广西壮族自治区南宁市百济乡中学2022年高三数学文月考试题含解析

广西壮族自治区南宁市百济乡中学2022年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以为焦点的抛物线C的准线与双曲线相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为A． B． C． D．参考答案：C2.已知，则（

）A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】首先求出，代入中，利用复数模的公式即可得到。【详解】由，所以.故选A.3.已知命题，命题，则下列说法正确的是（

）A．命题是假命题B．命题是真命题 C．命题是假命题D．命题是真命题参考答案：D4.已知0＜a1＜a2＜a3，则使得都成立的x的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】其他不等式的解法．【分析】先解出不等式（1﹣aix）2＜1的解集，再由0＜a1＜a2＜a3确定x的范围【解答】解：因为不等式（1﹣aix）2＜1的解集解集为（0，），又0＜a1＜a2＜a3，则，所以使得都成立的x的取值范围是（0，）；故选B5.已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]参考答案：A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值范围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M?N；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．6.若集合，，则=(A)

（B）

（C）

（D）参考答案：A7.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则（

）A． B． C． D．参考答案：D略8.设全集，集合，，则集合=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D,,,则,则9.已知分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：C10.以下四个命题:①命题“若,则”的逆否命题为“若,则”;②若为假命题,则均为假命题;③命题“”,则命题的否定为“”;④在中,是的充分不必要条件;其中真命题为(

)

A.①

B.①②

C.①②③

D.①②③④参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】令==，==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．【解答】解：====，====．∴（）?（）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．：=．∴=×=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．12.函数的值域为

参考答案：，当且仅当，即时取等号，所以函数的值域为。13.圆的圆心到直线的距离

;参考答案：314.函数f（x）=的定义域是

．参考答案：[﹣2，2]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．【解答】解：由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）=的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．15.设均为正数,满足,则的最小值是

.参考答案：3略16.已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____。参考答案：2（14）设满足约束条件，则的最大值为______。17.曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数的图像是由的图像经过如下三步变换得到的：①将的图像整体向左平移个单位；②将①中的图像的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的；?将②中的图像的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍。（Ⅰ）求的周期和对称轴；（Ⅱ）在中，分别是的对边，且，且，求的值。参考答案：19.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.参考答案：解:解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰Rt△PAF中，在Rt△PAB中，所以，在Rt△AHG中，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是解法二:如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)易知

设是平面PBE的一个法向量，则由得所以

设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取

于是，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是20.如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，，且．（I）求证：平面平面；（II）求二面角的余弦值．参考答案：证明：（I）如图，取BD中点E，连结、， 1分因为是等腰直角三角形，所以， 2分设，则， 3分在中，由余弦定理得：， 4分因为，，所以，即， 5分又，，所以平面，所以平面平面； 6分（II）解法一：过点E在平面内作交于点F，由（I）知平面，分别以为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 7分不妨设，则：， 8分则，，， 9分设平面的法向量，则，取， 10分设平面的法向量，则，取， 11分所以，因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 12分

解法二：过点D作DN⊥AC于点N，设D在平面ABC上的射影为M，连接MN，则AC⊥MN，所以∠DNM为所求二面角的平面角， 7分设AB=1,则AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,在△ADC中，cos∠DAC=,所以DN=, 8分在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=, 9分由,所以,即, 11分在△DMN中，sin∠DNM=,所以cos∠DNM=,所以二面角的余弦值为. 12分21.（本题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如右图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

（I）从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望；

（II）根据频率分布直方图填写下面列联表，并判断是否有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。参考答案：22.春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是p1，，p3，，其中p1＞p3，又p1，，2p3成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．参考答案：【分析】（1）由A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，列出方程组，能求出p1，p3的值．（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）∵A、C两人恰好有一人获得