件3不成立 n8证明：首先,记Fn是事件集{0kn}的一个且对于in，事件集{0k

事件集{0k{T=n}

{T<n}n

{T>n}{T+n}=∪{T=i,n-i}；∵in，FiFn；∪Fi

n}∪{T+ {T=j∪{T+n}

k}j,k<n，由{T<n<n}Fn同理可得{T+n}n 综上，T+是停时。{Tn}={n,T>n}{T=n,∵{n,T>n}Fn，{T=n,n}Fn，{Tn}又{Tn}={T>n,n}{Tn}={Tn}C{Tn}={n,T<n}{T=n,∵{n,T<n}Fn，{T=n,n}Fn，{Tn}又{Tn}={T<n,n}{Tn}={Tn}C9 又∵E[XnI{T=k]=E[E[XnI{T=k}|Y0Y1"YkE[I{T=k}E[Xn|Y0Y1"YkE[XkI{T=k n设Zn=(XkE[Xk|Y0Y1"Yk-1n

由引理3.1得E[Zn]=E[ZTn]=E[Z0]=0，又0=E[ZTnE(XkE[Xk|Y0Y1"Yk-1E(XkXk-1 其中{Mn关于{Yn{Zn是Y0Y1"Yn-1的单调非减函数。并且有E[Mn]=E[MTn]=E[M0与E[ZnE[ZTnE[Z0又n1，E[X2 不等式(E[XY])2E[X2]E[Y2

E[|XTn|] c，进而有E[sup|XTn|] 满足条件2，由停时定理2得E[XTE[X0∵nT，E[|Xn+1-Xn||Y0Y1"Yn]令Zn=|Xn+1-Xn|,(n1)且Z0=|X0|W=Z0+Z1 E[W]E[ZkI{T=n}]E[ZkI{T=n}]E[ZkI{Tk}n0 k0 利用已知条件：kT有E[Zk|Y0Y1"Yk-1 E[ZkI{Tk}]E[E[ZkI{Tk}|Y0Y1"Yk-1 E[I{Tk}E[Zk|Y0Y1"Yk-1]]bE[I{Tk} bP(Tk)b(1E[T，即E[W又∵WZ0+Z1+"+ZT|X0||X1-X0|"|XT-XT-1|X0||X1||X0|"|XT||XT-1||XT且nT，W|X0||X1-X0|"|Xn-Xn-1||Xn||XTn|XTn|WE[|XTn|]E[W]E[sup|XTn|]E[W]又∵E[T]<，根据E[T]=P(Tk))利用的性质：若Xnn0，Xn0，>0，有P(maxXk>E[X ∵{X}为鞅，{(X+c)2}为应用上述性质 (x+c)2P{max(X+c)2>(x+c)2}E[(X+c)2

E[(Xn+c)2又∵P{maxX>x}=P{maxX+c)>x+cP{maxX+c)2 E[(X+c)2P{maxXk>x